2019

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Geradengleichungen

Gib die Gleichung der eingezeichneten Geraden $g_1$ an. $(\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $f(x)=m⋅x+b$
m ist die Steigung der Geraden
b ist der y-Achsenabschnitt.
Die Gerade $g_1$ schneidet die y-Achse bei $y=2$ , also ist $b = 2$ .
Die Steigung m können wir berechnen.
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{1}{3}$
Die Gleichung der Geraden $g_1$ lautet:
$y=-\dfrac{1}{3}x+2$
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Die Gerade $g_2$ verläuft durch den Punkt P(0| –3) und steht senkrecht auf der Geraden $g_3$ mit der Gleichung
y = 0,5x $(\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q}$ )
Gib die Gleichung der Geraden $g_2$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung und Geradengleichung
Bestimme zunächst die Steigung der zu $g_3: y=0{,}5x$ senkrechten Geraden $g_2$ mit der Formel:
$\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
Setz den Wert der Steigung von $\;g_3$ ein.
$\displaystyle m_2=-\frac1{0{,}5}\Rightarrow\hspace{3mm}m_2=-2$
Die gesuchte Gerade von $\;g_2$ hat also die Steigung $\displaystyle-2$
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Geraden $g_2$ mit dem gegebenen Punkt $P(0|-3)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
$g_2(x_p):y_p=m_2 x_p+b$
Setze die Werte ein.
$-3=-2\cdot0+b\Rightarrow\;b=-3$
Also lautet die gesuchte Geradengleichung $\displaystyle g_2(x):y=-2x-3$
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Gegeben ist die Gerade $g_4$ mit der Gleichung

–7x + 2y + 8 = 0 $(\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q})$

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes Q der Geraden $g_4$ mit der y-Achse.

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung

$(3-x)\cdot(3+x)=(2-x)\cdot x$ , $(\mathbb{G}=\mathbb{Q})$

3
Welche der folgenden Aussagen über den Term
x² – x (x ∈ $\mathbb{Q}$ )
sind wahr? Kreuze diese an.
- Der Termwert ist positiv für jedes x >1.
- Der Termwert ist Null für x = 1.
- Der Termwert beträgt 3 für x = 3.
- Der Termwert ist negativ für x = 0,5.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Berechne $x^2-x=$ für
$x=1 =>$ $1^2-1=1-1=0$
$x=0{,}5=>$ $0{,}5^2-0{,}5=0{,}25-0{,}5=-0{,}25\lt0$
$x=3=>$ $3^2-3=9-3=6\neq3$
$x=1{,}1=>$ $1{,}1^2-1{,}1=1{,}21-1{,}1=0{,}11>0$
Löse die quadratische Gleichung mit den für x angegebenen Zahlen.

Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen, $(\mathbb{G}=\mathbb{Q})$

