Aufgaben zu vermehrtem und vermindertem Grundwert

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Die Masse des herumliegenden Beton-Steins beträgt nach Schätzung des Maurers 10 kg, nach Schätzung des Architekten 16 kg.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
erster Satz
Ergänze zuerst den ersten Satz:
$x\%\widehat=10\,\text{kg}$ (Schätzung des Maurers)
$100\%\widehat=16\,\text{kg}$ (Schätzung des Architekten)
Dividiere durch 100.
$1\%\widehat=0{,}16\,\text{kg}$
Errechne die Differenz der beiden Schätzungen.
$16\,\text{kg}-10\,\text{kg}=6\,\text{kg}$
Dividiere nun den Wert eines Prozents durch die errechnete Differenz.
$\frac{6\,\text{kg}}{0{,}16\,\text{kg}}=37{,}5\%$
Ergänze den Satz.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Schätzung des Maurers liegt 37,5% unter der Schätzung des Architekten.
zweiter Satz
Ergänze nun den zweiten Satz:
$x\%\widehat=16\,\text{kg}$
$100\%\widehat=10\,\text{kg}$
Dividiere durch 100.
$1\%\widehat=0{,}1\,\text{kg}$
Errechne die Differenz der beiden Schätzungen.
$\mathrm{16\ kg-10\ kg=6\,{kg}}$
Dividiere nun den Wert eines Prozents durch die errechnete Differenz.
$\frac{6\,\text{kg}}{0{,}1\,\text{kg}}\widehat=60\%$
Ergänze den Satz.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Schätzung des Architekten war 60% größer als die des Maurers.
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Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Teiches soll 15,6 $m^3$ betragen.
Welche Erdmenge muss Herr Boller per Container abfahren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist, also den Arbeiten sogar noch 15% mehr Erde ausgehoben werden müssen?
m³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Vermehrten Grundwert berechnen
Ordne die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert $G=15{,}6\,\text{m}^3$
Prozentsatz $p = 15\%$
Es muss mehr Erde ausgehoben werden als der Grundwert angibt. Bei der gesuchten Größe handelt es sich also um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: vermehrter Grundwert $G_+$
Berechne zuerst wie viel Erde zusätzlich ausgehoben wird. Berechne dazu den Prozentwert $W$ zu den gegebenen Werten $p$ und $G$ mit Hilfe der Formel.
Lösung:
$W=G\cdot p\\=15{,}6\,\text{m}^3\cdot15\%\\=15{,}6\,\text{m}^3\cdot0{,}15\\= 2{,}34\,\text{m}^3$
Dieses Volumen an Erde, wird zusätzlich ausgehoben, wird also zu dem Grundwert addiert.
$G_+=G + W \\= 15{,}6\,\text{m}^3+2{,}34\,\text{m}^3=17{,}94\,\text{m}^3$
Antwort: Insgesamt müssen $17{,}94\; m^3$ Erdreich ausgehoben werden.
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Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.
Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Überlege dir zunächst wie viel Geld der Käufer tatsächlich bezahlen musste.
Preis nach der Preiserhöhung:
$27500\,\text{€} + 1000\,\text{€} = 28500\,\text{€}$
Preis nach der Rabattaktion:
Berechne den Prozentwert, der angibt wie viel Geld gespart wird.
Gegeben: Grundwert $G=28500\text{\ €}$ , Prozentsatz $p=12\%$
Gesucht: Prozentwert $W$
Verwende die Prozentformel.
$W=p \cdot G\\ =28500\;€ \cdot 12\%\\ =28500\;€ \cdot 0{,}12\\ =3420\;€$
Dieser Betrag wird von dem zuzahlenden Betrag abgezogen.
$28500\; € - 3420\; € = 25080\;€$
Anteil des gezahlten Betrags vom ursprünglichen Grundpreis:
Gegeben: Grundwert $G=27500\,\text{€}$ , Prozentwert $W=25080\,\text{€}$
Gesucht: Prozentsatz $p$
Berechne den prozentuellen Anteil mit Hilfe der Prozentformel.
$p= \frac{W}{G} \\= \frac{25080\,\text{€}}{27500\,\text{€}} \\= 0{,}912 = 91{,}2\%$
Antwort: Tatsächlich wurden 91,2% vom Grundpreis gezahlt.
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Für eine Kettensäge zahlt ein Hobbygärtner nach Abzug von 3% Rabatt 184,30 €. Wie hoch war der ursprüngliche Verkaufspreis?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Prozentrechnen mit verminderten Grundwerten
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen zu.
Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei $184{,}30\ €$ um einen verminderten Grundwert.
Gegeben:
Vermindeter Grundwert $G^- = 184{,}30\;€$ , Prozentsatz $p=3\ \%$
Gesucht: Grundwert $G$
Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
$G^- = G\cdot (1 - p)$
Setze die gegebenen Größen ein.
$184{,}30\ €=G\cdot(1-3\ \%)$
$= G\cdot(1 - 0{,}03) = G\cdot0.97$
Vereinfache soweit wie möglich.
Löse die Formel nach $G$ auf.
$G = 184{,}30\ € : 0{,}97 = 190\ €$
Antwort: Die Kettensäge kostete ohne Rabatt $190\ €.$
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Ein Gärtner kauft einen Rasentraktor und erhält einen Rabatt.
Wie viel Prozent Rabatt bekommt er, wenn er statt 1342,50 € nur 1261,95 € bezahlt?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Berechne zunächst, wie viel Geld gespart wurde.
$1342{,}50\;€-1261{,}95\;€=80{,}55\;€$
Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben: Grundwert $G = 1342{,}50\ €$ , der errechnete Wert entspricht dem Prozentwert $W= 80{,}55\;€$
Gesucht: Prozentsatz $p$
Berechne den Prozentsatz mithilfe der Prozentformel.
Lösung:
$p=\frac WG\\=\frac{80{,}55\;€}{1342{,}50\;€}=0{,}06=6\%$
Antwort: Der Gärtner bekommt 6 % Rabatt.
6
Eine Kundin kauft in einem Sportgeschäft einen Heimtrainer zum Preis von 399,50 €. Als Mitglied eines Sportvereins bekommt sie Ermäßigung und zahlt nur 367,54 €. Wie viel % betrug der Preisnachlass?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Überlege dir zuerst wie viel Geld gespart wurde.
$399{,}50\,€-367{,}54\,€=31{,}96\,€$
Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben: Grundwert $G = 399{,}50\,€$ , der berechnete Wert entspricht dem Prozentwert $W=31{,}96\,€$
Gesucht: Prozentsatz $p$
Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung:
$p=\frac WG \\=\frac{31{,}96\,€}{399{,}50\,€}=0{,}08 =8\%$
Antwort: Der Preisnachlass betrug 8%.
