Aufgaben

Ein Drittel eines Kapitals wird zu 5% angelegt. Ein weiteres Neuntel zu 4% und der Rest zu 4.5%. Der gesamte Zinsertrag beläuft sich auf 2282,50 Euro. Wie groß ist das Anfangskapital?

Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.

Aufteilung des Kapitals

Berechnung des "Rests", indem man das erste Drittel und das Neuntel von 1 (gesamter Zinsertrag)

%%1-\frac13-\frac19=%%

%%\frac13%% mit 3 erweitern und 1 als %%\frac99%% schreiben

%%=1-\frac39-\frac19=%%

%%=\frac59%%

%%x = Kapital%%

 Prozentsätze als Brüche schreiben

%%\frac13\cdot x\cdot\frac5{100}+\frac19\cdot x\cdot\frac4{100}+\frac59\cdot x\cdot\frac{4,5}{100}=2282,5%%

%%x\left(\frac13\cdot\frac5{100}+\frac19\cdot\frac4{100}+\frac59\cdot\frac{4,5}{100}\right)=2282,5%%

Multiplikation, Dezimalbruch umwandeln, gemeinsamer Nenner

$$x\;(\frac{150}{9000}\;+\;\frac{40}{9000}\;+\;\frac{225}{9000})=2282,5$$

Klammer ausrechnen

%%\frac{415}{9000}\ast\;x=2282,5%%

Bruch auflösen$$\begin{array}{l}\left|:415\right.\\\left|\ast9000\right.\end{array}$$

%%x=\frac{2282,5\;\ast\;9000}{415}\textstyle\;=\;49500,00€%%

Was ist günstiger: Verzinsung eines Bank-Guthabens zwei Jahre lang mit je 3% (mit Zinsenzins d.h. nach einem Jahr wird der Zins zum Guthaben dazugezählt und im zweiten Jahr mitverzinst), oder 4% im ersten Jahr und 2% im zweiten Jahr (ebenfalls mit Zinseszins)?

Hier ist die Aufgabe gelöst, indem mit einem unbekannten Kapital K gerechnet wird. Du kannst aber auch einen Betrag (z.B. 100 €) als Kapital wählen und damit die Aufgabe lösen.

Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: %%p_\text1 = 3\%\, ;\, p_\text2 = 3\%%%
Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

%%{K^+} = K \cdot (1 + p_\text1)%%

Setze den Zinssatz ein und brechne.

%%{K_{3\%}^+} = K \cdot (1 + 0,03)%%
%%{K_{3\%}^+} = K \cdot 1,03%%

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert %%{K_{3\%}^+}%% mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

%%{K_{3\% \cdot 3\%}^+} = {K_{3\%}^+} \cdot (1 + p_\text2)%%

Setzte den neuen vermehrten Grundwert %%{K_{3\%}^+}%% ein.

%%K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1,03 \cdot (1 + p_\text2)%%

Setze den Zinssatz ein und brechne.

%%K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1,03 \cdot (1 + 0,03)%% %%K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1,03 \cdot 1,03%% %%K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1,0609%%

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: %%p_\text1 = 3\%\, ;\, p_\text2 = 3\%%%
Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Dreisatz3%

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert %%{K_{3\%}^+}%% mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

Dreisatz3%3%

%%K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1,03 \cdot 1,03%%

%%K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1,0609%%

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert /vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: %%p_\text1 = 4\%\, ;\, p_\text2 = 2\%%%
Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

%%K^+ = K \cdot (1 + p_\text1)%%

Setze den Zinssatz ein und brechne.

%%K_{4\%}^+ = K \cdot (1 + 0,04)%%
%%K_{4\%}^+ = K \cdot 1,04%%

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert %%K_{4\%}^+%% mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

%%K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K_{4\%}^+ \cdot (1 + p_2)%%

Setzte den neuen vermehrten Grundwert %%{K_{4\%}^+}%% ein.

%%K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K \cdot 1,04 \cdot (1 + p_2)%%

Setze den Zinssatz ein und brechne.

%%K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K \cdot 1,04 \cdot (1 + 0,02)%% %%K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1,04 \cdot 1,02%% %%K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1,0608%%

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: %%p_\text1 = 4\%\, ;\, p_\text2 = 2\%%%
Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Dreisatz4%

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert %%{K_{4\%}^+}%% mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

Dreisatz4%2%

%%K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1,04 \cdot 1,02%%

%%K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1,0608%%

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Herr Steger hat ein Kapital auf 5 Jahre zu 6% festgelegt (ohne Zinseszins!).

Wie hoch war das Kapital, wenn Herrn Steger nach 5 Jahren 45500 € ausgezahlt wurden?

Gegeben: Laufzeit: 5 Jahre;
Zinssatz %%p = 6 \% %% pro Jahr;
Endkapital %%K^+ = 45500 €%%

Gesucht: Startkapital K

Da Herr Steger keine Zinseszinsen bekommt, erhält er in jedem Jahr den gleichen Zinsbetrag.
Berechne wie viel Prozent Zinsen Herr Steger in 5 Jahren bekommt.

Zinsen in 5 Jahren: %%5\cdot6\%=30\% %% (ohne Zinseszins).

Zinsbetrag in 5 Jahren: %%0,3\cdot K%%

Das sind 30% vom Startkapital.

Berechne das Startkapital.

Nach 5 Jahren wird ausgezahlt:

Kapital (vor der Anlage): %%K%%

Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.

%%K+0,3\cdot K=45500€%%

 

%%1\cdot K+0,3\cdot K=45500€%%

Wende das Distributivgesetz an.

%%1,3\cdot K=45500€%%

Teile durch 1,3

%%K=\frac{45500€}{1,3}=35000€%%

 

 

Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.