$-2x+(18x-6)\cdot (0{,}5x+1)=$

5
Ein rechteckiges Grundstück mit der Länge x m ist zunächst doppelt so breit wie lang. Durch den Zukauf von Grundstücksteilen entsteht ein neues rechteckiges Grundstück, das um 5 m breiter und um 7 m länger als das ursprüngliche Grundstück ist. Wie lässt sich der Flächeninhalt A des neuen Grundstücks in Abhängigkeit von x darstellen? $( \mathbb{G}=\mathbb{Q^+})$ . Kreuze an.
- $A(x)=(x+5)\cdot(2x+7)m^2$
- $A(x)=(x+5)\cdot(x+7)m^2$
- $A(x)=(2x+5)\cdot(x+7)m^2$
- $A(x)=2\cdot [(2x+5)\cdot(x+7)]m^2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme allgemein
Ein rechteckiges Grundstück mit der Länge x m ist zunächst doppelt so breit wie lang. Durch den Zukauf von Grundstücksteilen entsteht ein neues rechteckiges Grundstück, das um 5 m breiter und um 7 m länger als das ursprüngliche Grundstück ist. Wie lässt sich der Flächeninhalt A des neuen Grundstücks in Abhängigkeit von x darstellen? $( \mathbb{G}=\mathbb{Q^+})$ .
Aus der Aufgabenstellung ist Dir bekannt, daß die Breite eines rechteckigen Grundstücks doppelt so lang ist wie seine Länge.
Setzte die Länge gleich $x\$ und die Breite gleich $2x.\$
Das neue Grundstück, das durch Zukauf von Grundstücksteilen entsteht ist $5m$ breiter und $7m$ länger als das ursprüngliche Grundstück.
Also gilt Länge = $x+7m$ und die Breite= $2x+5m$ .
Die Fläche des neuen Grundstücks ist:
$A(x)=(x+7)\cdot(2x+5)m^2$
6
Kreuze die beiden wahren Aussagen an.
- Eine Raute ist nur zur längeren Diagonale achsensymmetrisch.
- Jede Raute hat gleich lange Diagonalen.
- Jede Raute ist punktsymmetrisch.
- Die Diagonalen einer Raute stehen immer aufeinander senkrecht.
- Jedes Drachenviereck ist auch eine Raute.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Beispiel einer Raute
Wie du siehst gilt:
-ist die Raute zu beiden Diagonalen achsensymmetrisch.
-sind die Diagonalen der Raute unterschiedlich lang.
-ist jede Raute punktsymmetrisch.
-stehen die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinander.
-ist ein Drachenviereck keine Raute, da die Seiten des Drachenvierecks nicht gleich lang sind.
Betrachte das unten eingefügte Bild einer Raute
7
Der Punkt M(x|y) ist der Mittelpunkt der Strecke [AB]. Der Punkt B′ entsteht, indem bei gleichbleibender x-Koordinate die y-Koordinate des Punktes B um 2 vergrößert wird. Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt M′ der Strecke [AB′] bezogen auf die Koordinaten von M(x|y)? Kreuze an.
- M′(x + 1 | y +1)
- M′(x | y + 1)
- M′(x + 1 | y)
- M′(x | y)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Gegeben sind z.B. die Punkte A(2|1), B(6|1). Der Mittelpunkt M die Strecke [AB] hat die Koordinaten M(4|1). Der Punkt B' hat die Koordinaten B'(6|1+2) => B'(6|3). Lies nun die Koordinaten des Mittelpunkte M' der Strecke [AB'] ab.
M'(4|2)=M'(4|1+1)=M'(x|y+1)
Fertige eine Zeichnung mit beliebigen Punkten A und B an.
8
Wegen des heißen Sommers im Jahr 2018 verkaufte ein Elektromarkt 300% mehr Ventilatoren als im Vorjahr 2017. Kreuze an, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist. Wenn 200 Ventilatoren im Jahr 2017 verkauft wurden, dann wurden 600 Ventilatoren im Jahr 2018 verkauft.
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Wegen des heißen Sommers im Jahr 2018 verkaufte ein Elektromarkt 300% mehr Ventilatoren als im Vorjahr 2017. Kreuze an, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist. Wenn 200 Ventilatoren im Jahr 2017 verkauft wurden, dann wurden 600 Ventilatoren im Jahr 2018 verkauft.
Im Jahr 2018 wurden $300\%$ $\underline{mehr}$ Ventilatoren als 2017 verkauft.
2017 wurden $200$ Ventilatoren verkauft.
Berechne mit der Prozentformel wieviel mehr Ventilatoren im Jahr 2018 verkauft wurden.
Du kennst den Grundwert, $G=200$ und den Prozentsatz $p=300\%$
Berechne den $Prozentwert\; W$ .
$W=p\cdot G$
$W=\frac{300}{100}\cdot200\ =\ 600$
Im Jahr 2018 wurden 600 mehr Ventilatoren verkauft als 2017.
2017 wurden 200 Ventilatoren verkauft, also wurden 2018 :
$200+600=800\$ Ventilatoren verkauft.
Die obige Aussage ist also falsch.
9
Ergänze die beiden Kästchen so, dass eine wahre Aussage entsteht ( $\mathbb{G}= \mathbb{Q}$ ).
Der Term
hat den Extremwert

