Beispiel: Drehung einer Gerade g um einen beliebigen Punkt Z

Die Gerade $g$ mit $y=\frac{1}{4} x -1$ soll mit dem Winkel $\alpha=45°$ um das Zentrum $Z (1 ∣ 2)$ gedreht werden.

Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .

Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|\frac{1}{4}x-1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $45 °$ um $Z$ :

1. Drehung des Vektors $\overrightarrow{ZP_n}$ um den Ursprung:

$\overrightarrow{ZP_n} = \begin{pmatrix}x-1\\ \frac{1}{4}x-1-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x-1\\ \frac{1}{4}x - 3\end{pmatrix}$

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{OQ_n'}= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{ZP_n}%%%%= \left(\begin{array}{rl}\cos45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}x-1 \\ \frac{1}{4}x-3\end{array}\right)%% %%=\left(\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt2}\ \ -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2} \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}x-1 \\ \frac{1}{4}x - 3\end{array}\right) = \begin{pmatrix}\frac{x-1}{\sqrt2} -\frac{\frac{1}{4}x-3}{\sqrt2}\\ \frac{x-1}{\sqrt2} + \frac{\frac{1}{4}x-3}{\sqrt2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{0{,}75x+2}{\sqrt2} \\ \frac{1{,}25x-4}{\sqrt2} \end{pmatrix}$

2. Parallelverschiebung

Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:

\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix} = \overrightarrow{OQ_n'}+\overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}\frac{0{,}75x+2}{\sqrt2} \\ \frac{1{,}25x-4}{\sqrt2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{0{,}75x+2}{\sqrt2} +1\\ \frac{1{,}25x-4}{\sqrt2} +2\end{pmatrix}

$\Rightarrow P_n'\left(\frac{0{,}75x+2}{\sqrt2} +1|\frac{1{,}25x-4}{\sqrt2} +2\right)$

3. Berechnung des Trägergraphs

$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= \frac{0{,}75x+2}{\sqrt2} & +1 &(1)\\y'&= \frac{1{,}25x-4}{\sqrt2} & +1 &(2)\end{array}$

Als erstes löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.

\displaystyle x=\dfrac{\sqrt{2}(x'-1)-2}{0{,}75}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}x'-\dfrac{8+4\sqrt{2}}{3}

Das wird nun in (2) eingesetzt:

\displaystyle y'=\dfrac{1{,}25(\frac{4\sqrt{2}}{3}x'-\dfrac{8+4\sqrt{2}}{3})}{\sqrt{2}}+1-2\sqrt{2}=\frac{5}{3}x'-\dfrac{2+11\sqrt{2}}{3}

Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $g':y'=\dfrac{5}{3}x'-\dfrac{2+11\sqrt2}{3}$

16Beispiel: Drehung einer Gerade g um einen beliebigen Punkt Z

1. Drehung des Vektors ZPn→\overrightarrow{ZP_n}ZPn​​ um den Ursprung:

2. Parallelverschiebung

3. Berechnung des Trägergraphs

1. Drehung des Vektors $\overrightarrow{ZP_n}$ um den Ursprung: