Aufgaben zur Berechnung von Schnittpunkten von Geraden

Hier findest du Übungsaufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten von Geraden. Lerne, Schnittpunkte rechnerisch und graphisch zu bestimmen.

1
Finde den Schnittpunkt
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Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne diesen in ein Koordinatensystem.

Gib den Schnittpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+\frac54;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x-1$

$\mathrm f:\;2\mathrm y-\mathrm x=3;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+4$

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x-1;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x-4$

$\mathrm f:\;\mathrm x=2;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=-\frac34\mathrm x-\frac32$

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.

Gib den Schnittpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0{,}05\mathrm x+20;\;\;\;\;\;\mathrm g\left(\mathrm x\right)=0{,}15\mathrm x+15$

Geradenschnittpunkte berechnen.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden $g_1(x)$ und $g_2\left(x\right)$ . Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.

Gib den Schnittpunkt in das Eingabefeld ein: "S(1;3)" oder S(1|3)" zum Beispiel.

${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+4$

${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x-1\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-2\mathrm x+1$

${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac34\mathrm x-4\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x-1$

${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=-\frac12\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+3$

${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x+2\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+3$

${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)=\frac34\mathrm x+1\;\;\;\;\;{\mathrm g}_2\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+2$

Betrachte folgende Graphen.

Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\text f(x):y=m_fx+b_f$
Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $A(0|3)$ und $B(4|2)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
$\displaystyle m_f=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_f=\frac{2-3}{4-0}=-\frac14$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_f$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
$\text f(x):y=m_fx+b_f$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$\displaystyle 3=-\frac14\cdot0+b_f$
Vereinfache.
$3=b_f\Rightarrow b_f=3$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text f(x)=-\frac14\cdot x+3$ .
$\text g(x):y=m_gx+b_g$
Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $C(-4|0)$ und $D(0|1)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
$\displaystyle m_g=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_g=\frac{1-0}{0-(-4)}=\frac14$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_g$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
$\text g(x):y=m_gx+b_g$
Setz zum Beispiel $D$ ein.
$\displaystyle 1=\frac14\cdot0+b_g$
Vereinfache.
$\displaystyle 1=b_g\Rightarrow b_g=1$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text g(x)=\frac14\cdot x+1$ .
$\text h(x):y=m_hx+b_h$
Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $E(-1|0)$ und $A(0|3)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
$\displaystyle m_h=\frac{y_A-y_E}{x_A-x_E}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_h=\frac{3-0}{0-(-1)}=3$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_h$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
$\text h(x):y=m_hx+b_h$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$3=3\cdot0+b_h$
Vereinfache.
$3=b_h\Rightarrow b_h=3$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text h(x)=3\cdot x+3$ .
$\text i(x):y=m_ix+b_i$
Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel $F(0|-3)$ und $S(6|0)$ . Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
$\displaystyle m_i=\frac{y_S-y_F}{x_S-x_F}$
Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_i=\frac{0-(-3)}{6-0}=\frac12$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_i$ , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
$\text i(x):y=m_ix+b_i$
Setz zum Beispiel $F$ ein.
$\displaystyle-3=\frac12\cdot0+b_i$
Vereinfache.
$-3=b_i\Rightarrow b_i=-3$
Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle\text i(x)=\frac12\cdot x-3$ .
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Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.

Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen

Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.

Schnittpunkt $T(x_T|y_T)$ von h und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $h(x):y=3x+3$ und $\displaystyle i(x):y=\frac12x-3$ .

$\displaystyle \displaystyle3x_T+3$	$=$	$\displaystyle \frac12x_T-3$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-3$
$\displaystyle \frac{5}{2}x_T$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :\frac{5}{2}$
$\displaystyle x_T$	$=$	$\displaystyle -\frac{12}{5}$

Setz nun $-\frac{12}{5}$ in die Geradengleichung von h oder i ein, um $y_T$ zu bestimmen.

$h(x_T):y_T=3⋅x_T+3$

Setz $x_T$ ein.