Gegeben: Laufzeit: 5 Jahre;
Zinssatz %%p = 6 \% %% pro Jahr;
Endkapital %%K^+ = 45500 €%%

Gesucht: Startkapital K

Da Herr Stegers Zinsen nicht mit verzinst werden, erzält er in jedem Jahr gleich viele Zinsen.
Berechne wie viel Prozent Zinsen Herr Steger in 5 Jahren bekommt.

in 5 Jahren: %%5\cdot6\%=30\% %% (ohne Zinseszins).

Nach 5 Jahren hat Herr Steger somit 130% seines Startkapitals. Berechne das Startkapital

DreisatzStegerK0,3=45500

 

Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.

Zwei Banken liefern sich einen Wettbewerb um die Gunst der Kunden.

Bank A sagt: "Bei uns bekommen Sie 8% Zins auf ihre Spareinlagen."

Bank B sagt: "Bei uns bekommen Sie zweimal im Jahr, nämlich einmal Ende Juni und einmal Ende Dezember, 4% Zins auf Ihrem Konto gutgeschrieben.

Begründe rechnerisch, bei welcher Bank man als Kunde besser fährt.

Gegeben:
Bank A: 8% Zinsen pro Jahr
Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr

Gefragt: Bei welcher Bank wäre am Ende des Jahres mehr Geld auf dem Konto?

Bei Bank A gib es pro Jahr 8% Zinsen. Nach einem Jahr sind also 108% des Startkapitals auf dem Konto.

Bei Bank B hingegen gibt es 4% Zinsen im ersten hablen Jahr. Nach einem halben Jahr sind 104% des Startkapitals auf dem Konto. Auf diese 104% gibt es im zweiten halben Jahr erneut 4%. Nach einem weiteren halben Jahr sind 104% des Zwischenkapitals auf dem Konto

Nach einem Jahr steigt das Kapital somit um:
%%1,04 \cdot 1,04 = 1,0816%%
Am Ende des Jahres sind also 108,16% des Startkapitals auf dem Konto.

%%\Rightarrow%% Bei Bank B kommen im ersten Jahr 8,16% des Startkapitals dazu. Bei Bank A nur 8%.

%%\Rightarrow%% Bank B ist also besser als Bank A.

Alternative Begründung anhand eines Beispiels

Gehe von einem Kapital von 1 000 Euro aus.

Gegeben: Bank A: 8% Zinsen pro Jahr ; Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr

Gesucht: Kapital nach einem Jahr

Bank A:

Berechne die Zinsen bei Bank A nach einem Jahr mit der Formel.

%%Z = p \cdot K%%
%%Z = 8\%\cdot1\,000\,€%%
%%Z = 0,8\cdot1\,000\,€%%
%%Z = 80\,€%%

Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.

%%K^+=1000€+80€=1080€%%

Also hast du nach einem Jahr 1080€ auf dem Konto.

Bank B:

 

Berechne das neue Kapital bei Bank B nach einem halben Jahr mit der Formel.

%%Z = p \cdot K%%
%%Z = 4\%\cdot1\,000\,€%%
%%Z = 0,4\cdot1\,000\,€%%
%%Z = 40\,€%%

Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.

%%K^+=(1\,000\,€+40\,€)%%
%%K^+= 1\,040\,€%%

Berechne die Zinsauszahlung am Ende des zweiten halben Jahres. Beachte, dass sich die 4% Zinsen nun auf den vermehrten Grundwert %%K^+%% beziehen.

%%Z = p \cdot K^+%%
%%Z = 4\%\cdot1\,040\,€%%
%%Z = 0,4\cdot1\,040\,€%%
%%Z = 41,60\,€%%

Berechne die Summe an Zinsen bei Bank B.

%%40\,€+41,60\,€=81,60\,€%%

Also hast du nach einem Jahr

1000€ + 81,60€ =1081,60€ auf dem Konto.

Vergleiche jeweils die Zinsbeträge, die du nach einem Jahr bekommen hast.

Ergebnis

Während du bei Bank A lediglich 80 € erhälst, sind es bei Bank 81,6 €. Also fährst du als Kunde bei Bank B besser.

Gehe von einem Kapital von 1 000 Euro aus.
Gegeben:
Bank A: 8% Zinsen pro Jahr
Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr

Gesucht: Kapital nach einem Jahr

Bank A:

Berechne die Zinsen bei Bank A nach einem Jahr.

Dreisatz BankA

Also hast du nach einem Jahr

1000€ + 80€ = 1080€ auf dem Konto.

Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.

Bank B:

Berechne das neue Kapital bei Bank B nach einem halben Jahr.

DreisatzBankB1

Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.

%%K^+=(1\,000\,€+40\,€)%%
%%K^+= 1\,040\,€%%

Berechne die Zinsauszahlung am Ende des zweiten halben Jahres. Beachte, dass sich die 4% Zinsen nun auf den vermehrten Grundwert %%K^+%% beziehen.

DreisatzBankB2

Berechne die Summe an Zinsen bei Bank B.

%%40\,€+41,60\,€=81,60\,€%%

Also hast du nach einem Jahr

1000€ + 81,60€ = 1081,60€ auf dem Konto.

Vergleiche jeweils die Zinsbeträge, die du nach einem Jahr bekommen hast.

Ergebnis

Während du bei Bank A lediglich 80 € erhälst, sind es bei Bank 81,6 €. Also fährst du als Kunde bei Bank B besser.

Welche Summe muss man heute zu 6% Jahreszins anlegen, um in einem halben Jahr an Kapital und Zinsen 10 000 Euro zu besitzen?

