3. Lösen mithilfe der Polynomdivision (2|2)

Beispiel

1. Schritt:

%%f(x)=x^3-6x^2+5x+12%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(1)=1^3-6\cdot1^2+5\cdot1+12=12%%

%%f(1)\neq0%%

Setze z.B. %%-1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-1)=(-1)^3-6\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+12%%

%%\phantom{f(-1)}=-1-6-5+12=0%%

Die Funktion %%f(x)%% hat an der Stelle %%x_1=-1%% eine Nullstelle.

2. Schritt:

Da %%f(-1)=0%%, wissen wir, dass %%f(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+1)%% besitzt.

Teile nun %%f(x)%% durch %%(x+1)%%.

%%(x^3-6x^2+5x+12):(x+1)=x^2-7x+12%%

Durchführung der Polynomdivision

%%\begin{array}{-}\;\;(x^3-6x^2+5x+12):(x+1)=x^2-7x+12\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-7x^2+5x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-7x^2-7x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

3. Schritt:

%%f(x)=(x+1)\cdot(x^2-7x+12)%%

Die Funktion %%f(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=-1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%f%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-7x+12=0%%

Da das Polynom %%x^2-7x+12%% die Form einer quadratischen Funktion hat, kannst du die Nullstellen mithifle der Mitternachtsformel bestimmen.

4. Schritt:

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\displaystyle\frac{7\pm1}{2}%%

%%x_2=4%%

%%x_3=3%%

Fall 1: %%+%%

Fall 2: %%-%%

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