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Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Ist der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien, dann berühren sich die Kugeln in einem äußeren Punkt BB.

Die beiden Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene ETE_T.

Gesucht sind die Berührpunktkoordinaten und die Gleichung der Tangentialebene.

Allgemeines Vorgehen

Berechnung von BB

Die Kugel K1K_1 hat den Mittelpunkt M1M_1 und den Radius r1 r_1. Die Kugel K2K_2 hat den Mittelpunkt M2M_2 und den Radius r2 r_2.

Berechne den Vektor M1M2\overrightarrow{M_1M_2} und dann seinen Betrag d(M1M2)=M1M2d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert.

Zwei Kugeln mit äußeren Berührpunkt

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

Dabei ist der Vektor n0\vec n_0 ein Einheitsvektor:

n0=M1M2M1M2\vec{n}_0=\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}

OB=OM1+r1M1M2M1M2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}

Berechnung von ETE_T

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors n0\vec n_0 und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt BB) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von n0\vec n_0 erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Beispiel:

Gegeben sind die Kugeln K1:(x(212))2=4K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right)^2=4 und K2:(x(314))2=1K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}\right)^2=1

Berechne den gemeinsamen Berührpunkt BB und die Koordinatengleichung der Tangentialebene ETE_T.

Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen äußeren Berührpunkt?

Berechne den Vektor M1M2\overrightarrow{M_1M_2} und dann seinen Betrag d(M1M2)=M1M2d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert.

M1M2=(314)(212)=(122)\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}

d(M1M2)=M1M2=12+22+22=9=3d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3

r1=4=2r_1=\sqrt{4}=2 und r2=1=1      r1+r2=2+1=3r_2=\sqrt{1}=1\;\;\Rightarrow\; r_1+r_2=2+1=3

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt 33 und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch 33.

d(M1M2)=r1+r2=3        d(M_1M_2)=r_1+r_2=3\;\; \Rightarrow\;\; Die beiden Kugeln berühren sich außen.

Berechnung von BB

Berechne den Vektor OB \overrightarrow{OB}:

OB=OM1+r1n0=OM1+r1M1M2M1M2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}

Dabei ist r1=2r_1=2 , M1M2=3\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=3 und der Einheitsvektor ist n0=13(122)\vec n_0=\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

OB=(212)+213(122)=(2+231+432+43)=(8313103)\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+\dfrac{2}{3}\\-1+\dfrac{4}{3}\\2+\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(8313103)B\left(\dfrac{8}{3}\Big\vert \dfrac{1}{3}\Big\vert \dfrac{10}{3}\right).

Berechnung von ETE_T

Mit Hilfe des oben berechneten Einheitsvektors n0\vec n_0 und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt BB) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von n0\vec n_0 erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

E:  (xp)n0\displaystyle E:\;(\vec x-\vec p)\circ \vec n_0==0\displaystyle 0

Setze B(8313103)B\left(\dfrac{8}{3}\Big\vert \dfrac{1}{3}\Big\vert \dfrac{10}{3}\right)und n0=13(122)\vec n_0=\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} ein.

(x(8313103))13(122)\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.

((x1x2x3)(8313103))13(122)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\[2ex]x_2\\[2ex]x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Umwandlung in die Koordinatenform.

(x183x213x3103)13(122)\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-\dfrac{8}{3}\\[2ex]x_2-\dfrac{1}{3}\\[2ex]x_3-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}\circ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Berechne das Skalarprodukt.

13((x183)1+(x213)2+(x3103)2)\displaystyle \frac{1}{3}\cdot((x_1-\frac{8}{3})\cdot1+(x_2-\frac{1}{3})\cdot2+(x_3-\frac{10}{3})\cdot2)==0\displaystyle 0

Löse die Klammern auf.

13(x183+2x223+2x3203)\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(x_1-\dfrac{8}{3}+2x_2-\dfrac{2}{3}+2x_3-\dfrac{20}{3})==0\displaystyle 0

Vereinfache.

13(x1+2x2+2x3303)\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-\dfrac{30}{3})==0\displaystyle 0

Vereinfache.

13(x1+2x2+2x310)\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-10)==0\displaystyle 0

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene ETE_T lautet: 13(x1+2x2+2x310)=0\dfrac{1}{3}\cdot(x_1+2x_2+2x_3-10)=0 bzw. Tangentialebene ETE_T als Koordinatengleichung: x1+2x2+2x3=10x_1+2x_2+2x_3=10

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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