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Ein Baumarkt gewährt den Mitgliedern von Siedlergemeinschaften auf alle Einkäufe 6% Preisnachlass.
Wie viel müsste ein Mitglied für einen Rasenmäher zahlen, der normal 164,50 € kostet?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Verminderten Grundwert berechnen
Überlege dir was gesucht und was gegeben ist.
Gegeben: Grundwert $G = 164{,}50\ €$ ; Prozentsatz $p=6\%$
Gesucht: der Preis nach der Rabattaktion, also der verminderter Grundwert
Berechne zunächst den Prozentwert also wie viel Geld gespart wird mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung:
$W=G \cdot p \\ = 164{,}50\;€ \cdot 6\% =9{,}87\;€$
Dieser Wert wird nun vom Grundwert abgezogen.
Endpreis:
$G^- = 164{,}50\;€-9{,}87\;€=154{,}63\;€$
Antwort:Ein Mitglied der Siedlergemeinschaft muss für den Rasenmäher nur den rabattierten Preis von 154,63 € bezahlen.
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Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Rudi kauft ein Rennrad, das jetzt nur 460 € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Wie viel kostete das Rad ursprünglich? Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass also in Wirklichkeit?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Gegeben: $460\ €=80\%$
Gesucht: ursprünglicher Preis $P$ , also Preis nach der Steigerung des Preises um 15 %.
Dreisatz anwenden.
$x=100\%$
$460\ €=80\%$
$P=\left(100\%\cdot460\ €\right):80\%$
$=575\ €$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Preis nach der 15 %-Steigerung des Preises betrug 575 €.
Gegeben: $575\ €=115\%$
Da der Preis um $15\%$ erhöht wurde, entsprechen die $575\ €$ gleich $115\%$ . Nun muss der Wert von einem Prozent ausgerechnet werden.
$\frac{575\ €}{115\%}=\frac{5\ €}{1\%}=500\ €$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der ursprüngliche Preis betrug 500 €.
Nun rechne die eigentliche Preissenkung aus.
$100\%\widehat=500\ €$
$1\%\widehat=5\ €$
Die $460\ €$ durch die $5\ €$ teilen, um den prozentualen Wert der $460\ €$ von den $500\ €$ auszurechnen.
$\frac{460€}{5€}=92$
$92\%\widehat=460\ €$
Die Preissenkung in Prozent ausrechnen.
$100\%-92\%=8\%$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die tatsächliche Preissenkung beträgt $8\%$ .
$\hspace{8mm}$ Der Preis wurde von 500 € auf 460 € gesenkt.
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Herr Maier musste das Dach seiner Garage sanieren lassen. Der Nettopreis beträgt 2800,- Euro; hinzu kommen 16 % Mehrwertsteuer. Wenn die Rechnung innerhalb von 8 Tagen beglichen wird, werden auf den Bruttobetrag 2 % Skonto gewährt. Herr Maier schlägt auf den Nettobetrag 14 % auf und überweist das Geld sofort. Hat Herr Maier vernünftig gehandelt?
Ja, Herr Maier hat vernünftig gehandelt.
Nein, Herr Maier hat zu wenig bezahlt.
Nein, Herr Maier hat zu viel bezahlt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen

Herr Maiers Ansatz:
Er zieht von den $16\%$ die $2\%$ Skonto ab.
$16\%-2\%=14\%$
Dann rechnet er den Nettobetrag von 2800€ und die 14% der 2800€ zusammen.
$2800\,€+2800\,€\cdot0{,}14=3192\,€$
Richtiger Ansatz:
Erst die Mehrwertsteuer zum Nettobetrag dazu rechnen.
$2800\,€+2800\,€\cdot0{,}16=3248\,€$
Dann die $2\%$ vom Bruttobetrag abziehen.
$3248\,€-3248\,€\cdot0{,}02\approx3183\,€$
Die Differenz zwischen dem Betrag, den er hätte zahlen müssen, und dem Betrag, den er gezahlt hat, solltest du nun bestimmen.
$3192\,€-3183\,€=9\,€$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Er hat nicht vernünftig gehandelt, da er so $9\,€$ zu viel zahlt.
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Du siehst in einem Geschäft folgende Preistafel:
Was meinst du dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben: $100\,€=100\%$
Gesucht: Wert von $25%$ Rabatt= $W$
Dreisatz anwenden.
$100\,€=100\%$
$x=25\%$
$W=\left(100\,€\cdot25\%\right):100\%$
$=25\,€$
Die Lösung von $100\,€$ subtrahieren.
$100\,€-25\,€=75\,€$
Antwort: Die Werbetafel beinhaltet eine falsche Aussage, da der reduzierte Preis 75 € betragen müsste, wenn der Preis um 25% gesenkt wird.
Wahrscheinlicher Fehler: Der Schreiber hat anscheinend die 25% Preisnachlass auf die 80 € bezogen, da 25% von 80 € 20 € sind. Die Summe von 20 € und 80 € ergibt 100 €.
Das ist aber bei dieser Aufgabenstellung der falsche Ansatz!
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In einem Kaufhaus mit einer Fotoabteilung werden Poster der Größe 20 x 30 cm vom Negativ im Sonderangebot für 0,57 € angeboten. Normal kosten solche Vergrößerungen 0,95 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ermäßigung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert: $G$ = $0{,}95\,€$
Prozentwert: $W$ = $0{,}95\,€-0{,}57\,€=0{,}38\,€$
Ermäßigung: $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}38\,€}{0{,}95\,€}\cdot100\%=40\%$
Die Ermäßigung beträgt $40\%$ .
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Unternehmer muss für eine Materiallieferung 8229 € bezahlen, da die Preise um 5,5% angehoben wurden.
Wie viel hätte er vor dieser Verteuerung bezahlen müssen?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Der Preisanstieg um 5,5% auf 8229 € lässt sich also erhöhter Grundwert $G$ auffassen.
Ansatz: Preisanstieg um 5,5% entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor $1+\frac{5{,}5}{100}$ .
$1{,}055\cdot G=8229\,€$
Teile durch $1{,}055$ .
$G=\frac{8229\,€}{1{,}055}=7800\,€$
Vor der Verteuerung hätte der Unternehmer 7800 € zahlen müssen.
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Der Stundenlohn eines Maurers wird auf 11, 76 € erhöht. Um wie viel Prozent ist sein Lohn gestiegen, wenn er vorher bei 11,20 € lag?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Protzentsatz berechnen
Grundwert $G = 11{,}20\,€$
Prozentwert $W = 11{,}76\,€-11{,}20\,€=0{,}56\,€$
Gesucht wird der Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{0{,}56€}{11{,}20€}\cdot100\%=5\%$
$\Rightarrow$ Der neue Lohn liegt $5\%$ über dem vorherigen.
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Eine Verkäuferin bekommt nach Abzug von 32,8% Abgaben 1428 € Nettogehalt ausgezahlt. Wie hoch ist das Bruttogehalt?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Prozentsatz $p = 32{,}8\%$
Gesucht wird der verminderte Grundwert.
Das Nettogehalt beträgt 67,2% vom Grundwert.
$0{,}672\cdot G=1428€$
Dividiere durch $0{,}672$
$\Rightarrow\;G=\frac{1428€}{0{,}672}=2125€$
$\Rightarrow$ Das Bruttogehalt der Fachverkäuferin beträgt $2125 €$ .
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Der Stundenlohn eines Industriemechanikers von 11,20 € soll um 2,5% erhöht werden. Wie hoch ist der neue Stundenlohn?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert $G = 11{,}20\,€$
Prozentsatz $p = 2{,}5\%$
Gesucht ist der Prozentwert $W$ .
$W=\frac G{100\%}\cdot p$
$=\frac{11{,}20\,€}{100\%}\cdot2{,}5\%=0{,}28\,€$ (Lohnerhöhung)
Neuer Lohn:
$11{,}20\,€+0{,}28\,€=11{,}48\,€$
Der neue Stundenlohn des Industriemechanikers beträgt 11,48 €.
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Eine Baugrube mit einem Volumen von 400 m³ soll ausgehoben werden. Durch das Ausbaggern der Grube wird der Aushub aufgelockert, sodass sich das Volumen dadurch um 14% vergrößert. Wie viele LKWs mit 12 m³ Ladevolumen sind zum Abtransport des Aushubs erforderlich?
LKWs

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert $G = 400\, m³$
Prozentsatz $p = 14\%$
Gesucht wird der Prozentwert $W=\frac G{100\%}\cdot p$
= Volumenvergrößerung durch Auflockerung
$W=\frac{400\, m^3}{100\%}\cdot14\%=56\, m^3$
Abzutransportieren sind:
$400\, m^3+56\, m^3=456\, m^3$
Ein LKW fasst $12\, m³$ Erde.
Anzahl der LKWs:
$\frac{456\, m^3}{12\, \frac{m^3}{\mathrm{LKW}}}=38\, \mathrm{LKWs}$
$\Rightarrow$ Zum Abtransport der Erde sind 38 LKWs erforderlich.
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Wie viel Prozent Preisnachlass gewährt ein Fliesenleger seinem Auftraggeber, wenn er statt 13700 € nur 12604 € berechnet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Grundwert $G = 13700\,€$
Prozentwert $W = 13700\,€-12604\,€=1096\,€$
$p=\frac WG\cdot100\%=\frac{1096\,€}{13700\,€}\cdot100\%=8\%$
Der Fliesenleger gewährt seinem Auftraggeber einen Preisnachlass von 8%.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Sonnenschirme werden in einem Baumarkt von 87,50 € auf 70 € heruntergesetzt.
Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verminderter und vermehrter Grundwert
Wir modellieren die Preisreduzierung von 87,50 € auf 70 €.
Grundwert $G=87{,}50\, €$
Prozentwert $W=87{,}50\, €-70\, €=17{,}50\, €$
Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{17{,}50\, €}{87{,}50\, €}\cdot100\%=20\%$
Der Preisnachlass beträgt 20%.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
500 g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 1,75 € angeboten. Beim Kauf von 1,5 kg zahlt der Kunde nur 4,50 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verminderter und vermehrter Grundwert
Bestimme den Grundwert $G$ als Preis von 3 Schalen Erdbeeren a 500 $\, g$ .
$3\cdot500\, g$ Erdbeeren kosten: $3\cdot1{,}75\, €=5{,}25\, €$
Ein Direktkauf von 1,5 kg Erdbeeren kostet 4,50 €.
Ersparnis = $5{,}25\, €-4{,}50\, €=0{,}75\, €$ (Prozentwert $W$ )
prozentuale Ersparnis $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}75\, €}{5{,}25\, €}\cdot100\%=\frac{1}7\cdot100\%\approx14{,}3\%$
$\Rightarrow$ Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Um ein Zimmer mit Holz zu verkleiden, sind $50\ \mathrm{m}^2$ Holzpaneele vorhanden. Die Fläche, die verkleidet werden soll, ist $46{,}8\ \mathrm{m}^2$ groß.
Wie viele $\mathrm{m}^2$ Paneele müssen noch nachgeliefert werden, wenn mit $18\%$ Verschnitt zu rechnen ist?
(Runde auf zwei Nachkommastellen.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Sei $n$ die nachzuliefernde Menge.
Grundwert: $G$ = $(50+n)\;m^2$
Prozentsatz: $p$ = $18%$
Verschnitt: $W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{(50+n)\;m^2\cdot18\%}{100\%}=(9+0{,}18n)m^2$
Wähle $n$ so, dass $G-W=(41+0{,}82n)\; m^2$ der zu verkleidenden Fläche von $46{,}8\;m^2$ entspricht.
$41+0{,}82n=46{,}8\;\Rightarrow0{,}82n=5{,}8\;\Rightarrow\;n=\frac{580}{82}=\frac{290}{41}\approx7{,}07$
Es müssen ca. $7{,}07\; m^2$ Paneele nachgeliefert werden.
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Der Preis für ein Mofa stieg zuerst um 15%, sank dann wieder um 10% und beträgt nun 1449 Euro. Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Sei $x$ der Anfangspreis.
Zunächst steigt der Preis um 15%:
$x\cdot115\%=x\cdot1{,}15$
Dann sinkt er jedoch wieder um 10%:
$x\cdot115\%\cdot90\%\;=\;x\cdot1{,}15\cdot0{,}9=x_0$
$x_0$ ist der Endpreis. Es gilt: $x_0=1{,}15\cdot0{,}9\cdot x=1{,}035\cdot x$ .
$\Rightarrow$ Insgesamt wurde der Anfangspreis also um $3{,}5\%$ erhöht.
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Ein Händler kauft ein Gerät ein und verkauft es an den Kunden mit 15% Rabatt. Der Kunde bezahlt 1250 Euro. Für welchen Betrag hat der Händler das Gerät im Laden zum Verkauf angeboten? Zu welchem Preis hat er das Gerät gekauft, wenn er letztendlich 12% Gewinn gemacht hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Der um 15% Rabatt ermäßigte Verkaufspreis beträgt 1250 Euro.
Also entsprechen 1250 Euro gerade 85% des ausgeschriebenen Verkaufspreises.
Der Verkaufspreis beträgt also: $\frac{1250\, €}{85\%}=\frac{1250}{0{,}85}\, €=1470\frac{10}{17}\, €\approx1470{,}59\, €$ .
Nun soll der Ankaufspreis bestimmt werden. Beim Verkauf des Geräts macht der Verkäufer bei einem Verkaufspreis von 1250 Euro einen relativen Gewinn von 12%.
Also entspricht der Verkaufspreis von 1250 Euro gerade 112% des Ankaufspreises.
Der Ankaufspreis beträgt also: $\frac{1250\, €}{112\%}=1116\frac1{14}\, €\approx1116{,}07\, €$ .