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Ergänze die beiden Kästchen so, dass eine wahre Aussage entsteht ( $\mathbb{G}= \mathbb{Q}$ ).
Der Term
hat den Extremwert
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion lautet:
$\large{a\cdot\left(x-x_s\right)^2+y_s}$
da der Öffnungsfaktor $a<0$ ist handelt es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel.
Aus den Angaben kannst du $x_s$ ablesen, setze fur $-x_s=2\Rightarrow$ $x_s=-2$
$T_{\max}=y_s=-7$
Die Scheitelform der quadratischen Funktion lautet:
$T_{\left(x\right)}-3\cdot\left(x+2\right)^2-7$
Ergänze die beiden Kästchen entsprechend.

Gegeben ist die Bruchgleichung

$\dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{5-x}$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ )

Gib die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ an. $\mathbb{D}$ = $\mathbb{Q}$ \{ }

Bestimme die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ der Bruchgleichung.

11
Zwischen x und y soll ein indirekt proportionaler Zusammenhang bestehen. Die zugehörige Wertetabelle enthält aber ein fehlerhaftes Wertepaar. Markiere den falschen x- oder y-Wert dieses Wertepaares und schreibe den richtigen Wert daneben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
Zwischen x und y soll ein indirekt proportionaler Zusammenhang bestehen. Die zugehörige Wertetabelle enthält aber ein fehlerhaftes Wertepaar. Markiere den falschen x- oder y-Wert dieses Wertepaares und schreibe den richtigen Wert daneben.
Bei der indirekten Proportionaliät (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Größen immer konstant. Dieses Produkt wird als Proportionalitätskonstante bezeichnet und es gilt: $y\cdot x=C$ oder $y = \dfrac{C}{x}$
Setze für $x$ und $y$ die entsprechenden Werte ein und berechne $C$ .
$6\cdot 2=12$ ; $\;\;4\cdot 3=12$ ; $\red{(\;\;1{,}5\cdot 10=15)}$ dieses Wertepaar ist fehlerhaft; $24\cdot 0{,}5=12$ .
Berechne den $y$ Wert: $y = \dfrac{12}{10}=1{,}2$
12
Der Faktor 2x²y wurde ausgeklammert. Vervollständige.
$8x³y-4x²y²+2x²y³=2x²y$ ( )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
Der Faktor 2x²y wurde ausgeklammert. Vervollständige.
$8x^3y-4x^2y^2+2x^2y^3=2x^2y(4x-2y+y^2)$
13
Das Diagramm beschreibt die Schulwege von Dieter und Kevin. Kreuze wahre Aussagen an, die dem Diagramm entnommen werden können.
- Kevin bleibt nach 5 Minuten für ca. 2,5 Minuten stehen.
- Kevin hat nach 10 Minuten die Hälfte seines Schulweges zurückgelegt.
- Dieter benötigt für seinen Schulweg mehr Zeit als Kevin.
- Dieter hat einen längeren Weg zur Schule als Kevin.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wie wertet man ein Diagramm aus?
Aus dem Diagramm kannst du folgendes ablesen:
Die Länge des Schulweges von Kevin beträgt 1500m. Die Länge des Schulweges von Dieter beträgt 2000m. Dieter hat also einen längeren Schulweg als Kevin.
In dem Zeitraum zwischen 5 Minuten und 7,5 Minuten verändert sich die Länge des restliches Schulweges von Kevin nicht. Er muss also stehen geblieben sein.
Nach 10 Minuten hat Kevin 750m zurückgelegt, also die Hälfte seines Schulweges.
Dieter benötigt für seinen Schulweg 22,5 Minuten (siehe Schnittpunkt der durchgezogenen Linie mit der x-Achse), Kevin benötigt ca. 27,5 Minuten (siehe Schnittpinkt der gestrichelten Linie mit der x-Achse). Dieter benötigt für seinen Schulweg also weniger Zeit als Kevin.
Schau dir das Diagramm genau an. Die x-Achse gibt die Dauer des Schulweges an, die y-Achse, die Länge des Schulweges.