Berechnung des Startkapitals

Gegeben:
%%p = 6\%;\; K^+ = 10\,000;\; t = \frac12 \text{Jahr}%%

Gesucht:
Kapital nach einem halben Jahr

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Rechne zunächst die Zeit %%t%% in Tage um.

%%t= \frac 12 \text{Jahr} = 180 \,\text{Tage}%%

Stelle die Formel für den Zinssatz nach einem halben Jahr auf und vereinfache so weit wie möglich.

%%Z = K \cdot p \cdot \frac t {360}%%

%%Z = K\cdot p\cdot\frac{180}{360}%%

%%Z = K \cdot p \cdot \frac 12%%

Der vermehrte Grundwert /das vermehrte Kapital ist die Summe aus Startkapital und Zinsen. Stelle die Formel für den vermehrten Grundwert auf.

%%K^+ =K+Z%%

%%K^+ = K+K \cdot p \cdot \frac 1 2%%

%%K^+ = K\cdot (1+p\cdot \frac12)%%

Setze den vermehren Grudnwert %%K^+%% und den Zinssatz %%p%% ein. Berechne so weit wie möglich.

%%10\,000 = K \cdot (1+6\% \cdot \frac12)%%

%%10\,000 = K \cdot (1+0,03)%%

%%10\,000 = K \cdot 1,03%%

%%\left|:1,03\right.%%

%%K=\frac{10\,000}{1,03}%%

  %%K\approx9709%%

%%\;\;\;\;\Rightarrow\;\;%% Es müssen ca. 9709 Euro angelegt werden.

Alternative Berechnung des Startkapitals mit Dreisatz

Gegeben:
%%p = 6\%;\; K^+ = 10\,000;\; t = \frac12 \text{Jahr}%%

Gesucht:
Kapital nach einem halben Jahr

In einem ganzen Jahr fallen 6% Zinsen an. In einem halben Jahr sind es entsprechend halb so viele.
Berechne wie viel Prozent des Startkapitals nach einem halben Jahr mehr vorhanden sind.

DreisatzBankjahrHalbesJahr

Die 10 000 € sind das Kapital+Zinsen. Sie entsprechen somit 100%+3%.
Berechne das Startkapital.

DreisatzBankjahrHalbesJahr100%

%%\;\;\;\;\Rightarrow\;\;%% Es müssen ca. 9709 Euro angelegt werden.

Ein Kleinwagen kostet 15600 Euro, wenn er bar bezahlt wird. Das Auto kann auch in zwei Raten zu 8000 Euro bezahlt werden, wobei die erste Rate sofort und die zweite nach einem halben Jahr fällig ist. Wie hoch ist der Jahreszinssatz, den der Verkäufer bei diesem Abzahlungsgeschäft verlangt?

Der Verkäufer leiht dem Käufer %%15600:2=7800%% Euro für ein halbes Jahr und verlangt dafür eine "Gebühr" von 400 Euro.

Somit beträgt der Jahreszinssatz %%2\cdot\frac{400}{7800}\cdot100\%=\frac4{39}\cdot100\%\approx10,256\% %%.

36000 Euro werden am 1. Februar auf ein Konto zu 5,5% Jahreszins einbezahlt. Im Verlaufe des Jahres wurde der Zinssatz auf 5% gesenkt. Am Ende des Jahres konnten 1762,5 Euro an Zinsen kassiert werden. Nach wie vielen Monaten fand die Zinssenkung statt?

x = Anzahl Monate zu 5,5%

11-x = Anzahl Monate zu 5%

 

 

%%1762,5=36000\cdot0,055\cdot\frac x{12}+36000\cdot0,05\cdot\frac{11-x}{12}=165\cdot x+150\cdot(11-x)=15\cdot x+1650%%

$$\Rightarrow15\cdot x=112,5$$

$$\Rightarrow x=\frac{112,5}{15}=7,5$$

Also fand die Zinssenkung nach 7,5 Monaten statt.

Ein Kapital von 22 500 € wird zu einem jährlichen Zinssatz von 7,5% angelegt.

Wie hoch ist der Zins nach 9 Monaten und 10 Tagen?

Berechnung der Tageszinsen

Gegeben:
Kapital K = 22\,500 €
Zinssatz p = 7,5%
Laufzeit 9 Monate und 10 Tage = %%9\cdot30\;\mathrm{Tage}+10\;\mathrm{Tage}=280\;\mathrm{Tage}%%

 

Gesucht sind die in dieser Zeit anfallenden Zinsen: %%Z=K\cdot p \cdot \frac t {360}%%

Setze das Kapital, den Zinssatz und die Tage in die Formel ein und berechne.

%%Z=22\,500\,€\cdot 7,5\% \cdot \frac{280}{360}%%

%%Z=22\,500 \,€ \cdot 0,075 \cdot \frac{280} {360}%%

 

%%Z=1312,50\,€%%

 

 

Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1312,50 €.

Gegeben:
Kapital K = 22\,500 €
Zinssatz p = 7,5%
Laufzeit 9 Monate und 10 Tage = %%9\cdot30\;\mathrm{Tage}+10\;\mathrm{Tage}=280\;\mathrm{Tage}%%

 

Gesucht sind die in dieser Zeit anfallenden Zinsen.

Berechne zunächst die Zinsen, die in einem ganzen Jahr anfallen würden.

DreisatzBankjahr7,5%

Berechne nun den Anteil an Zinsen, die in 280 Tagen anfallen.

DreisatzBankjahr7,5%280

 

Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1312,50 €.

Das Haus der Familie Müller ist mit einer Hypothek belastet. Familie Müller zahlt bei einem jährlichen Zinssatz von 8,5 % monatlich 637,50 € Zinsen.

Wie hoch ist die Hypothek?

Deine Eltern haben für dich auf der Bank Festgeld bei einem Zinssatz von 3,00% angelegt. Nach einem Jahr werden dir auf deinem Sparbuch dafür 45 € Zinsen gutgeschrieben.

  1. Berechne, wie viel Geld deine Eltern für dich angelegt haben.

  2. Bei der Berechnung von Zinsen legt die Bank ein sog. „Bankjahr“ zugrunde. Ein „Bankjahr“ besteht aus 12 Monaten mit einheitlich je 30 Tagen, also aus insgesamt 360 Tagen. Berechne, wie viel Zinsen du in 10 Tagen erhältst.

Teilaufgabe a

 

%%45\,€%% entsprechen %%3% %%

Dreisatz anwenden.

Also: %%15\,€%% entsprechen %%1% %%

Damit lässt sich der Grundwert berechnen.

%%1500\,€%% entsprechen %%100% %%

Antwortsatz formulieren.

Die Eltern haben %%1500\,€%% angelegt.

Teilaufgabe b

 

%%45\,€%% entsprechen %%360\;Tagen%%

Dreisatz anwenden.

%%\frac{45}{36}\,€=1,25\;€%% entsprechen %%10\; \text{Tagen}%%

Antwort formulieren.

In %%10\;\text{Tagen}%% erhält man %%1,25\,€%%.

Der kleine Jakob bekam zur Geburt im Jahr 2001 von seiner Oma ein Sparbuch über 150 DM geschenkt. Bei der Euro-Umstellung füllte die Oma den entstehenden „krummen“ Geldbetrag durch eine Einzahlung auf 100 € auf. Ansonsten wurde kein Geld mehr eingezahlt. Das Guthaben auf Jakobs Konto hat sich aber trotzdem etwas vermehrt, weil er am Ende jedes Jahres von der Bank Zinsen bekommt.

 

 

a. Wie viel Prozent Zinsen hat Jakob für sein Guthaben im Jahr 2002 bekommen?
(Man sagt hierzu auch: „Welchen Zinssatz hat er im Jahr bekommen?“)

b. War der Zinssatz im Jahr 2004 höher oder niedriger als im Jahr 2002? Begründe deine Antwort.

c. Die Zinsen für das Jahr 2005 sind noch nicht im Sparbuch eingetragen. Der Zinssatz beträgt 1,55 %. Berechne Jakobs Guthaben zum 30.12.2005.

 

Gegeben:
Kontoguthaben am Anfang: %%100\,€\widehat=100\% %%

Gesucht:
Zinssatz

Kontoguthaben nach erstem Zins %%=102\,€%%

Berechne die Zinsen im Jahr 2002

Zinsen: %%102\,€-100\,€ =2\,€%%

Berechne den Zinssatz

DreisatzJakobsparbucha

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Er hat %%2\% %% Zinsen bekommen.

Gegeben:
Kontoguthaben am Anfang: %%100\,€\widehat=100\% %%

Kontoguthaben nach erstem Zins %%=102\,€%%

Stelle die Formel für den Zinssatz auf

%%Z=p\cdot K%%

Teile durch K

%%\Rightarrow p = \frac ZK%%

Berechne den Zinssatz, indem du die Zinsen und das Kapital einsetzt.

%%p= \frac {2\,€} {100\,€} = \frac 2{100} = 2\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Er hat %%2\% %% Zinsen bekommen.

Teilaufgabe b

Gegeben:
Zins im Jahr 2004: %%2\,€%%

Gesucht:
Zinssatz

Kontoguthaben im Jahr %%2004%% (vor Zins am Ende von %%2004%% ):

%%104\,€\widehat=100\% %%

Berechne den Zinssatz

DreisatzJakobsSparbuchb

Der Zinssatz im Jahr 2002 betrug: %%2\% %%.

%%1,92\%<2\% %%

%%\Rightarrow%%   Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Gegeben:
Zins im Jahr 2004: %%2\,€%%

Kontoguthaben im Jahr %%2004%% (vor Zins am Ende von %%2004%% ): %%104\,€%%

Stelle die Formel für den Zinssatz auf

%%Z=p\cdot K%%

Teile durch K

%%\Rightarrow p = \frac ZK%%

Berechne den Zinssatz, indem du die Zinsen und das Kapital einsetzt.

%%p= \frac {2\,€} {104\,€} = \frac 2{104} = 1,92\% %%

Der Zinssatz im Jahr 2002 betrug: %%2\% %%.

%%1,92\%<2\% %%

%%\Rightarrow%%   Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Alternative Lösung durch Argumentation

Im Jahr 2002 bekam Jacob 2€ Zinsen bei einem Kapital von 100€.
Im Jahr 2004 bekam Jacob 2€ Zinsen bei einem Kaptial von 104€.

Da Jacob in beiden Jahren die gleiche Menge an Zinsen bekam, 2004 sein Kapital aber größer war, muss der Zinssatz 2004 kleiner sein.

Das ist auch an der Formel zu erkennen:
%%p=\frac Z K%%
Im Jahr 2004 ist %%K%% größer als 2002. Somit ist %%p%% kleiner.

%%\Rightarrow%%   Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Teilaufgabe c

Gegeben:
Guthaben im Jahr %%2005%%: %%106\,€\widehat=100\% %%
Zinssatz %%2005%%: %%1,55\% %%

Dies ist das Guthaben vor dem Zins der am Ende des Jahres dazukommt.

Gesucht:
Kaptital am 30.12.2005

Berechne die Zinsen.

DreisatzJakobsSparbuchc

Addiere den errechneten Wert zum Guthaben.

%%106\,€+1,64\,€=107,64\,€%%

  %%\Rightarrow%%   Jakobs Guthaben betrug am 30.12.2005 %%107,64\,€%% .

Gegeben:
Guthaben im Jahr %%2005%%: %%106\,€\widehat=100\% %%
Zinssatz %%2005%%: %%1,55\% %%

Dies ist das Guthaben vor dem Zins der am Ende des Jahres dazukommt.

Gesucht:
Kaptital am 30.12.2005

Stelle die Formel für die Zinsrechnung auf.

%%Z=p \cdot K%%

Berechne die Zinsen indem du den Zinssatz und das Kapital einsetzt.

%%Z=1,55\% \cdot 106\,€ =0,0155 \cdot 106\,€ = 1,64\,€%%

Addiere den errechneten Wert zum Guthaben.

%%106\,€+1,64\,€=107,64\,€%%

  %%\Rightarrow%%   Jakobs Guthaben betrug am 30.12.2005 %%107,64\,€%% .

Zum Bau eines Einfamilienhauses benötigt Familie Koch eine Hypothek von 150000 €. Die Zinsen für die ersten 5 Jahre sind auf 6% pro Jahr festgelegt. Außerdem muss Familie Koch 1% Tilgung pro Jahr zahlen.

Wie hoch sind die monatlichen Kosten der Familie Koch, wenn davon ausgegangen wird, dass die jährlichen Kosten gleichmäßig auf zwölf Monate verteilt werden?

Zinsrechnung

Gegeben

  • Hypothek %%K = 150000\,€%%
  • Zinssatz %%p_Z=6\% %%
  • Tilgung %%p_T=1\% %%

Gesucht: Kosten für Familie Koch pro Montag.

Die Zinsen fallen jedes Jahr für das Geld an, das Familie Koch noch zurückzahlen muss. Die Tilgung ist der Anteil, den Familie Koch jedes Jahr von der Hypothek abbezahlen muss. Die Schulden werden also jedes Jahr um den Teil der Tilgung kleiner.

Berechne deswegen nacheinander die Zinsen und die Tilgung für die Jahre

1. Jahr

  • Zinsen: %%K \cdot p_Z = 150000\,€ \cdot 6\% = 9000\,€%%
  • Tilgung: %%K \cdot 1\% = 1500%%

Familie Koch zahlt also 1500 Euro zurück und 9000 Euro Zinsen, also zusammen %%{10500 €}{1\, \text{Jahr}} = \frac{10500 €}{12 \, \text{Monate}} = 875 \frac{€}{\text{Monat}}%% Der neue Kredit für das Jahr 2 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun %%K_2 = 150000\,€ - 1500\, € = 148500\,€%%.

2. Jahr

  • Zinsen: %%K_2 \cdot p_Z = 148500\,€ \cdot 6\% = 8910\,€%%
  • Tilgung: %%K_2 \cdot 1\% = 1485%%

Familie Koch zahlt also 1485 Euro zurück und 8910 Euro Zinsen, also zusammen %%{10395 €}{1\, \text{Jahr}} = \frac{10395 €}{12 \, \text{Monate}} = 866,25 \frac{€}{\text{Monat}}%% Der neue Kredit für das Jahr 3 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun %%K_3 = 148500\,€ - 1485\, € = 147015\,€%%.

3. Jahr

  • Zinsen: %%K_3 \cdot p_Z = 147015\,€ \cdot 6\% = 8820\,€%%
  • Tilgung: %%K_3 \cdot 1\% = 1470,20%%

Familie Koch zahlt also 1470,20 Euro zurück und 8820 Euro Zinsen, also zusammen %%{10500 €}{1\, \text{Jahr}} = \frac{10500 €}{12 \, \text{Monate}} = 857,60 \frac{€}{\text{Monat}}%% Der neue Kredit für das Jahr 2 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun %%K_4 = 147015\,€ - 1470,20\, € = 145545\,€%%.

und so weiter…

genauso berechnest du auch noch das 4. und 5. Jahr. Dabei ergibt sich: Im 4. Jahr zahlt Familie Koch %%849 \frac{€}{\text{Monat}}%% und im 5. Jahr %%841 \frac{€}{\text{Monat}}%%. Danach hat Familie Koch noch %%142649€%% Restkredit.

Antwort: Familie Koch hat in den ersten 5 Jahren monatlich folgende Gebühren:

  • 1. Jahr 875 € zu zahlen.
  • 2. Jahr 866,25 €
  • 3. Jahr 857,60 €
  • 4. Jahr 849 €
  • 5. Jahr 841 €

Herr Schmidt kauft ein Auto zum Preis von 13750 € und lässt diese Summe vom Autohändler finanzieren. Nach einem Jahr hat Herr Schmidt 15331,25 € gezahlt und den Kredit damit vollständig getilgt.

Wie hoch war der Zinssatz?

Für ein Darlehen von 33000 € mussten bei einem jährlichen Zinssatz von 8% insgesamt 9240 € an Zinsen gezahlt werden.

Nach welcher Zeit wurde das Darlehen abgelöst?

Kapital K = 33000 €

Zinssatz p = 8%

Zinsen Z = 9240 €

Gesucht ist die Laufzeit: %%Z=K\cdot\frac p{100\%\cdot12\;\mathrm{Monate}}\cdot m%%

%%\left|{\cdot\frac{100\%\cdot12\;\mathrm{Monate}}{K\cdot p}}\right.%%

%%\Rightarrow m=\frac Z{K\cdot p}\cdot100\%\cdot12\;\mathrm{Monate}%%

 

%%m=\frac{9240\,€}{33000\cdot8\%}\cdot100\%\cdot12\;\mathrm{Monate}=%%

 

%%=42\;\mathrm{Monate}\;\overset\wedge=3,5\;\mathrm{Jahre}%%

 

  %%\;\;\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Darlehn wurde nach 42 Monaten (3,5 Jahren) abgelöst.

Ein Sparer erhält für sein Kapital von 42500 € bei einem jährliche Zinssatz von 6,5% eine Zinsauszahlung in Höhe von 552,50 €.

Wie lange war das Kapital angelegt?

Kapital K = 42500 €

Zinssatz p = 6,5%

Zinsen Z = 552,50 €

Gesucht ist die Zeit, für die das Geld angelegt wurde:

 

%%Z=K\cdot\frac p{100\%\cdot360\;\mathrm{Tage}}\cdot t\Rightarrow t=\frac Z{K\cdot p}\cdot100\%\cdot360\,\mathrm{Tage}%%

%%t=\frac{553,50\,€}{42500\,€\cdot6,5\%}\cdot100\%\cdot360\,\mathrm{Tage}=%%

 

%%=72\;\mathrm{Tage}=2\;\mathrm{Monate}\;\mathrm{und}\;12\;\mathrm{Tage}%%

 

 

Das Kapital war 2 Monate und 12 Tage angelegt.

Der schwedische Erfinder Alfred Nobel stiftete in seinem Testament ein großes Vermögen, von dessen Zinsen jährlich die Nobelpreise der Physik, Chemie, Medizin und Literatur sowie der Friedensnobelpreis finanziert werden. Das Vermögen der Nobelstiftung belief sich im Jahr 2011 auf ca. 3 Milliarden schwedische Kronen (SEK). Der Jahreszins beträgt ca. 4%. Im Jahr 2011 werden 50 Millionen schwedische Kronen an Preisgeldern ausgezahlt. Der Rest der Zinsen wird für Organisatorisches und die Feierlichkeiten zur Nobelpreisverleihung verwendet. Wieviel Geld ist das?

50 mio SWK %%\widehat{=}%%~5,83 mio €

50 Millionen schwedische Kronen entsprachen im Jahr 2011 in etwa 5,83 Millionen Euro. Jeder der fünf Nobelpreisträger erhielt somit 1,15 Millionen Euro.

Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.

Gegeben: %%\text{Kapital}=3\,000\,000\,000 \,\text{SEK}\\ \text{Zinssatz}=4\% \\ \text{Preisgeld}=50\,000\,000\,\text{SEK}%%

Gesucht:
%%\text{Verwaltungsausgaben}%%

Für die Verwaltung wird das Geld ausgegeben, das von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Preisgelder abgezogen wurden.

%%\text{Verwaltungsausgaben} = \text{Zinsen} - \text{Preisgeld}%%

Zunächst müssen die Zinsen berechnet werden.


%%\text{Zinsen} = \text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}%%

Setze die Werte ein und bestimme die Zinsen.

%%3\,000\,000\,000 \,\text{SEK} \cdot 4\% \\=120\,000\,000 \,\text{SEK}%%

Berechne nun die Verwaltungsausgaben.


%%\text{Verwaltungsausgaben} = \text{Zinsen} - \text{Preisgeld}%%

%%120\,000\,000 \,\text{SEK}-50\,000\,000 \,\text{SEK} \\= 70\,000\,000\,\text{SEK}%%

Antwort: Es werden %%70\,000\,000\,\text{SEK}%% für Feierlichkeiten und Organisation ausgegeben.

Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.

Gegeben: %%\text{Kapital}=3\,000\,000\,000 \,\text{SEK}\\ \text{Zinssatz}=4\% \\ \text{Preisgeld}=50\,000\,000\,\text{SEK}%%

Gesucht: %%\text{Verwaltungsausgaben}%%

Für die Verwaltung wird das Geld ausgegeben, das von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Preisgelder abgezogen wurden.

%%\text{Verwaltungsausgaben} = \text{Zinsen} - \text{Preisgeld}%%

Zunächst müssen die Zinsen berechnet werden.


Anwendungsbeispiel zum Dreisatz

Rechne zurück auf %%1\text{%}%% .

Rechne hoch auf %%4\text{%}%% .

Nun kannst du die Zinsen ablesen.

Berechne nun die Verwaltungsausgaben.


%%\text{Verwaltungsausgaben} = \text{Zinsen} - \text{Preisgeld}%%

%%120\,000\,000 \,\text{SEK}-50\,000\,000 \,\text{SEK} \\= 70\,000\,000\,\text{SEK}%%

Antwort: Es werden %%70\,000\,000\,\text{SEK}%% für Feierlichkeiten und Organisation ausgegeben.

Stelle dir vor, es hätte jemand für dich vor 2000 Jahren einen Euro zu einem Jahreszinssatz von 2% angelegt. Wie viel Geld hättest du dann heute?

Berechnung des Zinseszins

Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.

Gegeben:
%%\text{Startkapital}: K = 1 \,\text{€}%% %%\text{Jahreszinssatz}: p = 2\%%%
%%\text{Laufzeit}: 2000 \,\text{Jahre}%%

Gesucht: Heutiges Kapital

Überlege dir zunächst, wie hoch das Kapital nach dem ersten Jahre ist. Nach einem Jahr hast du 102% von deinem Startkapital.

%%Z = p \cdot K%%
%%Z=2\% \cdot 1\,\text{€} = 0,02 \cdot 1\,\text{€} = 0,02\,\text{€}%%

Im darauf folgenden Jahr erhälst du wieder 102% auf dieses neue Kapital. Das passiert insgesamt 2000 mal.

%%1\text{€} \xrightarrow{\cdot 1,02} 1,02\,\text{€} \xrightarrow{\cdot 1,02}%%

Stelle mit diesem Wissen eine Formel für das Kapital nach 2000 Jahren auf.