$\displaystyle y_T=3\cdot\left(-\frac{12}5\right)+3=-\frac{21}5$

Die Geraden h und i schneiden sich also bei $\displaystyle T\left(-\frac{12}5\left|-\frac{21}5\right.\right)$ .

Schnittpunkt $Q(x_Q|y_Q)$ von g und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach $x$ um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) $\displaystyle g(x):y=\frac14x+1$ und $\displaystyle i(x):y=\frac12x-3$ .

$\displaystyle \displaystyle\frac14x_Q+1$	$=$	$\displaystyle \frac12x_Q-3$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-1$
$\displaystyle \displaystyle -\frac14x_Q$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{4}\right)$

$\displaystyle x_Q=16$

Setz nun $16$ in die Geradengleichung von g oder i ein, um $y_Q$ zu bestimmen.

$\displaystyle g(x_Q):y_Q=\frac14⋅x_Q+1$

Setz $x_Q$ ein.

$\displaystyle y_Q=\frac14\cdot16+1=5$

Die Geraden g und i schneiden sich also bei $\displaystyle Q(16|5)$ .

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Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
Schnittpunkte kann es höchstens geben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
f und g
f und h
f und i
g und h
g und i
h und i
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Berechne den Schnittpunkt der Geradenpaare.

Gib den Schnittpunkt in das Eingabefeld ein, zum Beispiel so: "S(4|-5)" oder "S(4;-5)"

Wenn es keinen Schnittpunkt gibt, gib "-" ein.

$y=3x+4$ und $\;$ $y=-2x+14$

$y=6x-3$ und $y=7x-11$

$y=8x+3$ und $y=-4x+6$

$y=7x-14$ und $y=7x-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Geraden mit gleicher Steigung (hier 7) schneiden sich nicht, denn sie sind parallel zueinander.Setzt man die Funktionsterme gleich, so erhält man eine falsche Aussage, also keinen Schnittpunkt.
$\displaystyle 7x-14$ $=$ $\displaystyle 7x-3$ $\displaystyle -7x$
$\displaystyle -14$ $=$ $\displaystyle -3$
↓
falsche Aussage!
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$y=\frac16x-4$ und $y=\frac{1}{3}x-10$

$y=\frac12x+\frac32$ und $y=\frac12$

Zeige rechnerisch, dass sich die drei Geraden $g_1$ : $y=0{,}5x$ ; $g_2$ : $y=x-1{,}5$ ; $g_3$ : $y=-2x+7{,}5$ in genau einem Punkt schneiden.

Prüfe, ob die Geraden $g, h, i$ durch einen Punkt verlaufen.

$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\mathrm x+1;\;\;\;\;\;\mathrm h:\;2\mathrm y+\mathrm x+4=0;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;3\mathrm y-5\mathrm x=7$

Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y=mx+t$ .

Gerade g:

$g(x)=x+1$

$\Leftrightarrow y=x+1$

Gerade h:

$2y +x +4=0$

$\Leftrightarrow 2y=-x-4$

$\Leftrightarrow y=-\frac12x-2$

Gerade i:

$3y-5x=7$

$\Leftrightarrow 3y=5 x+7$

$\Leftrightarrow y=\frac53 x+\frac73$

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-2$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x-1$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle x+\frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -2-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{3}{2}x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\frac{3}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y=-2+1=-1$

Der Schnittpunkt ist $S_{gh}(-2\,|\,-1).$

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}x+\frac{7}{3}$	$\displaystyle -\frac{5}{3}x-1$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle x-\frac{5}{3}x$	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{2}{3}x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$	$\displaystyle :(-\frac{2}{3})$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y=-2+1=-1$

Der Schnittpunkt ist $S_{gi}(-2\,|\,-1).$

Da sich $g$ mit $h$ und mit $i$ im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch $h$ und $i$ in diesem Punkt. Die Geraden laufen also alle durch den Punkt $(-2|-1)$ .

