Aufgaben zur Trigonometrie

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche $1{,}55\text{ m}$ groß ist, auf ebener Straße einen $12 \text{ m}$ langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.
Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Skizze zur Aufgabenstellung
Vorüberlegung und Lösungsplan
Das Dreieck $\triangle AKF$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.
Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,
welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $\triangle AKF$ ist, und
welche Seite die Ankathete zu $\alpha$ ,
und welche die Gegenkathete zu $\alpha$ ist.
Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
Hypotenuse: Seite [AK] mit $\overline{\mathrm{AK}}=?_{ }$
Ankathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FA] mit $\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}$
Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FK] mit $\overline {\mathrm{FK}}= 1{,}55\, \mathrm{m}$
Die Formeln für sin, cos und tan lauten:
$\sin \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos \alpha = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.
$\rightarrow$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.
Lösung der Aufgabe
$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}$
Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.
$\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}$
Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.
$\tan \alpha = \frac {1{,}55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0{,}129$
Um daraus den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion $\tan^{-1}$ an.
$\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7{,}4^\circ$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von $7{,}4^\circ$ auf die Straße.

Eine Tanne wirft einen $20m$ langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von $31^\circ$ auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.

Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke $\overline{\mathrm{AB}}=80m$ abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird $\alpha=38^\circ$ gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.

Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von $43^\circ$ . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?

Zugbrücke einer Burg - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

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Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot gezogen. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg: Hypothenuse $=100\;m$ , $\alpha =50^\circ$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $h$ berechnen.
$\sin\left(50^\circ\right)=\dfrac h{100\ \text{m}} \quad \quad \left|\cdot100\ \text{m}\right.$
Nach $h$ umformen.
$h=\sin\left(50^{\circ}\right)\cdot100\ \text{m}^{ }$
Multipilikation.
$h=76{,}6\;m$
$\Rightarrow\;\;$ Der Flieger ist $76{,}6\; m$ über dem Wasser.
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Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.
Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg: Hypothenuse $= 100\ \text{m}$ , Gegenkathete $=20m$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $\alpha$ berechnen.
$\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{20\ \text{m}}{100\ \text{m}}$
Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\alpha=11{,}5^\circ$
$\Rightarrow\;\;$ Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.
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Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel
1. zwischen einer Diagonalen und den Seiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  geg: $a=7\;\text{cm}$ ; $b= 18\;\text{cm}$
  ges: $\alpha,\;\beta,\;$
  Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
  Berechne $\alpha$ mit Hilfe des Tangens.
  $\tan\left(\alpha\right)=\frac ab$
  Setz die Werte ein und berechne $\alpha$ mit Hilfe des Taschenrechners.
  $\tan(\alpha) = \frac {7\text{cm}}{18\text{cm}}$
  $\alpha=21{,}3^\circ$
  Berechne $\beta$ . $\alpha$ und $\beta$ sind zusammen 90° also gilt für $\beta$ :
  $\beta=90^\circ-21{,}3^\circ=68{,}7^\circ$
  $\Rightarrow\;\;$ Der Winkel $\alpha$ beträgt 21,3°. $\beta$ beträgt 68,7°.
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2. zwischen beiden Diagonalen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  geg: $\alpha=21{,}3^\circ;\;\beta=68{,}7^\circ$
  ges: $\gamma,\;\delta$
  Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
  $\delta$ ist 2 $\alpha$ , weil $\delta$ $+$ $\gamma$ $=$ 180° und $\gamma$ $+2$ $\alpha$ $=$ 180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.
  $\Rightarrow$ $\delta$ + $\gamma$ $=$ $\gamma$ $+2$ $\alpha$
  $\Rightarrow$ $\delta$ $=$ $2$ $\alpha$
  $\delta=2\cdot21{,}3^\circ=42{,}6^\circ$
  $\gamma$ und $\delta$ bilden zusammen 180°.
  $\gamma=180^{\circ}-42{,}6^{\circ}=137{,}4^{\circ}$
  $\Rightarrow\;\;$ Der Winkel $\gamma$ beträgt $137{,}4°$ ; $\delta$ beträgt 42,6°.
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In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.

Berechne die Dammhöhe.

Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite $b=113m$ hat den Winkel $\alpha=39^\circ$ . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel $\beta$ .

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $a=b$ . Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind..

a=44,2cm

c=63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=b= 44,2cm c=63,4cm

ges: h, $\alpha,\;\beta,\;\gamma$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst $x$ berechnen.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{63{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 31{,}7cm$

$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendet.