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Max hält drei Karten verdeckt in der Hand, eine mit dem Buchstaben R, eine mit dem Buchstaben O und eine mit dem Buchstaben T. Ulla zieht eine Karte und legt sie auf Platz 1, die zweite Karte auf Platz 2 und die dritte Karte auf Platz 3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie am Ende entweder das Wort TOR oder das Wort ROT gelegt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Mit den 3 Karten kann man die folgenden 6 Buchstabenkombinationen legen:
ROT, ORT, OTR, TOR, RTO, TRO.
Die Wahrscheinlichkeit das Wort TOR oder das Wort ROT zu legen beträgt also
$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Schreibe alle Kombinationsmöglichkeiten der 3 Buchstaben auf.
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Um den täglichen Bedarf an Magnesium abzudecken, benötigt ein erwachsener Mann etwa 5 mg Magnesium pro Kilogramm Körpergewicht. Wie viel Prozent seines Tagesbedarfs an Magnesium deckt ein erwachsener Mann mit durchschnittlichem Gewicht ungefähr ab, wenn er jeden Tag 1,5 Liter des Mineralwassers „Bergquelle“ trinkt? Gib deinen Lösungsweg an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
Um den täglichen Bedarf an Magnesium abzudecken, benötigt ein erwachsener Mann etwa 5 mg Magnesium pro Kilogramm Körpergewicht. Wie viel Prozent seines Tagesbedarfs an Magnesium deckt ein erwachsener Mann mit durchschnittlichem Gewicht ungefähr ab, wenn er jeden Tag 1,5 Liter des Mineralwassers „Bergquelle“ trinkt? Gib deinen Lösungsweg an.
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
a.) 1 l Mineralwasser enthält $200mg$ Magnesium
b.) 1,5 l Mineralwasser enthalten dann : $1{,}5l\ \cdot200mg\ =\ 300mg$ Magnesium
Lösungsweg:
Das Durchschnittsgewicht eines erwachsenen Mannes beträgt ca. $80kg.$
Ein erwachsener Mann braucht dann: $80kg\cdot\frac{5mg}{kg}=400mg$ Magnesium pro Tag.
Grundwert $\ \ \ \ G=400mg$
Prozentwert $W=300mg$
Berechne den Prozentsatz $p.$
$p=\large\frac{W}{G}=\large\frac{300mg}{400mg}=0{,}75=75\%$
Ein erwachsener Mann mit durchschnittlichem Gewicht deckt ungefähr $75%$ % seines täglichen Magnesiumbedarfs ab, wenn er täglich $1{,}5\$ Liter des Mineralwasser "Bergquelle"trinkt.
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Ermittle die fehlenden Winkelmaße α und β, wenn gilt: AC || ED, EA || DC und $\overline{AB}=\overline{AC}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Ermittle die fehlenden Winkelmaße α und β, wenn gilt: AC || ED, EA || DC und $\overline{AB}=\overline{AC}$ .
Das Viereck EACD ist ein Parallelogramm, in einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.
Der Winkel $\left(\alpha+\gamma\right)\ =130^\circ$
Der Winkel $\gamma$ ist Scheitelwinkel zum Winkel $75^\circ \Rightarrow$ $\alpha=130^\circ-75^\circ$ $\alpha=55^\circ$
Das Dreieck ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck mit $\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \epsilon=\beta$
Der Winkel $(130^\circ+\delta)$ ist ein gestreckter Winkel,
ein gestreckter Winkel hat eine Größe von $180^\circ\Rightarrow\delta=180^\circ-130^\circ\;\;\delta=50^\circ$
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$ .
$\delta+\beta+\epsilon=180^\circ\Rightarrow$ $(\beta+\epsilon)=180^\circ-50^\circ\;\;\;{(\beta+\epsilon)=130^\circ}$
Da $\beta=\epsilon$ , ist der Winkel $\beta= \dfrac{130^\circ}{2}=65^\circ$
Der Winkel $\alpha=55^\circ$ und der Winkel $\beta=65^\circ$