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$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac16\mathrm x+\frac32;\;\;\;\;\;\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2;\;\;\;\;\;\mathrm i:\;2\mathrm x-\mathrm y=3$

Ja sie verlaufen durch einen Punkt.
Nein, sie verlaufen nicht durch einen Punkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden

Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form $y=mx+t$ .

Gerade g:

$g(x)=\frac16x+\frac32$

$\Leftrightarrow y=\frac16x+\frac32$

Gerade h:

$h(x)=-\frac23x+2$

$\Leftrightarrow y=-\frac23x+2$

Gerade i:

$2x-y=3$

$\Leftrightarrow y=2 x-3$

Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle \frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x+2$	$\displaystyle +\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle \frac{1}{6}x+\frac{2}{3}x$	$=$	$\displaystyle 2-\frac{3}{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{5}{6}x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle :\frac56$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac35$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y=\frac16\cdot\frac35+\frac32$

$\;\;\,=\frac{1}{10}+\frac32=\frac{16}{10}$

$\;\;\,=\frac{8}{5}$

Der Schnittpunkt ist $S_{gh}\left(\frac35\,|\,\frac85\right).$

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.

$\displaystyle \frac16x+\frac32$	$=$	$\displaystyle 2x-3$	$\displaystyle -2x-\frac32$
	↓	Sortiere nach $x$ -Termen und Zahlen.
$\displaystyle \frac16x-2x$	$=$	$\displaystyle -3-\frac32$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{11}{6}x$	$=$	$\displaystyle -\frac92$	$\displaystyle :(-\frac{11}{6})$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac92\cdot\frac{6}{11}=\frac{27}{11}$

Setze in $g$ ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.

$y=\frac16\cdot\frac{27}{11}+\frac32$

$\;\;\,=\frac{9}{22}+\frac32=\frac{42}{22}$

$\;\;\,=\frac{21}{11}$

Der Schnittpunkt ist $S_{gi}\left(\frac{27}{11}\,|\,\frac{21}{11}\right).$

Damit schneidet die Gerade $g$ die Gerade $h$ in einem anderen Punkt als die Gerade $i$ . Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.

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9
Bestimmung von Schnittpunkten
Gegeben ist eine Gerade g und eine Gerade h.
1. Bestimme die Geradengleichungen von g und h.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Der Parameter $m$ ist die Steigung der Geraden. Der Parameter $t$ ist der y-Achsenabschnitt.
  Gerade g:
  $y = m_gx + t_g$
  Die Gerade g hat die Steigung $-\frac{3}{2}$ , das heißt $m_g = -\frac{3}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + t_g$
  Sie schneidet die y-Achse bei $\frac{9}{2}$ , das heißt $t_g = \frac{9}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
  Gerade h:
  $y = m_hx + t_h$
  Die Gerade h hat die Steigung $2$ , das heißt $m_h = 2$
  $y = 2x + t_h$
  Die Gerade schneidet die y-Achse bei $1$ , das heißt $t_h = 1$ .
  $y = 2x + 1$
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2. Lies den Schnittpunkt ab.
  Gib den Punkt in das Eingabefeld ein. Beispiel: "(-2;1)" oder "(-2|1)"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt
  Schnittpunkte ablesen
  Wir lesen aus der Zeichnung den Schnittpunkt $\text{SP} (1|3)$ ab.
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Der Leuchtturm

Ein Leuchtturm befindet sich im Punkt $L(4|8)$ . Mit deinem Schiff befindest du dich auf dem Kurs $y=0{,}5x+1$ .

Runde alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma. Es gibt verschiedene Lösungswege.

Welchen Abstand hat dein Schiff zum Leuchtturm, wenn es sich bei $x=0$ befindet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnung des Abstands an der Stelle $x=0$ .
Grundsätzlich ist eine Skizze des Problems immer hilfreich. Es kann einerseits zu einer graphsichen Lösung führen oder auch den Ansatz zu einer rechnerischen Lösung veranschaulichen.
An der Stelle $x=0$ befindet sich das Schiff im Punkt $P(0|1)$ .
Der Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm ist die Länge der Strecke $\overline{PL}$ .
In der Skizze lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck finden, sodass der Abstand mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden kann:
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Skizziere ein Koordinatensystem, zusammen mit dem Punkt $L(4|8)$ und die Route des Schiffes.

