Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

Die Punkte $P$ und $Q$ sind zwei Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Punkte $P$ und $Q$ sind weiterhin die Endpunkte der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks werden aus der Abständen der Punkte $P$ und $Q$ voneinander in horizontaler ($\mathrm{\Delta }x$) und vertikaler Richtung ($\mathrm{\Delta }y$) gebildet. 

Der Abstand $\overline{PQ}$ zwischen den Punkten $P$ und $Q$ ergibt sich somit aus der Wurzel der Quadrate der Differenzen $\mathrm{\Delta }x=x_Q-x_P$ und $\mathrm{\Delta }y=y_Q-y_P$.

$\overline{PQ}=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2},\mathrm{\Delta }x=x_Q-x_P,\mathrm{\Delta }y=y_Q-y_P$

$\overline{PQ}=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2},\mathrm{\Delta }x=x_q-x_p,\mathrm{\Delta }y=y_q-y_p$

Übernehmene die Lösung aus Teilaufgabe a).

Somit ergibt sich für die Länge der Seite $\overline{AB}$ mit $x_A=3$ ,  $x_B=1$ und  $y_A=2$ ,  $y_B=1$

und für die Länge der Seite $\overline{AC}$ entsprechend zu oben eingesetzt

und für die Länge der Seite $\overline{BC}$.

$\overline{BC}=\sqrt{{\left(4\right)}^2+{(-3)}^2}=5$

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite die Hypotenuse. Dieses wäre dann die Seite $\overline{BC}$. Die Seiten $\overline{AB}$  und $\overline{AC}$  wären die Katheten. Es ist zu überprüfen, ob:

Die Ergebnisse für die Seitenlängen können aus der Lösung der Teilaufgabe 2 übernommen werden.

$\sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2}=\sqrt{5+20}=5$

Die Werte in der Rechnung werden aus der Lösung von Teilaufgabe b) übernommen.

Das Dreieck ist bei $A$ rechtwinklig

$p^2+h^2=a^2;q^2+h^2=b^2;a^2+b^2=c^2$

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

${\overline{\mathrm{ET}}}^2={\overline{\mathrm{EH}}}^2+{\overline{\mathrm{HT}}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{HT}}=\mathrm{2,03}\mathrm{m}$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{HT}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$.

$\overline{\mathrm{HT}}=\mathrm{2,03}\mathrm{m}$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

${\overline{\mathrm{ET}}}^2={\overline{\mathrm{EH}}}^2+{\left(\mathrm{2,03}\mathrm{m}\right)}^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EH}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$:

${\overline{\mathrm{EH}}}^2={\overline{\mathrm{EG}}}^2+{\overline{\mathrm{GH}}}^2$

$\overline{\mathrm{EG}}=\mathrm{3,40}\mathrm{m}$ und $\overline{\mathrm{GH}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}$ sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

${\overline{\mathrm{EH}}}^2={\left(\mathrm{3,40}\mathrm{m}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,50}\mathrm{m}\right)}^2$

und rechne aus.

${\overline{\mathrm{EH}}}^2=\mathrm{17,81}{\mathrm{m}}^2$

Um von ${\overline{\mathrm{EH}}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EH}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{\mathrm{17,81}}\mathrm{m}$

Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EH}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$\overline{\mathrm{EH}}\approx \mathrm{4,22}\mathrm{m}$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit ${\overline{\mathrm{EH}}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline{\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline{\mathrm{EH}}$:

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

${\overline{\mathrm{EF}}}^2={\overline{\mathrm{EN}}}^2+{\overline{\mathrm{NF}}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{NF}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{NF}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{MD}\right]$.

$\overline{\mathrm{NF}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

${\overline{\mathrm{EF}}}^2={\overline{\mathrm{EN}}}^2+{\left(\mathrm{2,55}\mathrm{m}\right)}^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EN}}$ musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$:

${\overline{\mathrm{EN}}}^2={\overline{\mathrm{EM}}}^2+{\overline{\mathrm{MN}}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{MN}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}$ ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke $\left[\mathrm{MN}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{GH}\right]$).

$\left[\mathrm{EM}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$, und $\overline{\mathrm{EG}}=\mathrm{3,40}\mathrm{m}$ ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit ${\overline{\mathrm{EN}}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline{\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline{\mathrm{EN}}$:

Ergebnis

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ mit einer Streckenlänge von ca. $\mathrm{4,68}\mathrm{m}$ ist größer als die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$.

Damit ist die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm{DSTF}$

$A_{\mathrm{DSTF}}=?$

Das Viereck $\mathrm{DSFT}$ ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

$A_{\mathrm{Rechteck}}=L\ddot{a}nge\cdot Breite$

$A_{\mathrm{DSTF}}=\overline{\mathrm{DS}}\cdot \overline{\mathrm{ST}}$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{ST}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}$ ist angegeben, aber $\overline{\mathrm{DS}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$:

${\overline{\mathrm{DS}}}^2={\overline{\mathrm{KS}}}^2+{\overline{\mathrm{DK}}}^2$

$\left[\mathrm{KS}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$, und $\overline{\mathrm{EG}}=\mathrm{3,40}\mathrm{m}$ ist in der Aufgabenstellung angegeben.

${\overline{\mathrm{DS}}}^2={\left(\frac{\mathrm{3,40}\mathrm{m}}{2}\right)}^2+{\overline{\mathrm{DK}}}^2$

$\overline{\mathrm{DK}}$ kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken $\left[\mathrm{DM}\right]$ und $\left[\mathrm{KM}\right]$:

$\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}$

$\overline{\mathrm{DM}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}$ ist angegeben.

$\overline{\mathrm{KM}}=\mathrm{2,03}\mathrm{m}$ kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke $\left[\mathrm{KM}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$.

$\overline{\mathrm{DK}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}-\mathrm{2,03}\mathrm{m}=\mathrm{0,52}\mathrm{m}$

Setze dies nun ein.

Diesen gerundeten Wert für $\overline{\mathrm{DS}}$ kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

$A_{\mathrm{DSTF}}=\overline{\mathrm{DS}}\cdot \overline{\mathrm{ST}}$

Hier setzt du nun $\overline{\mathrm{DS}}\approx \mathrm{1,78}\mathrm{m}$ und $\overline{\mathrm{ST}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}$ ein.

$A=2\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{m}\cdot \mathrm{1,78}\mathrm{m}=\mathrm{8,9}{\mathrm{m}}^2$

Der Flächeninhalt des Daches beträgt $\mathrm{8,9}{m}^2$.