$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(44{,}2cm\right)^2-\left(31{,}7cm\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{1953{,}64cm^2-1004{,}89cm^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{948{,}75cm^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle 30{,}8cm$

$\alpha$ mit Hilfe von Sinus berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{30{,}8cm}{44{,}2cm}$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 44{,}2°\ =\ \beta$
	↓	Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $\alpha=\beta$

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}2°$
	↓	Multiplizieren und subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 91{,}6°$

$\Rightarrow$ $h=30{,}8cm;\alpha=\beta=44{,}2^\circ;\gamma=91{,}6^\circ$

Achtung: Das Dreieck $ABC$ ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel $90°$ groß ist.

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a=114,5m

$\alpha$ =32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

Gegeben sind $a=b= 114{,}5\,m$ und $\alpha=\beta=32{,}3^\circ$

Gesucht sind $c$ , $h$ und $\gamma$

Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, kannst du $\gamma$ mit der Winkelsumme ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle DBC$ berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\sin\left(32{,}3°\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 61{,}2m$

Weil die Höhe $h$ die Seite $c$ in der Mitte teilt, bekommt man $2$ gleich lange Strecken $x$ .

$c$ kannst du leicht berechnen, indem du die Seite $x$ verdoppelst.

$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendest.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-h^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(114{,}5m\right)^2-\left(61{,}2m\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{13110{,}25m^2-3745{,}44m^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9364{,}81m^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{b}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\cos\left(32{,}3^\circ\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

$c=2\cdot96{,}8m=193{,}6m$

Damit hast du die Lösung $h=61{,}2\,m; c=193{,}6\,m;\gamma=115{,}4^\circ$

Anmerkung

Wenn du den Sinussatz kennst, kannst du $c$ auch direkt berechnen:

$\displaystyle \frac{c}{\sin (\gamma)}$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha)}$
	↓	Mit $\sin (\gamma)$ multiplizieren
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{a\cdot\sin (\gamma)}{\sin (\alpha)}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{114{,}5\cdot 0{,}53}{0{,}90}$
	$=$	$\displaystyle 193{,}6\,m$

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c=35,4cm

$\beta$ =43,9°

h=14,8cm

$\alpha=\beta=$ 28,3°

a=146,4m

h=58,4m

Im Kreis mit dem Radius $r=10~\text{cm}$ gehört zur Sehne $s$ der Mittelpunktswinkel $\alpha=84^\circ$

Wie lang ist die Sehne?

12
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel $\alpha$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der gesuchte Winkel $\alpha$ liegt in einem Dreieck, das begrenzt wird von
einer Kante, die die Länge $2 \, \mathrm{cm}$ hat,
einer Flächendiagonale (die zu dem Rechteck mit den Seitenlängen $3 \, \mathrm{cm}$ und $4 \, \mathrm{cm}$ gehört), (in der Skizze hier mit $f_{ }^{ }$ bezeichnet)
einer der Raumdiagonalen des Quaders (in der Skizze hier mit $d^{ }$ bezeichnet).
Dieses Dreieck ist rechtwinklig.
Die Raumdiagonale des Quaders ist in diesem Dreieck die Hypotenuse.

Für die Aufgabe gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
Du kannst $f_{ }$ ausrechnen und dann die Aufgabe mit dem Tangens lösen.
oder $d_{ }$ ausrechnen und die Aufgabe mit dem Sinus lösen.
Allerdings ist $f$ leichter auszurechnen als $d_{ }$ , und deshalb die Lösung mit dem Tangens zu empfehlen.
Lösung mit tan
Die Flächendiagonale $f$ kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen:
$f²=(3\,\mathrm{cm})²+(4\,\mathrm{cm})²$
$f²=9\,\mathrm{cm}²+16\,\mathrm{cm}²$
$f²=25\,\mathrm{cm}²$
$f=\sqrt{25\,\mathrm{cm}²}$
$\Rightarrow f=5\,\mathrm{cm}$
Nachdem du nun die Länge von $f$ kennst, kannst du den Winkel $\alpha$ mit dem Tangens ausrechnen:
$\tan \alpha = \dfrac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$
Das bedeutet hier:
$\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{f}$ , also
$\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=\dfrac{2}{5}$
Durch Anwenden von $\tan ^{-1}$ (mit dem Taschenrechner) erhältst du daraus:
$\alpha = \tan ^{-1} (\frac{2}{5} )\approx 21{,}8°$

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (rot markiert) der Dreiecke.