Ist ein Bambus von 30 cm, der in der ersten Woche um 100% wächst und in der zweiten Woche wieder um 100% wächst, dann dreimal so groß wie am Anfang?

Ja, er ist dreimal so groß.
Nein, er ist kleiner als das.
Nein, er ist sogar größer.

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Die Miete einer Wohnung beträgt 473,50 €. Nachdem in der Nähe eine Parkanlage angelegt wurde, steigt die Miete dieser Wohnung für neue Mieter auf 492,44 €. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentsatz
Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffe zu. Es handelt sich um eine Preiserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert.
Gegeben: $G = 473{,}50\; €\; ; \; G^+ = 492{,}44\;€$
Es ist nach der prozentualen Steigerung des Mietpreises gefragt, also dem Prozentsatz.
Gesucht: $p$
Du kannst die Aufgabe mit der Prozentformel für den Prozentsatz berechnen.
$p = \frac W G$
Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von vermehrtem Grundwert und Grundwert.
$W = G^+ - G$
Setze die gegebenen Größen ein und berechne.
$W = 492{,}44\; € - 473{,}50\;€= 18{,}94\;€$
Berechne jetzt den Prozentsatz.
$p = \frac{18{,}94\;€}{473{,}50\;€} = 0{,}04 = 4\%$
Antwort: Die Miete wurde um $4\%$ erhöht.
Du kannst die Aufgabe mit der Formel für vermehrten Grundwert berechnen.
$G^+= G \cdot (1 + p)$
Setze die gegeben Größen ein.
$492{,}44\;€ = 473{,}50\;€ \cdot (1 + p)$
Dividiere durch $473{,}50 \;€.$
$492{,}44\;€ : 473{,}50\;€ = 1 + p$
Führe die Division durch.
$1{,}04 = 1 + p$
Subtrahiere 1 und vereinfache.
$1{,}04 - 1 = p$
$\Rightarrow p = 0{,}04 = 4\%$
Antwort: Die Miete wurde um $4 \%$ erhöht.

Fabian wiegt 60 kg. Nachdem er eine Woche lang einen Magen-Darm-Virus hatte, wiegt er nur noch 58,8 kg. Wie viel Prozent seines ursprünglichen Körpergewichts hat er verloren?

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Da die Besucherzahl in einem Freibad zurückgegangen war, wurde der Eintrittspreis um 15% gesenkt. Im nächsten Jahr liest du in der Zeitung, dass der Preis wieder um 15% gestiegen ist. Thomas sagt: "Jetzt kostet der Eintritt wieder so viel wie früher!"
Was meinst du dazu?
Der Preis ist jetzt wieder so wie vor der Veränderung.
Der Preis wurde günstiger.
Der Preis wurde teurer.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert
Thomas hat nicht Recht. Die beiden Prozentsätze von jeweils 15% beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte. Die Reduzierung um 15% bezieht sich auf den ursprünglichen Preis und die Preiserhöhung um 15% bezieht sich auf den dann reduzierten Eintrittspreis.
15% des reduzierten Eintrittspreises bilden einen kleineren Prozentwert als die 15% des ursprünglichen Preises. Dadurch ist der aktuelle Preis immer noch niedriger als der Anfangspreis.
Du kannst dir das auch anhand eines selbstgewählten Beispiels überlegen:
Angenommen der Eintrittspreis kostet 5 €.
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 5 € ; p $_1$ = 15% ; p $_2$ = 15%
Im ersten Schritt handelt es sich um eine Reduzierung also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Gesucht: G $^-$
Berechne mit der Fomel für G $^-$ .
G $^-$ = G - W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p $_1\cdot$ G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% $\cdot$ 5 € = 0,15 $\cdot$ 5 € = 0,75 €
Jetzt kannst du den verminderten Grundwert berechnen.
G $^-$ = 5 € - 0,75 € = 4,25 €
$\Rightarrow$ Nach der Preisreduzierung von 15% kostet der Eintritt 4,25 €. Das ist nun der neue Grundwert mit dem du weiterrechnest.
Gegeben: G = 4,25 €
Im zweiten Schritt handelt es sich um eine Preiserhöhung also bei der gesuchten Größe um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: G $^+$
Berechne mit der Formel für G $^+$
G $^+$ = G + W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p $_2\cdot$ G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% $\cdot$ 4,25 € = 0,15 $\cdot$ 4,25 € = 0.6375 €
Jetzt kannst du den vermehrten Grundwert berechnen.
G $^+$ = 4,25 € + 0.6375 € = 4,8875 € $\approx$ 4,89 €
$\Rightarrow$ Nach der Preiserhöhung kostet der Eintritt ungefähr 4,89 €.
Antwort: Nach der Reduzierung und der Erhöhung ist der Preis immer noch niedriger als der ursprüngliche Preis.