Das Schiff fährt auf besagter Route $y=0{,}5x+1$ . Bei welchen Koordinaten hat es den kürzesten Abstand zum Leuchtturm? Gib den Punkt in der Form $(x,y)$ an.

Gib den kürzesten Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Kürzester Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm
Wie in Teilaufgabe (a) kann der Abstand zwischen den Punkten mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
$|\overline{PL}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4{,}47$
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Berechne den Abstand zwischen den Punkten $L(4|8)$ (Leuchtturm) und $P(6|4)$ (Schiff).

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Schnittpunkte zweier Geraden berechnen
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g: y = 2x + 3$ und $h: y = -x + 6$
$S(1, 5)$
$S(2, 7)$
$S(1, 3)$
$S(2, 5)$
Setze die Gleichungen gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu berechnen: $2x + 3 = -x + 6$ .
Addiere $x$ auf beiden Seiten der Gleichung, um alle x-Terme auf einer Seite zu haben: $3x + 3 = 6$ .
Subtrahiere 3 auf beiden Seiten, um $x$ zu isolieren: $3x = 3$ .
Teile beide Seiten durch 3, um den Wert von $x$ zu erhalten: $x = 1$ .
Setze den Wert von $x$ in eine der beiden Gleichungen ein, um $y$ zu berechnen. Wir verwenden die erste Gleichung: $y = 2\cdot1 + 3$ .
Berechne den Wert von $y$ : $y = 2 + 3=5$ .
Der Schnittpunkt $S$ hat die Koordinaten $(1;5)$ .
Setze die Gleichungen gleich, um den x-Wert zu finden. Löse dann nach x auf und setze diesen Wert in eine der Gleichungen ein, um y zu berechnen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -3\mathrm{x}+\frac{5}{4}$	$=$	$\displaystyle - x -1$	$\displaystyle +3\mathrm x+1$
$\displaystyle -\mathrm x+3\mathrm x$	$=$	$\displaystyle \frac54+1$
	↓	Addiere
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \frac94$	$\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{8}=1{,}125$

$\displaystyle 2y - x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 3 + x$	$\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac32+\frac{\mathrm x}2$

$\displaystyle \frac32+\frac{\mathrm x}2$	$=$	$\displaystyle -\frac12x+4$	$\displaystyle +\frac{\mathrm x}2-1{,}5$
$\displaystyle \frac{\mathrm x}2+\frac{\mathrm x}2$	$=$	$\displaystyle 4-1{,}5$
	↓	Addiere und subtrahiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac16\cdot\frac{18}5-4$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac35-4$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle - 3{,}4$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac34\cdot2-\frac32$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac32-\frac32$
	↓	Subtrahiere.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac62$
	↓	Dividiere.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac98 -1$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -2{,}125$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac32+\frac{2{,}5}2$
	↓	Addiere
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2{,}75$

$\displaystyle -\frac23\mathrm x-1$	$=$	$\displaystyle \frac16\mathrm x-4$	$\displaystyle +\frac23\mathrm x+4$
$\displaystyle \frac16\mathrm x+\frac23\mathrm x$	$=$	$\displaystyle -1 + 4$
	↓	Addiere.
$\displaystyle \frac56 \mathrm x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :\frac56$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3\;:\;\frac56$
	↓	Dividiere durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\frac65$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{18}{5}$