$\gamma = 90^\circ$

$a=12{,}7\,\mathrm{cm}$

$c= 24{,}9\,\mathrm{cm}$

$\alpha = 90^\circ$
$b= 420\,\mathrm m$
$a= 645\,\mathrm m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\sin\left(\beta\right)=\frac{420\,\mathrm m}{645\,\mathrm m}$
$\beta=40{,}6^\circ$
$\gamma$ berechnen
$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\gamma=180^\circ-90^\circ-40{,}6^\circ=49{,}4^\circ$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
Beachte hier insbesondere, dass $c$ nicht die Hypotenuse des Dreiecks ist, sondern $a$ (siehe Bild oben), sodass die Form des Pythagoras zwar ähnlich bleibt, aber nun $a$ , $b$ und $c$ nicht die bekannten Rollen, also $a$ , $b$ die Kathethen und $c$ die Hypotenuse sind, einnehmen.
$(645\,\mathrm m)^2=(420\,\mathrm m)^2+c^2$
$c^2= (645\,\mathrm m)^2 - (420\,\mathrm m)^2$
$c^2=239\,625\,\mathrm m^2$
Wurzel ziehen.
$c\approx490\,\mathrm m$
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$\beta=90^\circ$
$c=15{,}8\,\mathrm{cm}$
$a=30{,}7\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$b^2=\left(30{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+\left(15{,}8\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2=1192{,}13\,\mathrm{cm}^2 \;\;\;\;|\sqrt{}$
$b\approx34{,}5\,\mathrm{cm}$
$\alpha$ berechnen
$\tan\left(\alpha\right)=\frac{a}{c}$
$\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{30{,}7\,\mathrm{cm}}{15{,}8\,\mathrm{cm}}$
$\alpha\approx62{,}7^\circ$
$\gamma$ berechnen
$\gamma$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\gamma\approx 180^\circ-90^\circ-62{,}7^\circ$
$\gamma \approx 27{,}3^\circ$
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$\gamma=90^\circ$
$\alpha=35^\circ$
$c=12{,}5\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\beta=180^\circ-90^\circ-35^\circ$
$\beta=55^\circ$
$a$ berechnen
$\sin\left(35^\circ\right)=\frac{a}{12{,}5\,\mathrm{cm}} \:\:\;\;\;\;|{}\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}$
$a=\sin\left(35^\circ\right)\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}$
$a=7{,}2\,\mathrm{cm}$
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$c^2=a^2+b^2$
$\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2 \:\:\;\;\;\;|{}-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2=\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2$
$b^2\approx104{,}4\,\mathrm{cm}^2$
Wurzel ziehen.
$b\approx10{,}2\,\mathrm{cm}$
$b$ berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)
$\cos\left(\alpha\right)=\frac bc$
Nach $b$ umstellen.
$b = \cos\left( \alpha \right) \cdot c \approx 10{,}2\,\mathrm{cm}$
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$\alpha=90^\circ$
$\gamma=40{,}3^\circ$
$a=10{,}5\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\beta$ berechnen
$\beta$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $\left(180^\circ\right)$ abziehst.
$\beta=180^\circ-90^\circ-40{,}3^\circ$
$\beta=49{,}7^\circ$
$b$ berechnen
$\sin\left(49{,}7^\circ\right)=\frac{b}{10{,}5\,\mathrm{cm}}\:\:\;\;\;\; |{}\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}$
$b=\sin\left(49{,}7^\circ\right)\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}$
$b\approx8\,\mathrm{cm}$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$\left(10{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=c^2+\left(8\,\mathrm{cm}\right)^2$
$c^2=46{,}25\,\mathrm{cm}^2$
Wurzel ziehen.
$c\approx6{,}8\,\mathrm{cm}$
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Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit $a=5\text{ cm}$ und $\alpha= 75°$ die Seitenlänge von $b$ . Runde auf zwei Nachkommastellen.

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit a=b.

a = 44,2cm

c = 63,4cm

a = 114,5m

$\alpha$ = 32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seite c des Dreiecks:

Verwende den Cosinus , um die Basis des Dreiecks zu berechnen,

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \cos\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}c$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 2\cdot\left(\cos\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m\right)$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 193{,}565$

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende dafür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \sin\left(32{,}3°\right)\cdot114{,}5m$	$=$	$\displaystyle h_c$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle 61{,}183m$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 32{,}3°$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 32{,}3°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 57{,}25°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$
$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 57{,}25°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 115{,}4$

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c = 35,4cm

$\beta$ = 43,9°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.

Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$	$\displaystyle \cdot a:\cos\left(\beta\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot35{,}4cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}565cm$
	$=$	$\displaystyle b$

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{a}$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle \sin\left(43{,}9°\right)\cdot24{,}565cm$
$\displaystyle h_c$	$=$	$\displaystyle 17{,}033cm$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .

$\displaystyle \cos\left(\alpha\ \right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 43{,}9°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 43{,}9°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot43{,}9°$
	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 46{,}1°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$
$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 46{,}1°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

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$h_c$ = 14,8cm

$\alpha$ = 28,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$	$\displaystyle \cdot b:\sin\left(\alpha\right)$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8\ cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 31{,}218$
	$=$	$\displaystyle a$

Berechne die Seite c des Dreicks.

