123. Lösen mithilfe der Polynomdivision (2|2)

Beispiel

1. Schritt:

f(x)=x36x2+5x+12f(x)=x^3-6x^2+5x+12

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. 11 in f(x)f(x) ein.

f(1)=13612+51+12=12f(1)=1^3-6\cdot1^2+5\cdot1+12=12

f(1)0f(1)\neq0

Setze z.B. 1-1 in f(x)f(x) ein.

f(1)=(1)36(1)2+5(1)+12f(-1)=(-1)^3-6\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+12

f(1)=165+12=0\phantom{f(-1)}=-1-6-5+12=0

Die Funktion f(x)f(x) hat an der Stelle x1=1x_1=-1 eine Nullstelle.

2. Schritt:

Da f(1)=0f(-1)=0, wissen wir, dass f(x)f(x) den dazugehörigen Linearfaktor (x+1)(x+1) besitzt.

Teile nun f(x)f(x) durch (x+1)(x+1).

(x36x2+5x+12):(x+1)=x27x+12(x^3-6x^2+5x+12):(x+1)=x^2-7x+12

3. Schritt:

f(x)=(x+1)(x27x+12)f(x)=(x+1)\cdot(x^2-7x+12)

Die Funktion f(x)f(x) wird dann 00, sobald mindestens einer der Faktoren gleich 00 ist. Da die Nullstelle x1=1x_1=-1 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von ff bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich 00 setzt.

x27x+12=0x^2-7x+12=0

Da das Polynom x27x+12x^2-7x+12 die Form einer quadratischen Funktion hat, kannst du die Nullstellen mithifle der Mitternachtsformel bestimmen.

4. Schritt:

x2,3=7±(7)2411221\displaystyle x_{2{,}3}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot 1}

Unter der Wurzel zusammenfassen.

x2,3=7±12=7±12\displaystyle \phantom{x_{2{,}3}}=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\displaystyle\frac{7\pm1}{2}

x2=4x_2=4

x3=3x_3=3

Fall 1: ++

Fall 2: -


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