Aufgaben zu Termen mit Quadratwurzeln

Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.

$5 \cdot \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{18 x}$

$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Die erste Wurzel im Zähler ist immer positiv, da die Variable $a$ quadratisch vorkommt. Aber in der zweiten Wurzel des Zählers darf man nur positive Werte oder 0 einsetzen. Genauso verhält es sich bei der Wurzel im Nenner, hier muss aber a größer Null sein.
$D = ℝ_{}^{+}$ , also $a > 0$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.
$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$ $=$ $\sqrt{\frac{2 a^{2} \cdot 12 a}{8 a}}$
↓
Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
$=$ $\sqrt{3 a^{2}}$
↓
Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
$=$ $\sqrt{3} \cdot | a |$
↓
Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
$=$ $\sqrt{3} \cdot a$
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${(\sqrt{d - 2})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Setze daher den Radikand größer gleich 0.
$d - 2 \geq 0$
$d \geq 2$
$D = [2; \infty [$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Die Wurzel quadrieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$ $=$ $| d - 2 |$
$=$ $d - 2$
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$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Da der Term der unter der Wurzel steht noch quadriert wird, wird dieser immer positiv sein, egal welche Werte man für $d$ einsetzt.
$D = ℝ$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$ $=$ $| d - 2 |$
↓
Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
$=$ $| d - 2 |$
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2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gib den Definitionsbereich an.
1. $\sqrt{x - 36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf $x - 36$ nicht negativ sein. $x - 36$ ist negativ, wenn $x$ kleiner ist als $36$ .Deswegen muss $x$ entweder größer als $36$ sein oder $36$ gleichen, damit in der Wurzel kein negativer Wert steht. $x$ gehört außerdem zu den Reellen Zahlen. Nun kannst du den Definitionsbereich bestimmen.
  $x \in ℝ, x ⩾ 36$
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2. $\sqrt{36 + x^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen keine negativen Ausdrücke stehen, deswegen darf hier $36 + x^{2}$ nicht negativ sein. Eine quadrierte Zahl ist nie negativ, da das Produkt aus zwei negativen oder zwei positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann. $x$ kann also jede beliebige Zahl aus der reellen Zahlenmenge sein, ohne dass $x^{2} + 36$ kleiner als null wird.
  $D = ℝ$
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3. $\frac{1}{\sqrt{x + 36}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen. Außerdem darf der Nenner eines Bruches nicht null gleichen. Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, muss $x + 36$ größer als null sein. Dazu muss $x$ größer $- 36$ sein. Außerdem gehört $x$ zur reellen Zahlenmenge. Nun kannst du von $\frac{1}{\sqrt{x + 36}}$ den Definitionsbereich bestimmen.
  $x \in R, x > - 36$
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4. $\sqrt{x^{2} - 36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen, deshalb darf $x^{2} - 36$ nicht kleiner sein als null. Um diese Angaben einzuhalten, muss $x^{2}$ also größer gleich $36$ sein. $x^{2}$ ist nicht größer gleich $36$ , wenn $x$ irgendeine Zahl im Bereich zwischen -6 und 6, ausgeschlossen -6 und ausgeschlossen 6, ist. Allgemein gehört $x$ zu den reellen Zahlen. Damit kannst du nun den Definitionsbereich von $\sqrt{x^{2} - 36}$ angeben.
  $D = ℝ \] - 6; 6 [$
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3
Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.
1. $\sqrt{49 a^{4} b^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{49 a^{4} b^{2}}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Da die Exponenten von $a$ und $b$ gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da $x^{2 n}$ immer positiv ist.
  $D_{\max} = ℝ$
  Wurzel ziehen.
  $\sqrt{49 a^{4} b^{2}} = 7 \cdot a^{2} \cdot | b |$
  Betragsstriche, da $b$ negativ sein könnte.
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2. $\sqrt{{(- b)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(- b)}^{2}}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Der Exponent von $b$ ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da ${(- x)}^{n_{gerade}}$ immer positiv ist.
  $D_{\max} = ℝ$
  $- b$ quadrieren.
  $\sqrt{{(- b)}^{2}}$ $=$ $\sqrt{b^{2}}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
  $=$ $| b |$
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3. ${\sqrt{- b}}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${\sqrt{- b}}^{2}$
  Die Zahl unter der Wurzel darf nicht negativ sein. $\Rightarrow$ Nur negative Zahlen oder $0$ sind für $b$ möglich.
  $D_{\max} = ℝ_{0}^{-}$
  ${\sqrt{- b}}^{2}$ $= - b$
  Die Potenz hebt die Wurzel auf.
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4. $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}} = | 1 - 2 x |$
  Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
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5. $\sqrt{{(x - y)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(x - y)}^{2}}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{{(x - y)}^{2}} = | x - y |$
  Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.
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6. $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von $x$ und $y$ gerade sind, darf für $x$ und $y$ alles eingesetzt werden.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.
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7. $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}}$
  Das $x$ steht unter der Wurzel im Quadrat. Deshalb kann man für $x$ alle Werte einsetzen.
  $\to 𝔻 = ℝ$
  Es gilt $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}} = \sqrt{{(x \cdot y)}^{2}}$ . Ziehe dann die Wurzel, dabei heben sich Wurzel und Quadrat auf. Vergiss nicht, die Betragsstriche zu setzen!
  $= | x \cdot y |$
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Vereinfache:

