2018

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen $(𝔾 = ℚ)$
1. $\frac{1}{2} x \cdot (4 x - 3) =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen und Klammmern
  $\frac{1}{2} x \cdot (4 x - 3) = \frac{1}{2} x \cdot 4 x + \frac{1}{2} x \cdot (- 3) = \frac{4}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x = 2 x^{2} - 1,5 x$
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  Zum Ausmultiplizieren der Klammer wende das Distributivgesetz an.
2. $(2 x - 7) \cdot (1 - 3 x) =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
  $(2 x - 7) \cdot (1 - 3 x) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot (- 3 x) + (- 7) \cdot 1 + (- 7) \cdot (- 3 x) = 2 x - 6 x^{2} - 7 + 21 x = 23 x - 6 x^{2} - 7$
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  Multipliziere komponentenweise
2
Bei den folgenden Termen ( $x \in ℝ$ ) soll ausgeklammert werden. Ordne dem jeweiligen Term, den richtigen der beiden Terme zu.
1. $0,5 x^{2} - x + 3$
  $0,5 (x^{2} - 2 x + 6)$
  $0,5 (x^{2} - 2 x + 1,5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $0,5 x^{2} - x + 3 = 0,5 (x^{2} - 2 x + 6)$
  Probe: $0,5 x^{2} + 0,5 \cdot (- 2 x) + 0,5 \cdot 6 = 0,5 x^{2} - x + 3$
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  Klammere 0,5 aus.
2. $3 x^{2} + 4,5 x + 3$
  $3 (x^{2} + 1,5 x)$
  $3 (x^{2} + 1,5 x + 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $3 x^{2} + 4,5 x + 3 = 3 (x^{2} + 1,5 x + 1)$
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  Klammere 3 aus
3
In einem blickdichten Säckchen befinden sich drei gleichartige Kugeln: eine rote, eine gelbe und eine blaue Kugel. Dieter nimmt die drei Kugeln einzeln heraus, ohne sie jeweils zurückzulegen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gelbe Kugel als zweite gezogen wird?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Baumdiagramm
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die gelbe Kugel als zweite gezogen wird.
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,333 \Rightarrow P \approx 33,3 %$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die gelbe Kugel als zweite gezogen wird
beträgt ungefähr $33,3 %$
Zeichne zum besseren Verständnis ein Baumdiagramm.
4
Welche der folgenden Aussagen sind für jede beliebige Belegung von $a$ ( $a \in ℚ$ ) wahr? Kreuze die beiden wahren Aussagen an
$a + a + a = a^{3}$
$- 2 \cdot (a - 1) = - 2 a + 2$
$3,5 - 0,5 a = 3 a$
$3 a - a = 2 a$
Addition: $a + a + a = 3 a$
Ausmultiplizieren: $- 2 \cdot (a - 1) = (- 2) \cdot a + (- 2) \cdot (- 1) = - 2 a + 2$
Keine Subtrakion möglich: $3,5 - 0,5 a = 3,5 - 0,5 a$
Subtraktion: $3 a - a = 2 a$
5
An einem Wintertag braucht der Hausmeister 8,0 kg Sand zum Streuen der Zufahrt zum Schulhaus. Der Flächeninhalt der Zufahrt beträgt 200 m². Anschließend möchte er den rechteckigen Schulhof mit einer Länge von 35 m und einer Breite von 10 m in gleicher Weise streuen. Wie viel Sand (in kg) braucht er dafür?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
$200 m^{2} \hat{=} 8 k g$
$1 m^{2} \hat{=} (8 : 200) k g$
Berechne nun die Fläche des Schulhofs: $35 m \cdot 10 m = 350 m^{2}$
$350 m^{2} \hat{=} (8 : 200) k g \cdot 350$
$350 m^{2} \hat{=} (0,04) k g \cdot 350 = 14 k g$
Um den Schulhof zu streuen, benötigt der Hausmeister 14kg Sand.
Berechne zunächst, wie viel Sand für einen $m^{2}$ benötigt werden.
6
Gib das Winkelmaß $α$ des gleichschenkligen Dreiecks $A B C$ mit $A C = B C$ an, wenn gilt: $γ = 4 α$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
Für das gegebene Dreieck bedeutet dies:
$α + α + 4 α = 180 °$
$6 α = 180 °$
$= > α = 30 °$
7
Für das gleichschenklige Trapez $P Q R S$ gilt: $∢ Q P S = 70 °, [P Q] | | [R S], P S = 3 c m$ . Ergänze die Zeichnung zum gleichschenkligen Trapez $P Q R S$ .

