Aufgaben zu Termen mit Quadratwurzeln

Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.

$5\cdot\sqrt{2x}\cdot\sqrt{18x}$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{12a}}{\sqrt{8a}}$

$\left(\sqrt{d-2}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\left(\sqrt{d-2}\right)^2$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Setze daher den Radikand größer gleich 0.
$d-2\geq0$
$d\geq2$
$D=\left[2;\infty\right[$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Die Wurzel quadrieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
$\displaystyle \left(\sqrt{d-2}\right)^2$ $=$ $\displaystyle \left|d-2\right|$
$=$ $\displaystyle d-2$
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$\sqrt{\left(d-2\right)^2}$

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gib den Definitionsbereich an.
1. $\sqrt{\mathrm x-36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf $x-36$ nicht negativ sein. $x-36$ ist negativ, wenn $x$ kleiner ist als $36$ .Deswegen muss $x$ entweder größer als $36$ sein oder $36$ gleichen, damit in der Wurzel kein negativer Wert steht. $x$ gehört außerdem zu den Reellen Zahlen. Nun kannst du den Definitionsbereich bestimmen.
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2. $\sqrt{36+\mathrm x^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen keine negativen Ausdrücke stehen, deswegen darf hier $36+x^2$ nicht negativ sein. Eine quadrierte Zahl ist nie negativ, da das Produkt aus zwei negativen oder zwei positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann. $x$ kann also jede beliebige Zahl aus der reellen Zahlenmenge sein, ohne dass $x^2+36$ kleiner als null wird.
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3. $\frac1{\sqrt{\mathrm x+36}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen. Außerdem darf der Nenner eines Bruches nicht null gleichen. Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, muss $x+36$ größer als null sein. Dazu muss $x$ größer $-36$ sein. Außerdem gehört $x$ zur reellen Zahlenmenge. Nun kannst du von $\frac1{\sqrt{\mathrm x+36}}$ den Definitionsbereich bestimmen.
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4. $\sqrt{\mathrm x^2-36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen, deshalb darf $x^2-36$ nicht kleiner sein als null. Um diese Angaben einzuhalten, muss $x^2$ also größer gleich $36$ sein. $x^2$ ist nicht größer gleich $36$ , wenn $x$ irgendeine Zahl im Bereich zwischen -6 und 6, ausgeschlossen -6 und ausgeschlossen 6, ist. Allgemein gehört $x$ zu den reellen Zahlen. Damit kannst du nun den Definitionsbereich von $\sqrt{x^2-36}$ angeben.
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Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.
1. $\sqrt{49a^4b^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{49a^4b^2}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Da die Exponenten von $a$ und $b$ gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da $x^{2n}$ immer positiv ist.
  $D_{\max}=ℝ$
  Wurzel ziehen.
  $\sqrt{49a^4b^2}=7\cdot a^2\cdot\left|b\right|$
  Betragsstriche, da $b$ negativ sein könnte.
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2. $\sqrt{\left(-b\right)^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{\left(-b\right)^2}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Der Exponent von $b$ ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da $\left(-x\right)^{n_\mathrm{gerade}}$ immer positiv ist.
  $D_{\max}=ℝ$
  $-b$ quadrieren.
  $\displaystyle \sqrt{\left(-b\right)^2}$ $=$ $\displaystyle \sqrt{b^2}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
  $=$ $\displaystyle \left|b\right|$
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3. $\sqrt{-b}^{\;2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{-b}^{\;2}$
  Die Zahl unter der Wurzel darf nicht negativ sein. $\;\;\Rightarrow\;\;$ Nur negative Zahlen oder $0$ sind für $b$ möglich.
  $D_{\max}=ℝ_0^-$
  $\sqrt{-b}^{\;2}$ $=-b$
  Die Potenz hebt die Wurzel auf.
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4. $\sqrt{\left(1-2x\right)^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{\left(1-2x\right)^2}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  ${\mathrm D}_\mathrm{max}=\mathbb{R}$
  $\sqrt{\left(1-2x\right)^2}=\left|1-2x\right|$
  Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
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5. $\sqrt{\left(x-y\right)^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{\left(x-y\right)^2}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  ${\mathrm D}_\mathrm{max}=\mathbb{R}$
  $\sqrt{\left(x-y\right)^2}=\left|x-y\right|$
  Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.
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6. $\sqrt{x^2+y^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^2+y^2}$
  Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von $x$ und $y$ gerade sind, darf für $x$ und $y$ alles eingesetzt werden.
  ${\mathrm D}_\mathrm{max}=\mathbb{R}$
  $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}$
  Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.
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7. $\sqrt{x^2\cdot y^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^2\cdot y^2}$
  Das $x$ steht unter der Wurzel im Quadrat. Deshalb kann man für $x$ alle Werte einsetzen.
  $\rightarrow \mathbb{D}= \mathbb{R}$
  Es gilt $\sqrt{x^2\cdot y^2}=\sqrt{\left(x\cdot y\right)^2}$ . Ziehe dann die Wurzel, dabei heben sich Wurzel und Quadrat auf. Vergiss nicht, die Betragsstriche zu setzen!
  $=\left|x\cdot y\right|$
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Vereinfache:

$\sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt8-3\sqrt{45}$

$\sqrt{64k^2}$

$\left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}a}\;\;\;\;\;\;\;\;\left(x,\;y,\;z\;>\;0\right)$

Vereinfache den Term $\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$ und gib an, für welche Werte von $x$ sich der Termwert $0$ ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

Definitionsmenge bestimmen

$\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$

Beim ersten Summand steht $x$ alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.