Verwende hierfür den Cosinus .

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle \cos\left(28{,}3°\right)\cdot31{,}218cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}c$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 54{,}973cm$
	↓	Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Cosinus oder Sinus ,

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 28{,}3°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{a}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 28{,}3°$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck , um den letzten Winkel auszurechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot28{,}3°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

alternativ:

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\ \right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 61{,}7°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

oder:

$\displaystyle \sin\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}c}{b}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 61{,}7°$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

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a = 146,4m

$h_c$ = 58,4m

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$\displaystyle \sin\left(43°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{8\text{m}}{k}$	$\displaystyle \cdot k$
$\displaystyle \sin\left(43°\right)\cdot k$	$=$	$\displaystyle 8\ \text{m}\$	$\displaystyle \ :\sin\left(43°\right)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \frac{8\text{m}}{\sin\left(43°\right)}$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 11{,}7\text{m}\$

$\displaystyle \cos\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{113m}{c}$	$\displaystyle \cdot c\$
	↓	Bring c auf die andere Seite
$\displaystyle c\cdot\cos\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle 113m$	$\displaystyle :\ \cos\left(39°\right)$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \dfrac{113m}{\cos(39°)}$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 145m$

Aufgaben zur Trigonometrie

Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Lösung der Aufgabe

1. Skizze zeichnen

2. Breite berechnen

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1. Skizze zeichnen

2. Berechnen

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Skizze

Lösung mit tan

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$\displaystyle \tan\left(31^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{h}{20m}$	$\displaystyle {\cdot20m}$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \tan\left(31^{\circ}\right)\cdot20m$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 12m$

$\displaystyle \tan\left(38^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle a:80\,m$	$\displaystyle {\cdot80\,m}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \tan\left(38^\circ\right)\cdot80\,m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 62{,}5\,m$

$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach h umformen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 5\,\mathrm{m}\cdot\tan\left(50^\circ\right)$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 6\,\mathrm{m}$

$\displaystyle \beta+\ 90°\ +\ 39°$	$=$	$\displaystyle 180°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 180°-90°-39°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 51°$

$\displaystyle \sin\left(39°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{145m}$	$\displaystyle \cdot145m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sin\left(39°\right)\cdot145m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 91m$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{35{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{a}$
	↓	Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{17{,}7cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}6cm$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm\cdot\tan\left(43{,}9°\right)$
	↓	Multplzieren.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}0cm$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\tan\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 27{,}5cm$
	↓	$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 2\cdot27{,}5cm$
	$=$	$\displaystyle 55cm$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 31{,}2cm$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
	↓	Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 23{,}5°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot23{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 133°$

$\displaystyle \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{r}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10cm\cdot\sin\left(\frac{84^\circ}2\right)$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $x$ berechnen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6{,}7cm$
	↓	Da $x$ die Hälfte der Sehne $s$ ist, $x$ verdoppeln.
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 2\cdot6{,}7cm$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 13{,}4cm$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{12{,}7\,\mathrm{cm}}{24{,}9\,\mathrm{cm}}$	$\displaystyle \sin^{-1}()$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\frac{12{,}7\,\mathrm{cm}}{24{,}9\,\mathrm{cm}}\right)$
	$=$	$\displaystyle 30{,}7^\circ$

$\displaystyle \tan(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{b}$	$\displaystyle \cdot b\ :\tan\left(\alpha\right)$
	↓	Löse nach b auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{\tan\left(\alpha\right)}$
	↓	Setze $a=5\,\text{cm}$ und $\alpha=75°$ in die Gleichung ein.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)}$
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 1{,}34\;\text{cm}$

$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{{\displaystyle\frac12}c}b$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 44{,}177°$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}{\alpha}$
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 44{,}177°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}177°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 91{,}646°$

$\displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{{\displaystyle\frac12}c}a$
$\displaystyle \frac12\gamma$	$≈$	$\displaystyle 45{,}8^°$
$\displaystyle \gamma$	$≈$	$\displaystyle 45{,}8^\circ\cdot2=91{,}6^\circ$

$\displaystyle \sin\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}a$
$\displaystyle \frac{1}{2}\gamma$	$=$	$\displaystyle 45{,}8°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 2\cdot45{,}8°\ =\ 91{,}6°$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}b$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 23{,}51^\circ$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180^\circ-2\cdot23{,}51^\circ$
	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$

$\displaystyle \cos\left(\frac12\gamma\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h_c}b$
$\displaystyle \frac12\gamma$	$=$	$\displaystyle 66{,}49^\circ$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 132{,}98^\circ$