Trage an der Strecke $P Q$ sowohl im Punkt $P$ als auch im Punkt $Q$ einen $70 °$ Winkel an. Zeichne um $P$ und $Q$ jeweils einen Kreis mit Radius $3 c m$ .
Der Schnittpunkt des Kreises um $P$ mit dem freien Schenkel von $α$ ist der Punkt S.
Der Schnittpunkt des Kreises um $Q$ mit dem freien Schenkel von $β$ ist der Punkt R.
Das Trapez $P Q R S$ ist das Trapez mit den gewünschten Eigenschaften.
8
Der Punkt $M (20 | 1)$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A B]$ mit $A (2 | 5$ ) und $B (x | - 3$ ). Gib die $x$ -Koordinate des Punktes $B$ an.

Trage die beiden Punkte $M$ und $A$ in ein Koordinatensystem ein. Verbinde sie durch eine Gerade. Zeichne einen Kreis $c$ um M mit Radius $r = A M$ . Der Schnittpunkt des Kreises c mit der Geraden durch die Punkte $A$ und $M$ ist der gesuchte Punkt $B$ .
Zum Ablesen der x-Koordinate des Punktes B zeichne eine Parallele zur x-Achse durch den Punkt $C (0 | - 3)$ und $B$ , und dann eine Senkrechte zur x-Achse durch $B$ . Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der x-Achse liefert die x-Koordinate des Punktes $B$ .
$B (38 | - 3)$
Alternative Lösung:
$M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A B]$ .
Zwischen $A$ und $M$ wächst die $x$ -Koordinate um $20 - 2 = 18$ . Auf der Strecke $[M B]$ muss sie daher nochmal um $18$ wachsen, also hat $B$ die $x$ -Koordinate $20 + 18 = 38$ .
9
Bei einer Umfrage äußerte jeder fünfte Befragte, er sei mit seiner Berufswahl zufrieden. Das waren 80 Personen. 360 Personen gaben bei der gleichen Umfrage an, sie würden sich ein höheres Gehalt wünschen. Wie viel Prozent der Befragten wünschen sich ein höheres Gehalt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Jeder 5., das waren 80 Personen, hat bei der Umfrage angegeben, dass er mit seiner Berufswahl zufrieden ist. $= >$
$80 \hat{=} 20$ % |Dividiere durch 2
$40 \hat{=} 10$ %
$360$ Personen wünschen sich ein höheres Gehalt.
$360 : 40 = 9$ |Multipliziere mit 9
$360 \hat{=} 90$ %
$90$ % der Befragten wünschen sich ein höheres Gehalt.
10
Zwei der folgenden quadratischen Terme ( $𝔾 = ℚ$ ) haben für $x = 2$ ein Maximum oder ein Minimum mit dem Wert $7$ . Kreuze die beiden Terme an.
$T (x) = - 2 (x - 2)^{2} + 7$
$T (x) = - (x - 7)^{2} + 2$
$T x) = 3 (x - 2)^{2} + 7$
$T (x) = 2 x^{2} + 7$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Belegung von Variablen in Termen
$T (x)$ $=$ $- 2 {(x - 2)}^{2} + 7$
↓
setzte 2 für x ein
$T (2)$ $=$ $- 2 {(2 - 2)}^{2} + 7$
↓
rechne die Klammer aus
$T (2)$ $=$ $- 2 {(0)}^{2} + 7$
$T (2)$ $=$ $7$
$T (2) = 7 = >$ Richtig!
$T (x)$ $=$ $- {(x - 7)}^{2} + 2$
↓
setze 2 für x ein
$T (2)$ $=$ $- {(2 - 7)}^{2} + 2$
↓
berechne den Inhalt der Klammer
$T (2)$ $=$ $- {(- 5)}^{2} + 2$
↓
rechne die Klammer aus