%%1\,\text{€} \cdot \underbrace{1,02 \cdot 1,02 \cdot … \cdot 1,02}_{2000 mal}%%

%%=1\,\text{€} \cdot 1,02^{2000}%%

Berechne das Kapital nach 2000 Jahren (Ein Taschenrechner ist an dieser Stelle empfehlenswert).

%%1\,\text{€} \cdot 1,02^{2000} \approx 1,586 \cdot 10^{17} \,\text{€} = 158,6 \cdot 10^{15}\,\text{€}%%

%%10^3%% Tausend
%%10^6%% Millionen
%%10^9%% Milliarden
%%10^{12}%% Billionen
%%10^{15}%% Billiarden

Antwort: Aus dem einen Euro würden über die 2000 Jahre ungefähr 158,6 Billiarden Euro werden.

Karl muss sich ein neues Sofa kaufen. Da er die 750 € für das Sofa noch nicht hat, will er es sich mit Hilfe einer Finanzierung kaufen. In der Werbung hört er von zwei Angeboten.

Beim ersten Angebot ist es eine 0% Finanzierung. Karl müsste dem Möbelhaus in einem Jahr 750 € zahlen.
Beim zweiten Angebot will das Möbelhaus in einem Jahr 700 € und verlangt zusätzlich 5% Zinsen.

Bild mit der Aufschrift 0%-Finanzierung

Welches der Angebote ist für Karl günstiger?

Beim ersten Angebot muss Karl 750 € zahlen.

Beim zweiten Angebot handelt es sich um eine Geldvermehrung, also um ein vermehrtes Kapital.

Gegeben:
%%K=700\,€;p=5\% %%

Gesucht:
Vermehrtes Kapital %%K^+%%

Berechne die Zinsen nach einem Jahr mit der Formel für den Zinssatz.

%%Z = p\cdot K%%

Setze das Kapital und den Zinssatz ein und berechne.

%%Z = 5\% \cdot 700\,€ = 0,05\cdot 700\,€ = 35\,€%%

Berechne den zu zahlenden Betrag nach einem Jahr.

%%K^+ = 700\,€ + 35\,€ = 735 \,€%%

Antwort: Beim ersten Angebot muss Karl 750 € und beim zweiten Angebot nur 735 € zahlen. Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.

Beim zweiten Angebot handelt es sich um eine Geldvermehrung, also um ein vermehrtes Kapital.

Gegeben:
%%K=700\,€;p=5\% %%

Gesucht:
Vermehrtes Kapital %%K^+%%

Berechne die Zinsen nach einem Jahr mit dem Dreisatz

DreisatzSofa700€zu5%

Berechne den zu zahlenden Betrag nach einem Jahr.

%%K^+ = 700\,€ + 35\,€ = 735 \,€%%

Antwort: Beim ersten Angebot muss Karl 750 € und beim zweiten Angebot nur 735 € zahlen. Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.

Jannick bekommt auf sein Konto 1% Zinsen. Da die Bank viele Gewinne einfahren konnte, erhöht sie seinen Zinssatz um 0,2 Prozentpunkte.

Wie hoch wäre Jannicks Zinssatz, wenn er um 0,2 Prozent erhöht worden wäre?

Berechnung des Prozentwertes

Gegeben:
Alter Zinssatz: 1%
Erhöhung um 0,2 Prozent

Gesucht:
Neuer Zinssatz

In der Aufgabe handelt es sich um eine Zinserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert. Stelle die Formel für den vermehrten Grudnwert auf.

%%G^+ = G \cdot (1+p)%%
%%G^+ = 1\% \cdot (1+0,2\%)%%
%%G^+ = 1\% \cdot (1+0,002)%%
%%G^+ = 1\% \cdot 1,002%%
%%G^+ = 1,002\% %%

Setzte den Grundwert und den Prozentsatz ein und berechne.

Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.

Gegeben:
Alter Zinssatz: 1%
Erhöhung um 0,2 Prozent

Gesucht:
Neuer Zinssatz

Berechne zunächst den Prozentwert. Verwende die Formel %%W=p \cdot G%%

%%W=p \cdot G%%

Setzte den Grundwert und den Prozentsatz ein und berechne.

%%W = 0,2\% \cdot 1\% %%
%%W = 0,002 \cdot 1\% %%
%%W = 0,002\% %%

Addiere den Prozentwert zum Grundwert um den neuen Zinssatz zu erhalten.

%%0,002\% + 1\% = 1,002\% %%

Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.

Gegeben:
Alter Zinssatz: 1%
Erhöhung um 0,2 Prozent

Gesucht:
Neuer Zinssatz

Berechne den Prozentwert.

DreisatzProzentpunkte

Addiere den Prozentwert zum Grundwert um den neuen Zinssatz zu erhalten.

%%0,002\% + 1\% = 1,002\% %%

Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.

Alternative einschrittige Lösung mit Dreisatz

Gegeben:
Alter Zinssatz: 1%
Erhöhung um 0,2 Prozent

Gesucht:
Neuer Zinssatz

In der Aufgabe handelt es sich um eine Zinserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert. Der vermehrte Grundwert entspricht 100,2%. Berechne den neuen Zinssatz.

DreisatzProtzentpunkteeinschrittig

Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.

Überlege dir, wann es keinen Unterschied macht, ob man von Veränderung in Prozent oder Prozentpunkten spricht.

Man spricht von einer Veränderung von x Prozent, wenn sich der Grundwert um einen Prozentsatz x verändert.

Dabei entspricht dann der Grundwert 100% und der veränderte Grundwert (100+x)% bei einer Vermehrung bzw (100-x)%, wenn es sich um eine Verminderung handelt.

