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Kurs

Drehung mittels Matrizen

7Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

Zur Wiederholung:

(x′y′)=(xcos⁡αxsin⁡α)+(ycos⁡(90°+α)ysin⁡(90°+α))\displaystyle \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \cos \alpha \\ x \sin \alpha\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}y \cos (90°+ \alpha) \\ y \sin (90° + \alpha)\end{pmatrix}

Jetzt wendet man die Additionstheoreme an, um dies zu vereinfachen.

  • cos⁡(90°+α)=cos⁡90°⋅cos⁡α−sin⁡90°⋅sin⁡α=−sin⁡α\cos (90° + \alpha)= \cos 90°\cdot \cos \alpha - \sin90°\cdot \sin\alpha = -\sin \alpha

  • sin⁡(90°+α)=sin⁡90°⋅cos⁡α+cos⁡90°⋅sin⁡α=cos⁡α\sin(90°+ \alpha)= \sin90° \cdot \cos\alpha + \cos90° \cdot \sin \alpha =\cos \alpha

⇒(x′y′)=(xcos⁡αxsin⁡α)+(−ysin⁡αycos⁡α)=(xcos⁡α−ysin⁡αxsin⁡α+ycos⁡α)\displaystyle \Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \cos \alpha \\ x \sin \alpha\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} - y \sin \alpha \\ y \cos \alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x \cos \alpha -y\sin\alpha \\ x \sin \alpha + y \cos\alpha\end{pmatrix}

Der Punkt P′P' hat also folgende Koordinaten:

P′(xcos⁡α−ysin⁡α∣xsin⁡α+ycos⁡α)P'(x\cos\alpha-y\sin\alpha|x\sin\alpha+y\cos\alpha)

Nun schreibt man das noch in der Matrixschreibweise, um den Ausgangsvektor OP→\overrightarrow{OP} als auch den Bildvektor OP′→\overrightarrow{OP'} hervorzuheben:

⇒(x′y′)=(cos⁡α  −sin⁡αsin⁡α      cos⁡α)⋅(xy)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{rcl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rcl}x \\ y\end{array}\right)

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