Beim zweiten Summanden steht $x^2$ unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das $x$ in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen $x$ nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche $x$ negativ oder positiv war.

Also kann man alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.

$D=\mathbb{R}$

Radizieren

$\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$

Schreibe $169$ als Quadratzahlen.

$\displaystyle \sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{13^2}\cdot x+\sqrt{13^2\cdot x^2}$
	↓	Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
	$=$	$\displaystyle 13\cdot x+13\cdot\left\|x\right\|$

Betrag auflösen

Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.

1. Fall: Positive $x$ , also $x\geq0$

Wenn man nur positive $x$ -Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.

$\displaystyle 13\cdot x+13\cdot\left\|x\right\|$	$=$	$\displaystyle 13x+13x$
	$=$	$\displaystyle 26x$

$26x=0$ , wenn $x=0$ gilt.

2. Fall: Negative $x$ , also $x\leq0$

$13\cdot x+13\cdot \left|x\right|$

Wenn man nur negative $x$ -Werte einsetzt, kann man $-x$ anstatt $\left|x\right|$ schreiben

$\displaystyle 13\cdot x+13\cdot\left\|x\right\|$	$=$	$\displaystyle 13x+13\cdot\left(-x\right)$
	$=$	$\displaystyle 13x-13x$
	$=$	$\displaystyle 0$

Für negative $x$ -Werte wird der Ausdruck also immer 0.

Der Term $\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$ wird also $0$ für alle $x\le0$ , also für $x=0$ und alle negativen Zahlen.

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Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2$

$x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$

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Begründe, dass für positive $a$ gilt: $\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}a$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Du willst zeigen, dass $\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}a$
Versuche hierfür den Nenner rational zu machen.
$\frac1{\sqrt a}$
Erweitern mit $\sqrt a$
$=\frac{1\cdot\sqrt a}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}}$
Benutze die Rechenregeln für das Produkt von Wurzeln.
$=\frac{1\cdot\sqrt a}{\sqrt{a\cdot a}}$
Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.
$=\frac{\sqrt a}a$
8
Für welche Werte von $x$ ist die „Aussage“ jeweils wahr?
1. $\sqrt{x^2}=-x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für welche $x$ ist $\sqrt{x^2}=-x$ ?
  Allgemein ist $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$ . Überlege daher:
  Für welche $x$ ist $\left|x\right|=-x$ ?
  Antwort: Für alle Werte von $x$ , die kleiner oder gleich 0 sind.
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2. $\sqrt{\left(x-1\right)^2}=x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für alle Werte $x\geq1$ , weil $\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\left|x-1\right|$ und die Betragsfunktion nur für $x-1\geq0$ gleich der rechten Seite ist.
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 5\cdot\sqrt{2x}\cdot\sqrt{18x}$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\sqrt{2x\cdot18x}$
	↓	Alles unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\sqrt{36x^2}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot6\cdot\left\|x\right\|$
	↓	Zusammenfassen und überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$\displaystyle 30x$

$\displaystyle \frac{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{12a}}{\sqrt{8a}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{2a^2\cdot12a}{8a}}$
	↓	Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3a^2}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left\|a\right\|$
	↓	Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot a$

	$\displaystyle \sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt{8}-3\sqrt{45}$
	↓ Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$	$\displaystyle \sqrt{5\cdot10^2}+3\sqrt{2\cdot7^2}-5\sqrt{2^2\cdot2}-3\sqrt{3^2\cdot5}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$	$\displaystyle 10\sqrt{5}+3\cdot7\sqrt{2}-5\cdot2\sqrt{2}-3\cdot3\sqrt{5}$
$=$	$\displaystyle 10\sqrt{5}+21\sqrt{2}-10\sqrt{2}-9\sqrt{5}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{5}+11\sqrt{2}$

	$\displaystyle \sqrt{64k^2}$
	↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$	$\displaystyle \sqrt{8^2\cdot k^2}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln . (Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$	$\displaystyle 8\cdot\left\|k\right\|$

	$\displaystyle \left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}{a}}$
	↓ Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.
$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{x^5y}\cdot\sqrt{a^2}}{\sqrt{5a}\cdot\sqrt{x^3y^3}}\cdot\frac{\sqrt{25x}}{\sqrt{a}}$
	↓ Fasse die Brüche zusammen.
$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{x^5y\cdot a^2\cdot25x}{5ax^3y^3a}}$
	↓ Kürze den Bruch .
$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{5x^3}{y^2}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.
$=$	$\displaystyle \frac{x}{y}\sqrt{5x}$

$\displaystyle \left(\sqrt{d-2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left\|d-2\right\|$
	$=$	$\displaystyle d-2$

$\displaystyle \sqrt{\left(d-2\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \left\|d-2\right\|$
	↓	Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
	$=$	$\displaystyle \left\|d-2\right\|$

$\displaystyle \sqrt{\left(-b\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{b^2}$
	↓	Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
	$=$	$\displaystyle \left\|b\right\|$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{4\cdot41}}{2}=\frac{-14\pm2\sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle -7\pm\sqrt{41}$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{81}}{2\sqrt{7}}=\frac{-5\pm9}{2\sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-5+9}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-5-9}{2\sqrt{7}}=\frac{-14}{2\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\sqrt{7}}=\frac{-14\sqrt{7}}{2\cdot7}=\frac{-14\sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{7}$

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