Heft 1

Einzeichnen der zwei fehlenden farbigen Ecken:

Wir können zur Hilfe eine Tabelle mit Werten und ihren Quadraten anlegen, sodass wir zum Beispiel eine wie die Folgende erhalten:

In der dritten Zeile haben wir hierbei wie folgt gerechnet:

Es gilt $6{,}25 < 8 < 9$

Also gilt auch: $2{,}5 < \sqrt{8} < 3.$

Also ist die dritte Antwortmöglichkeit richtig.

Der Verlust beträgt $2\text{ €}$, da $8 - 6 = 2$.

Also ist der Prozentwert $W=2$ und der Grundwert $G=8$.

Der Prozentsatz kann nun mithilfe der Formel $p = \dfrac{W}{G}$ berechnet werden.

Einsetzen der oben ermittelten Werte liefert $p = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = \boxed{25\%}.$

Winkelsumme im Dreieck:

$\beta=(180°-50°):2=65°$

Stufen- und Nebenwinkel:

$\delta$ ist ein Stufenwinkel zu dem 50° Winkel. Damit ist $\delta$ genau so groß wie der Nebenwinkel zu dem 50° Winkel.

$\delta = 180°-50°=130°$

Satz des Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$

$h^2=s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$ oder $h^2=k^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

Sinus: $\sin (\alpha )=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin(\alpha)=\dfrac{k}{s}$

Tangens: $\tan (\beta )=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(\beta)=\dfrac{k}{\dfrac{a}{2}}$

$0{,}5: 100=0{,}05$

Die eigentliche Lösung ist:

$0{,}5: 100=0{,}005$

Füge beim Divisor das Komma nach der 1. Stelle von rechts ein.

$\Rightarrow$ $0{,}5:10{,}0=0{,}05$

$25: 250=10$

Die eigentliche Lösung der Aufgabe ist:

$25: 250=0{,}1$

Füge beim Divisor das Komma nach der 2. Stelle von rechts ein.

$\Rightarrow$ $25:2{,}50=10$

Rechnen

Wir formen die Zahlen um:

Vergleich

Die ausgerechneten Werte sind nun viel leichter zu vergleichen, denn man sieht direkt, dass gilt:

Der kleinste Wert ist also $-3^2 = -9$ und der größte Wert ist $\sqrt{9} = 3$.

Bei dem Ausdruck $25 a^{2}-169 b^{2}$ handelt es sich um eine Differenz.

Außerdem gilt: $25 = 5^2$ und $169 = 13^2$. Beide Zahlen sind also Quadratzahlen.

$\Rightarrow$ $25a^2 - 169b^2 = 5^2 a^2 - 13^2 b^2 = (5a)^2 - (13b)^2.$

Hierbei haben wir im letzten Schritt das Potenzgesetz zur Multiplikation bei

gleichem Exponenten verwendet.

Wende nun die 3. binomischen Formel an:

$\Rightarrow$ $25a^2 - 169b^2 = (5a)^2 - (13b)^2 = (5a + 13b)\cdot(5a - 13b)$

Eventuell hilft bei der ersten Lücke auch die Seite über Längeneinheiten.

Erste Lücke

Zunächst formen wir folgendermaßen nach der gesuchten Größe $x$ um:

Wir erhalten also $x = 1{,}1\mathrm{~m}$ und rechnen in $\cm$ um.

$x = 100 \cdot 1{,}1\mathrm{~cm} = 110 \mathrm{~cm}$

Trage $\boxed{110}$ in die Lücke ein.

Zweite Lücke

Zunächst rechnen wir die $120\mathrm{~dm}^2$ in Quadratmeter um, damit die Umformungen besser klappen. Es gilt:

Jetzt liefert Umformen nach der gesuchten Größe $y$:

Hier ist $y$ bereits schon in der gewünschten Einheit gegeben, sodass wir in die Lücke $\boxed{1{,}8}$ eintragen können.

$f(x)=x^{2}+6 x+8$

Ergänze mit dem quadratischen Term: $\left(\dfrac{\color{green}6}{2}\right)^2$

$f(x)=\underbrace{x^{2}+6 x+\left(\dfrac{\color{green}6}{2}\right)^2}_{1. \text{Binomische Formel}}+\underbrace{8-\left(\dfrac{\color{green}6}{2}\right)^2}_{-1}$

Verwende nun die erste binomische Formel:

$a^2+2ab+b_{ }^2=(a+b)^2$

$x^{2}+6 x+\left(\dfrac{\color{green}6}{2}\right)^2=(x+3)^2$

Die Funktion kann dann mithilfe des Binoms geschrieben werden als:

$f(x)=(x+3)^2-1$

Arithmetisches Mittel: $\dfrac{\text{Wert}_1+\text{Wert}_2+\text{Wert}_3+\ldots}{\text{Anzahl der Werte}}$

$\dfrac{1+2+2+4+5+5+8}{7}$ ist das arithmetische Mittel der Zahlen im Zähler des Bruches.

Urliste: In der Urliste werden alle Daten unsortiert erfasst.

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 2 ; 5 ; 8 ist eine Urliste der ermittelten Daten.

Spannweite: Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und kleinsten Wert einer Messung.

$8-1=7$ beschreibt die Spannweite einer Messung.

Allgemeine Form einer linearen Funktion:

$f(x)=m\cdot x+b$

Beispiel:

$f(x)=-x$ ist eine lineare Funktion mit $m=-1$ und $b=0$.

Der Graph verläuft durch den 2. und 4. Quadranten:

Parabel:

Die allgemeine Form einer Parabel lautet:

$f(x)=ax^2+bx+c$

$g(x)=2x\cdot(x-3)=2x^2-6x$

$\Rightarrow$ $g(x)=2x^2-6x$ ist eine Parabel mit $a=2$, $b=-6$ und $c=0$.

Verschiebung einer Parabel.

$f(x)=ax^2+bx+c$

$f(x)=x^2+3$

$c=3$

Der Parameter $c=3$ bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung um $3$ nach oben.

Man könnte ausprobieren und feststellen, dass sowohl $3 = 4+(-1)$ als auch $5 = 6+(-1)$ als Summe möglich sind.

Damit bleibt nur $\boxed{7}$ als Antwortmöglichkeit.