Ein Quadrat mit einem Flächeninhalt A von 36 cm² wird in zwei Rechtecke geteilt, von denen eines einen Flächeninhalt A von 12 cm² hat. Welchen Umfang U hat das andere, größere Rechteck?

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Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a = 5 cm hat die Basiswinkel α = β = 40°. Begründe, warum die Seite c nicht 4 cm lang sein kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a = 5 cm hat die Basiswinkel α = β = 40 $°.$ Begründe, warum die Seite c nicht 4 cm lang sein kann.
Bei dem Dreieck handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. $\alpha=\beta=40°$
$\gamma$ ist dann $180°-2\cdot40°=100°$ , das bedeutet, das Dreieck ist stumpfwinklig.
Im stumpfwinkligen Dreieck gilt: Dem stumpfen Winkel liegt immer die längere Seite gegenüber.
Da $a=b=5cm$ ist, kann die Seite $c$ nicht $4cm$ sein, sonder muss größer als $5cm$ sein.

In einem 2,5 m hohen, leerstehenden Kellerraum mit quadratischer Grundfläche stand das Wasser wegen einer undichten Leitung 0,5 m hoch. Die Feuerwehr pumpte das gesamte Wasser ab. Das waren insgesamt 32 m³. Welche Seitenlänge hat der Kellerraum?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -7x+2y+8$	$\displaystyle -2y$
$\displaystyle -2y$	$=$	$\displaystyle -7x+8$	$\displaystyle :\left(-2\right)$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3.5x-4$

$\displaystyle \left(3-x\right)\cdot\left(3+x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2-x\right)\cdot x$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 9-x^2$	$=$	$\displaystyle 2x-x^2$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Addiere $x^2$ auf beiden Seiten.
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	Tausche die Seiten.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :2$
	↓	Dividiere durch 2.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

$\displaystyle -2x+\left(18x-6\right)\cdot\left(0.5x+1\right)$	$=$	$\displaystyle -2x+\left(9x^2+18x-3x-6\right)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 9x^2+13x-6$

$\displaystyle \dfrac{4}{x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{5-x}$
	↓	setze die Nenner gleich 0
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 5-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	tausche die Seiten
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle \frac{4}{x_{ }}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{5-x_{ }}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
$\displaystyle \dfrac{4\left(5-x\right)}{x\left(5-x\right)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\cdot x}{x\left(x-5\right)}$	$\displaystyle \cdot x\left(5-x\right)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$\displaystyle 20-4x$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x-20$
$\displaystyle -5x$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle A_R$	$=$	$\displaystyle a\cdot{b}$	$\displaystyle :a$
	↓	Teile durch a
$\displaystyle \frac{A_R}{a}$	$=$	$\displaystyle b$
	↓	setze für a =6cm und für $A_R$ =24cm $^2$ ein
$\displaystyle \frac{24cm^2}{6cm}$	$=$	$\displaystyle 4cm$

$\displaystyle 32m^3$	$=$	$\displaystyle A\cdot0{,}5m$	$\displaystyle :0{,}5m$
	↓	teile durch 0,5m
$\displaystyle \dfrac{32m^3}{0{,}5m}$	$=$	$\displaystyle A$
	↓	vertausche die Seiten
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 64m^2$

2019

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