123. Lösen mithilfe der Polynomdivision (2|2)

1. Schritt:

$f(x)=x^3-6x^2+5x+12$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-6\cdot1^2+5\cdot1+12=12$

$f(1)\neq0$

Setze z.B. $-1$ in $f(x)$ ein.

$f(-1)=(-1)^3-6\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+12$

$\phantom{f(-1)}=-1-6-5+12=0$

2. Schritt:

$f(x)=(x+1)\cdot(x^2-7x+12)$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=-1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-7x+12=0$

$\displaystyle x_{2{,}3}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot 1}$

Unter der Wurzel zusammenfassen.

$\displaystyle \phantom{x_{2{,}3}}=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\displaystyle\frac{7\pm1}{2}$

$x_2=4$

$x_3=3$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$