$T (2)$ $=$ $- 25 + 2$
↓
berechne
$T (2)$ $=$ $- 23$
$T (2) = - 23 = >$ Nicht richtig!
$T (x)$ $=$ $3 {(x - 2)}^{2} + 7$
↓
setze 2 für x ein
$T (2)$ $=$ $3 {(2 - 2)}^{2} + 7$
↓
berechne den inhalt der Klammer
$T (2)$ $=$ $3 {(0)}^{2} + 7$
↓
rechne die Klammer aus
$T (2)$ $=$ $7$
$T (2) = 7 = >$ Richtig!
$T (x)$ $=$ $2 x^{2} + 7$
↓
setze 2 für x ein
$T (2)$ $=$ $2 {(2)}^{2} + 7$
$T (2)$ $=$ $8 + 7$
$T (2)$ $=$ $15$
$T (2) = 15 = >$ Nicht richtig!
Setze in die jeweiligen Terme 2 für x ein
11
Die Punkte $A$ und $B$ sind Eckpunkte des gleichschenkligen Dreiecks $A B C$ mit derBasis $[A B]$ . Der Punkt $C$ dieses Dreiecks liegt auf derGeraden $g$ . Ermittle den Eckpunkt $C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelsenkrechte
Verbinde die Punkte $A$ und $B$ zur Basis des Dreiecks $A B C$ . Konstruiere nun die Mittelsenkrechte der Strecke $[A B]$ . Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Garaden $g$ ist der gesuchte Eckpunkt $C$ des gleichschenkligen Dreiecks $A B C$ .
12
Setze so in die Lücken ein, daß äquivalente Terme entstehen, $(𝔾 = ℚ)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Setze so in die Lücken ein, dass äquivalente Terme entstehen, $𝔾 = ℚ$
Mit Hilfe der 1. Binomischen Formel kannst Du die Aufgabe lösen.
Die 1. Binomische Formel lautet: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
Aus der Aufgabenstellung ist Dir bekannt: $a = x;$ und $2 a b = 12 x,$
damit kannst Du $b$ berechnen.
$2 a b$ $=$ $12 x$
↓
setze für a=x
$2 \cdot x \cdot b$ $=$ $12 x$
$2 x b$ $=$ $12 x$ $: 2 x$
↓
teile durch 2x
$b$ $=$ $6$
Setze $6$ ind die Lücke in der Klammer ein und multipliziere die Klammer aus.
Die Lösung lautet:
${(x + 6)}^{2} = x^{2} + 12 x + 36$
13
Welche der Definitionsmengen gehört zu der folgenden Bruchgleichung $(𝔾 = ℚ)$
$\frac{1}{x - 3} = \frac{x}{2}$
$𝔻 = ℚ$
$𝔻 = ℚ$ \{0;3}
$𝔻 = ℚ$ \{0}
$𝔻 = ℚ$ \{3}
$𝔻$ ={0;3}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner eines Bruches
Für $x = 3$ hat der Nenners des Bruches auf der linken Gleichungsseite den Wert $0$ .
$𝔻 = ℚ$ \{3}.
Überprüfe, für welchen Wert $x$ der Nenner des Bruches den Wert $0$ annimmt.
14
Bestimme die Lösungsmenge $𝕃$ der Bruchgleichung $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{3}$ mit $𝔾 = ℚ$ , $𝔻 = ℚ$ \{−0,5}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über Kreuz multiplizieren
$\frac{x}{2 x + 1}$ $=$ $\frac{1}{3}$
↓
Multipliziere über Kreuz
$x \cdot 3$ $=$ $1 \cdot (2 x + 1)$
↓
Löse die Klammer auf
$3 x$ $=$ $2 x + 1$ $- 2 x$
$x$ $=$ $1$
$𝕃 =$ {1}
Multipliziere die linke Gleichungsseite mit $3$ und die rechte Gleichungsseite mit $(2 x + 1)$
15
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $x^{2} + 7 x = x \cdot (5 + x) + 8$ , ( $𝔾 = ℚ$ ).