$\displaystyle 0{,}05\mathrm{x}+20$	$=$	$\displaystyle 0{,}15\mathrm{x}+15$	$\displaystyle -0{,}05\mathrm x-15$
$\displaystyle 20-15$	$=$	$\displaystyle 0{,}15\mathrm x-0{,}05\mathrm x$
	↓	Subtrahiere und vertausche die Seiten.
$\displaystyle 0{,}10\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :0{,}1$
$\displaystyle \mathrm x$	$=$	$\displaystyle \frac5{0{,}1}$
	↓	Dividiere.
$\displaystyle \mathrm x_S$	$=$	$\displaystyle 50$

$\displaystyle \mathrm y$	$=$	$\displaystyle 0{,}05\cdot50+20$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle \mathrm y$	$=$	$\displaystyle 2{,}5+20$
	↓	Addiere.
$\displaystyle \mathrm y_S$	$=$	$\displaystyle 22{,}5$

$\displaystyle \frac12\mathrm x+2$	$=$	$\displaystyle -\frac12\mathrm x+4\\$	$\displaystyle \left\|+\frac12x-2\right.$
$\displaystyle \frac12\mathrm x+\frac12\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 4-2$
$\displaystyle \mathrm x_S$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Setze x in ${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)$ ein.
$\displaystyle \text{y}$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle \mathrm y_S$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle -2x+1$	$\displaystyle +2x+1$
$\displaystyle 2x+2x$	$=$	$\displaystyle 1+1$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \mathrm x_S$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Setze x in ${\mathrm g}_1(\mathrm x)$ ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}-1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 1-1$
$\displaystyle \mathrm y_S$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle g_1(x)$	$=$	$\displaystyle g_2(x)$
$\displaystyle \frac{3}{4}x-4$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-1$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x+4$
$\displaystyle \frac{3}{4}x+\frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -1+4$
$\displaystyle 1{,}25x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 1{,}25$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{1{,}25}$
$\displaystyle \mathrm x_S$	$=$	$\displaystyle 2{,}4$
	↓	Setze $x_S$ in ${\mathrm g}_1(\mathrm x)$ ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot2{,}4-4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 1{,}8-4$
$\displaystyle \mathrm y_S$	$=$	$\displaystyle -2{,}2$

$\displaystyle g_1\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g_2\left(x\right)$
$\displaystyle -\frac12\mathrm x+2$	$=$	$\displaystyle \frac12\mathrm x+3\\$	$\displaystyle \left\|+\frac12\mathrm x\right.-3$
$\displaystyle 2-3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x$
$\displaystyle \mathrm{x}_S$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze $x_S$ in ${\mathrm g}_1\left(\mathrm x\right)$ ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac12\cdot\left(-1\right)+2\\$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}+2$
$\displaystyle \mathrm{y}_S$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{x}+2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{x}+3$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\mathrm{x}-2$
$\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 3-2$
	↓	Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
$\displaystyle \frac{4}{6}\mathrm{x}-\frac{3}{6}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 3-2$
$\displaystyle \frac{1}{6}x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :\frac{1}{6}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac1{\frac16}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$\displaystyle \mathrm x_S$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle \frac34\mathrm x+1$	$=$	$\displaystyle \frac12\mathrm x+2$	$\displaystyle -\frac12x-1$
$\displaystyle \frac34\mathrm x-\frac12\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 2-1$
	↓	Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .
$\displaystyle \frac34\mathrm x-\frac24\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 2-1$
$\displaystyle \frac14\mathrm x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :\frac14$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac1{\frac14}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$\displaystyle \mathrm x_S$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle \displaystyle\frac14x_P+1$	$=$	$\displaystyle 3x_P+3$	$\displaystyle -3x_p-1$
	↓	Subtrahiere $3x_P$ und 1.
$\displaystyle \displaystyle -\frac{11}{4}x_P$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \div\left(-\frac{11}4\right)$
	↓	Dividiere durch $-\frac{11}4$ .
$\displaystyle x_p$	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{11}$