Zum Beispiel könnte der Grundwert 50 sein und um 25% erhöht werden. Dh er wird um ein Viertel auf 62,5 erhöht.

Bei einer Veränderung in Prozentpunkten ist ein Anfangswert gegeben, der einer beliebigen Prozentzahl entsprechen kann (nicht unbedingt 100) und du erhöhst oder verminderst diesen Wert um diese Zahl.

Im Beispiel von oben könnte nun der Anfangswert wieder 50 sein und diesmal nicht 100% sondern 25% entsprechen. Eine Vermehrung um 25 Prozentpunkte bedeutet dann eine Vermehrung auf 50% und somit eine Verdopplung. Der Anfangswert würde dann auf 100 erhöht.

Der eigentliche Unterschied zwischen beiden Varianten ist also, dass bei der Veränderung in Prozentpunkten der Ausgangswert nicht unbedingt 100% entsprechen muss. Tut er das aber, so sind beide Bezeichnungen gleichbedeutend.

Also sind Prozentpunkte und Prozent genau dann das gleiche, wenn der Ausgangswert 100% entspricht.

Im Jahr 2000 hat Frau Schuhmacher ein Sparkonto mit 5000 € mit einen Zinssatz von 1 % pro Jahr angelegt. Noch im gleichen Jahr hebt Frau Schumacher jedoch 10 € ab. Im Jahr darauf schon 20 € und in jedem weiteren Jahr wieder 10 € mehr. Die Verzinsung erfolgt jeweils erst nach der Abhebung. Berechne für die ersten 10 Jahre den Kontostand nach der Verzinsung. Gibt es ein Maximum (oder Minimum) des Kontostands? Erkläre warum. Wie wird sich der Kontostand weiterentwickeln?

Wechselspiel von Zinsen und Abhebung

Gegeben:

Anfangskontostand: %%K_{Anfang}=5000~€%%

Zinssatz: %%p=1 \% %%

Zinsen: %%Z=p \cdot K%%

Abhebungen: %%a_{Jahr 1} =10~€ ~;~ a_{Jahr 2}=20~€ ~; ~…%%

Berechne den Kontostand nach den ersten beiden Jahren.

%%\begin{array}{rcl} K_{Jahr 1} &=& \left( K_{Anfang} - a_{Jahr1} \right) \cdot \left( 1 + p \right)\\ &=& \left( 5000~€ - 10~€ \right) \cdot \left( 1+ 1 \% \right) \\ &=& 5039,90~€ \end{array}%%

%%\begin{array}{rcl} K_{Jahr 2} &=& \left( K_{Jahr1} - a_{Jahr2} \right) \cdot \left( 1 + p \right)\\ &=& \left( 5039,90~€ - 20~€ \right) \cdot \left( 1+ 1 \% \right) \\ &=& 5070,10~€ \end{array}%%

Überlege dir eine allgemeine Formel, um die Zinsen für das nächste Jahr zu berechnen.

%%K_{Jahr} = \left( K_{Vorjahr}-a_{Jahr} \right) \cdot \left( 1+ p \right)%%

Erstelle die Wertetabelle für alle 10 Jahre.

%%\begin{array}{r|r|r} \bf{Jahr} & K_{Vorjahr} & a_{Jahr} & Z& \bf{K_{Jahr}} \\ \hline \bf{1} & 5000,00~€ & 10~€ & 49,90~€ & \bf{5039,90~€} \\ \bf{2} & 5039,90~€ & 20~€ & 50,20~€ & \bf{5070,10~€} \\ \bf{3} & 5070,10~€ & 30~€ & 50,40~€ & \bf{5090,50~€} \\ \bf{4} & 5090,50~€ & 40~€ & 50,50~€ & \bf{5101,00~€} \\ \bf{5} & 5101,00~€ & 50~€ & 50,51~€ & \bf{5101,52~€} \\ \bf{6} & 5101,52~€ & 60~€ & 50,42~€ & \bf{5091,93~€} \\ \bf{7} & 5091,93~€ & 70~€ & 50,22~€ & \bf{5072,15~€} \\ \bf{8} & 5072,15~€ & 80~€ & 49,92~€ & \bf{5042,07~€} \\ \bf{9} & 5042,07~€ & 90~€ & 49,52~€ & \bf{5001,59~€} \\ \bf{10} & 5001,59~€ & 100~€ & 49,02~€ & \bf{4950,61~€} \\ \end{array}%%

(In der Aufgabe war nur eine Tabelle mit der erste und letzte Spalte (%%Jahr%% und %%K_{Jahr}%%) gefragt. Wenn du magst kannst du aber auch die anderen Größen überprüfen. ;-) )

Gibt es ein Maximum oder Minimum des Kontostands (%%K_{Jahr}%%)?

Es gibt ein Maximum des Kontostands nach 5 Jahren mit 5101,52 €.

Ekläre, wie es zu dem Maximum kommt.

In den ersten Jahren steigt das Guthaben. Die Zinsen sind höher als der abgehobene Betrag. Nach 5 Jahren (Maximum des Guthabens) kehrt sich dies um: Die Zinsen decken nicht mehr die steigende Abhebung.

Erkläre den Verlauf des Guthabens. Schätze ab, wie es sich nach den 10 Jahren weiterentwickelt.

Nach dem 5. Jahr (Maximum des Guthabens) nimmt das Guthaben erst um ca. 10 € (6. Jahr), dann um ca. 20 € (7. Jahr) ab. Die Abhebungen steigen weiter an und lassen das Guthaben schrumpfen. Daher werden auch die Zinsen auf das Guthaben immer geringer. Das Guthaben nimmt insgesamt immer stärker ab.

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