$x^{2} + 7 x$ $=$ $x \cdot (5 + x) + 8$
↓
Löse die Klammer auf
$x^{2} + 7 x$ $=$ $5 x + x^{2} + 8$ $- x^{2}$
$7 x$ $=$ $5 x + 8$ $- 5 x$
$2 x$ $=$ $8$ $: 2$
$x$ $=$ $4$
$𝕃 =$ {4}
16
Im Diagramm ist die Entwicklung der durchschnittlichen Gästezahlen eines Hotels in den Jahren 2000 bis 2015 dargestellt. Welche der folgenden Aussagen treffen für dieses Hotel zu?Kreuze an.
Im Jahr 2015 hatte das Hotel nur noch halb so viele Gäste wie im Jahr 2005.
Von 2000 bis 2005 sank die Gästezahl um 10 %.
Von 2010 auf 2015 sank die Gästezahl um mehr als 50 %
Für das Jahr 2003 können aus dem Diagramm keine Aussagen entnommen werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Balkendiagramm
Im Jahr 2015 hatte das Hotel 400 Gäste.
Im Jahr 2005 hatte das Hotel 450 Gäste. $450 : 2 = 225$ $,$
$400 > 225$
$= >$ Die Aussage "Im Jahr 2015 hatte das Hotel nur noch halb so viele Gäste wie im Jahr 2005" ist falsch.
Im Jahr 2000 hatte das Hotel 500 Gäste. $10$ % $\hat{=}$ $50$
Im Jahr 2005 hatte das Hotel 450 Gäste. $500 - 50 = 450$
$= >$ Die Aussage "Von 2000 bis 2005 sank die Gästezahl um $10$ %" ist richtig.
Im Jahr 2010 hatte das Hotel 470 Gäste. 50 % $\hat{=}$ $235$
Im Jahr 2015 hatte das Hotel 400 Gäste.
$(470 - 235) = 235 < 400$
$= >$ Die Aussage "Von 2010 auf 2015 sank die Gästezahl um mehr als 50 %" ist falsch.
Für das Jahr 2003 sind in dem Diagramm keine Werte angegeben.
$= >$ Die Aussage "Für das Jahr 2003 können aus dem Diagramm keine Aussagen entnommen werden" ist richtig.
17
Paula hat bei dem Dreieck $A B C$ die Maße $a = 6 c m$ , $b = 4 c m$ , $c = 3 c m$ , $α = 36$ °, $β = 118$ ° und $γ = 26$ ° gemessen. Michaela schaut sich die Ergebnisse an und sagt: „So ein Dreieck kann es nicht geben. Da hast du bestimmt etwas falsch gemacht.“ Erkläre, wie sie ohne Zeichnung erkennen konnte, dass es ein solches Dreieck nicht geben kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Seiten-Winkel Beziehung
Die größte Seite ist $a$ mit $a = 6 c m .$
Der größte Winkel ist $β$ mit $β = 118 °$ . Dieser liegt im Dreieck der Seite $b$ gegenüber. Damit ist die Seiten-Winkel Beziehung nicht erfüllt.
Überprüfe, ob der größten Seite in einem Dreieck der größte Winkel gegenüber liegt.
18
Ermittle die fehlenden Winkelmaße $α$ und $β$ , wenn gilt: $A B | | C D$ und $A C = B C .$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Der Winkel $∢ C B A$ und der $125 °$ Winkel sind Nebenwikel. Daher gilt:
$∢ C B A + 125 ° = 180 °$
$= > ∢ C B A = 55 °$
Da $A C = B C$ ist das Dreieck $A B C$ ein gleichscheinkliges Dreieck mit der Basis AB. $= > ∢ C B A = α = 55 °$
$∢ A C B = 180 ° - 2 \cdot α = 180 ° - 110 ° = 70 °$
$∢ B C D = 125 ° - 70 ° = 55 °$
Für das Dreieck $B C D$ gilt die Winkelsumme im Dreieck, also: $∢ B C D + β + 90 ° = 180 °$
$β = 180 ° - 90 ° - 55 ° = 35 °$
19
Das große Quadrat setzt sich aus 4 deckungsgleichen Rechtecken und einem kleinen Quadrat zusammen. Jedes Rechteck hat einen Umfang von 20 cm. Welchen Umfang hat das große Quadrat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Umfang eines Rechtecks: $U_{R e c h t e c k} = 2 a + 2 b$
Gegeben: $2 a + 2 b = 20 c m$ $= >$ $a + b = 10 c m$
Die Seitenlänge $l$ des großen Quadrates ist $l = a + b$
$U_{g r o ß e s Q u a d r a t} = 4 \cdot l = 4 \cdot (a + b) = 4 \cdot 10 c m = 40 c m$
Der Umfang des großen Quadrates beträt 40cm.
20
Der Zug einer Achterbahn besteht aus lauter gleichen Waggons (siehe Abbildung). In jeder Reihe können zwei Personen nebeneinander sitzen. Ein Teil des Zuges wird durch ein Schild verdeckt.
Der Betreiber nahm insgesamt 210 € für eine Fahrt ein, bei der alle Plätze besetzt waren. Wie hoch ist der Fahrpreis pro Person?