$\displaystyle \displaystyle-\frac14x_{N_f}+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle \displaystyle -\frac14x_{N_f}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\frac{1}{4}$
$\displaystyle \displaystyle x_{N_f}$	$=$	$\displaystyle 12$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3x+4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -2x+14$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des zu berechnen.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle -2x+14$	$\displaystyle +2x;\ -4$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot2+4$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S(2\|10)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6x-3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 7x-11$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate zu berechnen.
$\displaystyle 6x-3$	$=$	$\displaystyle 7x-11$	$\displaystyle +3;\ -7x\$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6\cdot8-3$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 45$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S(8\|45)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8x+3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -4x+6$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des zu berechnen.
$\displaystyle 8x+3$	$=$	$\displaystyle -4x+6$	$\displaystyle -3;\ +4x$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate des zu berechnen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{1}{4}+3$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S( $\frac14$ \| $5$ )

$\displaystyle 7x-14$	$=$	$\displaystyle 7x-3$	$\displaystyle -7x$
$\displaystyle -14$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	falsche Aussage!

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}x-4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x-10$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle \frac{1}{6}x-4$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x-10$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x;\ +4$
$\displaystyle -\frac{1}{6}x$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{6}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Koordinaten einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot36-10$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S (36\|2)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S(-2 \| 0,5)

$\displaystyle x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle -2x+7{,}5$
	↓	Addiere zunächst 2x und anschließend 1,5.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Dividiere durch 3.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

Aufgaben zur Berechnung von Schnittpunkten von Geraden

Finde den Schnittpunkt

Lösung der Aufgabe

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Lösung der Aufgabe

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Zeichnung

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Bestimmung des Schnittpunkts

Zeichnung

Geradenschnittpunkte berechnen

Zeichnung

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Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

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Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

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Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

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Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

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Geradenschnittpunkt berechnen

Zeichnung

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f(x):y=mfx+bf\text f(x):y=m_fx+b_ff(x):y=mf​x+bf​

g(x):y=mgx+bg\text g(x):y=m_gx+b_gg(x):y=mg​x+bg​

h(x):y=mhx+bh\text h(x):y=m_hx+b_hh(x):y=mh​x+bh​

i(x):y=mix+bi\text i(x):y=m_ix+b_ii(x):y=mi​x+bi​

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Schnittpunkt P(xp∣yp)P(x_p|y_p)P(xp​∣yp​) von g und h

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Schnittpunkt T(xT∣yT)T(x_T|y_T)T(xT​∣yT​) von h und i

Schnittpunkt Q(xQ∣yQ)Q(x_Q|y_Q)Q(xQ​∣yQ​) von g und i

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Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

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Bestimme den Schnittpunkt von g und h

Bestimme den Schnittpunkt von g und i

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Bestimmung von Schnittpunkten

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Schnittpunkte ablesen

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Der Leuchtturm

Berechnung des Abstands an der Stelle x=0x=0x=0.

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Graphische Lösung

Modellieren der Lotgeraden

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Kürzester Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm

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Schnittpunkte zweier Geraden berechnen

$\text f(x):y=m_fx+b_f$

$\text g(x):y=m_gx+b_g$

$\text h(x):y=m_hx+b_h$

$\text i(x):y=m_ix+b_i$

Schnittpunkt $P(x_p|y_p)$ von g und h

Schnittpunkt $T(x_T|y_T)$ von h und i

Schnittpunkt $Q(x_Q|y_Q)$ von g und i

Berechnung des Abstands an der Stelle $x=0$ .

$\displaystyle y_{Lot}$	$=$	$\displaystyle -2x+b$
	↓	Einsetzen von $L(4\|8)$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle -2\cdot4+b$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle -8+b$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle b$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle y_{Lot}$
$\displaystyle 0{,}5x+1$	$=$	$\displaystyle -2x+16$	$\displaystyle -16$
$\displaystyle 0{,}5x-15$	$=$	$\displaystyle -2x$	$\displaystyle -0{,}5x$
$\displaystyle -15$	$=$	$\displaystyle -2{,}5x$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle 2{,}5x$	$\displaystyle :2{,}5$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle x$