$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
↓
Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
↓
Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$ $10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$ $10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$ $\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$
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$\sqrt{64 k^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{64 k^{2}}$
↓
Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
↓
Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln .
(Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$ $8 \cdot | k |$
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$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}} (x, y, z > 0)$

5
Vereinfache den Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ und gib an, für welche Werte von $x$ sich der Termwert $0$ ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsmenge bestimmen
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$
Beim ersten Summand steht $x$ alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.
Beim zweiten Summanden steht $x^{2}$ unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das $x$ in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen $x$ nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche $x$ negativ oder positiv war.
Also kann man alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.
$D = ℝ$
Radizieren
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$
Schreibe $169$ als Quadratzahlen.
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ $=$ $\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
↓
Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
$=$ $13 \cdot x + 13 \cdot | x |$
Betrag auflösen
Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.
1. Fall: Positive $x$ , also $x \geq 0$
Wenn man nur positive $x$ -Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$ $=$ $13 x + 13 x$
$=$ $26 x$
$26 x = 0$ , wenn $x = 0$ gilt.
2. Fall: Negative $x$ , also $x \leq 0$
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$
Wenn man nur negative $x$ -Werte einsetzt, kann man $- x$ anstatt $| x |$ schreiben
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$ $=$ $13 x + 13 \cdot (- x)$
$=$ $13 x - 13 x$
$=$ $0$
Für negative $x$ -Werte wird der Ausdruck also immer 0.
Der Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ wird also $0$ für alle $x \leq 0$ , also für $x = 0$ und alle negativen Zahlen.

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1 / 2} = \frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
↓
Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
↓
Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
↓
Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$ $=$ $- 7 \pm \sqrt{41}$
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$x_{1 / 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$

7
Begründe, dass für positive $a$ gilt: $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Du willst zeigen, dass $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$
Versuche hierfür den Nenner rational zu machen.
$\frac{1}{\sqrt{a}}$
Erweitern mit $\sqrt{a}$
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}$
Benutze die Rechenregeln für das Produkt von Wurzeln.
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a \cdot a}}$
Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.
$= \frac{\sqrt{a}}{a}$
8
Für welche Werte von $x$ ist die „Aussage“ jeweils wahr?
1. $\sqrt{x^{2}} = - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für welche $x$ ist $\sqrt{x^{2}} = - x$ ?
  Allgemein ist $\sqrt{x^{2}} = | x |$ . Überlege daher:
  Für welche $x$ ist $| x | = - x$ ?
  Antwort: Für alle Werte von $x$ , die kleiner oder gleich 0 sind.
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2. $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für alle Werte $x \geq 1$ , weil $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = | x - 1 |$ und die Betragsfunktion nur für $x - 1 \geq 0$ gleich der rechten Seite ist.
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}}$
	↓ Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.
$=$	$\frac{\sqrt{x^{5} y} \cdot \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{5 a} \cdot \sqrt{x^{3} y^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 x}}{\sqrt{a}}$
	↓ Fasse die Brüche zusammen.
$=$	$\sqrt{\frac{x^{5} y \cdot a^{2} \cdot 25 x}{5 a x^{3} y^{3} a}}$
	↓ Kürze den Bruch .
$=$	$\sqrt{\frac{5 x^{3}}{y^{2}}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.
$=$	$\frac{x}{y} \sqrt{5 x}$

$5 \cdot \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{18 x}$	$=$	$5 \cdot \sqrt{2 x \cdot 18 x}$
	↓	Alles unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$5 \cdot \sqrt{36 x^{2}}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$5 \cdot 6 \cdot \| x \|$
	↓	Zusammenfassen und überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$30 x$

$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$	$=$	$\sqrt{\frac{2 a^{2} \cdot 12 a}{8 a}}$
	↓	Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
	$=$	$\sqrt{3 a^{2}}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot \| a \|$
	↓	Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot a$

$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$	$=$	$\| d - 2 \|$
	↓	Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
	$=$	$\| d - 2 \|$

$\sqrt{{(- b)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{b^{2}}$
	↓	Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
	$=$	$\| b \|$

	$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
	↓ Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$	$10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$	$10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$	$\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$

	$\sqrt{64 k^{2}}$
	↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln . (Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$	$8 \cdot \| k \|$

$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$	$=$	$\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
	↓	Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
	$=$	$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$

$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$	$=$	$13 x + 13 \cdot (- x)$
	$=$	$13 x - 13 x$
	$=$	$0$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$	$=$	$- 7 \pm \sqrt{41}$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 5 + 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 5 - 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7} \sqrt{7}} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{7}$

${(\sqrt{d - 2})}^{2}$	$=$	$\| d - 2 \|$
	$=$	$d - 2$

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Radizieren

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