Miss die Länge eines einzelnen Waggons und dann die Länge des gesamten Zuges. $= >$
Der Zug besteht aus 7 Waggons. In jedem Waggon können 6 Personen Platz nehmen, da jeweils 2 Personen nebeneinander sitzen. $= >$
Insgesamt befinden sich also $6 \cdot 7 = 42$ Personen im Zug.
$210 € : 42 = 5 €$
Der Fahrpreis beträgt $5 €$ pro Person.
21
Aus einem Würfel mit der Kantenlänge 5 cm wurden zwei kleinere Würfel mit jeweils einer Kantenlänge von x cm ausgeschnitten ( $0 < x < 2,5; x \in ℚ |$ ).
Wie lässt sich das Volumen V des so entstandenen Körpers (siehe Abbildung) in Abhängigkeit von x darstellen?
Kreuze an.
$V (x) = (125 - x^{3}) c m^{3}$
$V (x) = (125 - 2 x^{3}) c m^{3}$
$V (x) = ((125 - 2) x^{3}) c m^{3}$
$V (x) = (2 x^{3} - 5^{3}) c m^{3}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Quaders/Würfels
$V_{Körper} = V_{großer Würfel} - 2 \cdot (V_{kleiner Würfel})$
$V_{großer Würfel} = (5 \cdot 5 \cdot 5) c m^{3} = 125 c m^{3}$
$V_{kleiner Würfe l} = x^{3} c m^{3}$
$V_{Körpe r} = 125 c m^{3} - 2 x^{3} c m^{3} = (125 - 2 x^{3}) c m^{3}$
Berechne das Volumen des großen Würfels und ziehe davon das Volumen der beiden ausgeschnittenen Würfel ab.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$T (x)$	$=$	$- 2 {(x - 2)}^{2} + 7$
	↓	setzte 2 für x ein
$T (2)$	$=$	$- 2 {(2 - 2)}^{2} + 7$
	↓	rechne die Klammer aus
$T (2)$	$=$	$- 2 {(0)}^{2} + 7$
$T (2)$	$=$	$7$

$T (x)$	$=$	$- {(x - 7)}^{2} + 2$
	↓	setze 2 für x ein
$T (2)$	$=$	$- {(2 - 7)}^{2} + 2$
	↓	berechne den Inhalt der Klammer
$T (2)$	$=$	$- {(- 5)}^{2} + 2$
	↓	rechne die Klammer aus
$T (2)$	$=$	$- 25 + 2$
	↓	berechne
$T (2)$	$=$	$- 23$

$T (x)$	$=$	$3 {(x - 2)}^{2} + 7$
	↓	setze 2 für x ein
$T (2)$	$=$	$3 {(2 - 2)}^{2} + 7$
	↓	berechne den inhalt der Klammer
$T (2)$	$=$	$3 {(0)}^{2} + 7$
	↓	rechne die Klammer aus
$T (2)$	$=$	$7$

$T (x)$	$=$	$2 x^{2} + 7$
	↓	setze 2 für x ein
$T (2)$	$=$	$2 {(2)}^{2} + 7$
$T (2)$	$=$	$8 + 7$
$T (2)$	$=$	$15$

$2 a b$	$=$	$12 x$
	↓	setze für a=x
$2 \cdot x \cdot b$	$=$	$12 x$
$2 x b$	$=$	$12 x$	$: 2 x$
	↓	teile durch 2x
$b$	$=$	$6$

$\frac{x}{2 x + 1}$	$=$	$\frac{1}{3}$
	↓	Multipliziere über Kreuz
$x \cdot 3$	$=$	$1 \cdot (2 x + 1)$
	↓	Löse die Klammer auf
$3 x$	$=$	$2 x + 1$	$- 2 x$
$x$	$=$	$1$

$x^{2} + 7 x$	$=$	$x \cdot (5 + x) + 8$
	↓	Löse die Klammer auf
$x^{2} + 7 x$	$=$	$5 x + x^{2} + 8$	$- x^{2}$
$7 x$	$=$	$5 x + 8$	$- 5 x$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

2018

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