"Mehrwertsteuer geschenkt!" - Das ließt man des Öfteren in Geschäften oder Werbeanzeigen.

Du möchtest ein Möbelstück für 100 € kaufen.

Wenn du die Wahl hättest zwischen "Mehrwertsteuer geschenkt" oder "19% Rabatt", was würdest du auswählen? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Mehrwertsteuer geschenkt
19% Rabatt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen mit vermindertem/vermehrtem Grundwert

19% Rabatt:

Als erstes überlegst du dir wie viel du bezahlst, wenn du 19% Rabatt bekommst. Daher sind 100 € unser Grundwert, der reduziert wird.

Gegeben: G = 100 € ; p = 19%

Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.

Gesucht: G $^-$

Berechne mit der Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
	$=$	$\displaystyle 100€\cdot\left(1-19\%\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 100€\cdot\left(1-0{,}19\right)$
	$=$	$\displaystyle 100€\cdot0{,}81$
	$=$	$\displaystyle 81€$

Antwort: Bei einem Rabatt von 19% zahlst du nur noch 81 €.

Mehrwertsteuert geschenkt:

Als zweites überlegst du dir wie viel du zahlen musst, wenn dir die Mehrwertsteuer geschenkt wird. Die Mehrwertsteuer bezieht sich immer auf einen Grundwert, der nicht dem Verkaufspreis entspricht (Nettopreis). Der Verkaufswert entspricht also einem um die Mehrwertsteuer vermehrten Grundwert (Bruttopreis).

Gegeben: G $^+$ = 100 € ; p = 19%

Gesucht wird der Preis ohne Steuer, also der Grundwert auf den die Steuer draufgerechnet wurde.

Gesucht: G

Berechne mit der Formel für den vermehrten Grundwert.

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
$\displaystyle 100€$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+19\%\right)$
	$=$	$\displaystyle G\cdot1{,}19$
	↓	Teile durch 0,81 und runde auf zwei Nachkommastellen.
$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 100€:1{,}19$
	$≈$	$\displaystyle 84{,}03€$

Antwort: Bei der Aktion "Mehrwertsteuer geschenkt" zahlst du nur noch ca. 84,03 €.

$\Rightarrow$ Du erkennst, dass beide Aktionen zu einem unterschiedlichen Verkauspreis führen, obwohl sie auf den ersten Blick gleich scheinen. Dies liegt daran, dass sich die Prozentzahlen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

Antwort insgesamt: Bei der Rabattaktion von 19% kostet dein Möbelstück weniger als bei "Mehrwertsteuer geschenkt"-Aktion. Du entscheidest dich deshalb für die Rabattaktion.

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Ein Fahrrad, das 400 € kostet, wird um 20% reduziert. Um noch mehr Käufer anzulocken gibt es nach einer Woche noch einmal 10% Rabatt. Würdest du mehr, weniger oder gleich viel bezahlen, wenn das Fahrrad gleich um 30% billiger wird? Begründe deine Antwort!

Man würde mehr bezahlen.
Man würde weniger bezahlen.
Man würde gleich viel bezahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert und Prozentsatz

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 400 € ; p $_1$ = 20% ; p $_2$ = 10% ; p $_3$ = 30%

Gesucht: G $^-$

Der Preis wird reduziert, also ist ein verminderter Grundwert gesucht.

Zweimalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem ersten Rabatt von 20%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p_1\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle 400€\ \cdot\ \left(1-20\%\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot\left(1-0{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 400€\ \cdot0{,}8$
	$=$	$\displaystyle 320€$

$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert G $_2$

Berechne den verminderten Grundwert nach dem zweiten Rabatt von 10%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G_2^-$	$=$	$\displaystyle G_2\cdot\left(1-p_2\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 320€\cdot\left(1-10\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 320€\ \cdot0{,}9$
	$=$	$\displaystyle 288€$

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 30%.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p_3\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot\left(1-30\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot0{,}7$
	$=$	$\displaystyle 280€$

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

$\Rightarrow$ Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Preisreduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Alternative Lösung zweischrittige Lösung mittels Prozentwertberechnung

Rechne mit der Formel G $^-$ = G - W. Bestimme dazu zuerst W mit Hilfe der Prozentformel.

Zweimalige Preissenkung

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p_1\cdot G$
	$=$	$\displaystyle 20\%\ \cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 80€$

Berechne den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G-W$
	$=$	$\displaystyle 400€-80€$
	$=$	$\displaystyle 320€$

$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert G $_2$

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 10% aus. Berechne hierzu den Prozentwert W $_2$ .

$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle p_2\cdot G_2$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle 10\%\cdot320€$
$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle 32€$

Berechne den verminderten Grundwert G $^-_2$ .

G $_2^-$ = G $_2$ - W $_2$ = 320 € - 32 € = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p_3\cdot G$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 30\%\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 120€$

Berechne den verminderten Grundwert.

G $_2^-$ = G - W = 400 € - 120 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

$\Rightarrow$ Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Preisreduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

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29
Auf dem Preisschild eines Pullovers liest du einen Betrag von 40 €. Auf das komplette Regal gibt es 50% Rabatt. Im Schaufenster steht ein Schild mit der Aufschrift "Auf alle reduzierten Artikel noch einmal 50% Rabatt!" Ist der Pullover jetzt kostenlos?
Ja, der Pullover ist jetzt kostenlos.
Nein, er ist nicht kostenlos.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 40 € ; $\text{p}_1$ = 50% ; $\text{p}_2$ = 50%
Gesucht: G $^-$
Es handelt sich um einen Rabatt, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
G $^-$ = G $\cdot$ (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein.
G $^-$ = 40 € $\cdot$ (1 - 50%)
= 40 € $\cdot$ (1 - 0,5) = 40 € $\cdot$ 0,5 = 20 €
Vereinfache.
$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert
Rechne nun den Preis nach der zweiten Reduzierung aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.
G $^-$ = G $\cdot$ (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
G $^-$ = 20 € $\cdot$ (1 - 50%) = 20 € $\cdot$ 0,5 = 10 €
Antwort: Nein, der Pullover ist nicht kostenlos. Er kostet jetzt 10 €.
30
In Amerika sind die Preise der Produkte ohne Steuern ausgeschrieben. Du siehst in New York eine Jeans, die laut Preisschild 70 Dollar kostet. Der Steuersatz beträgt 8,9%. Wie viel musst du an der Kasse zahlen?
$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vermehrten Grundwert berechnen
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 70 $ ; p = 8,9%
Gesucht: G $^+$
Steuern werden auf einen Preis draufgerechnet. Es handelt sich also bei dem gesuchten Preis um einen vermehrten Grundwert.
Berechne den Prozentwert mit der Prozentformel.
W = p $\cdot$ G
W = 8,9% $\cdot$ 70 $ = 0,089 $\cdot$ 70 $ = 6,23 $
G $^+$ = G + W
G $^+$ = 70 $ + 6,23 $ = 76,23 $
Setze die Zahlen ein.
Berechne den vermehrten Grundwert.
Antwort: An der Kasse musst du 76,23 $ bezahlen.
31
Ein Reihenhaus sollte für 244.750 € gebaut werden. Die Kosten stiegen während der Bauzeit jedoch auf 259.435 €. Wie viel Prozent betrug die Preissteigerung?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Prozentrechnung
Grundwert $G = 244.750\, €$
Prozentwert $W = 259.435\, €-244.750\, €=14.685\, €$
Gesucht wird der Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{14685\, €}{244750\, €}\cdot100\%=6\%$
$\Rightarrow$ Die Preissteigerung betrug also $6\%$ .
32
Ein Handwerker kauft Werkzeuge für 2300 € ein. Er erhält einen Rabatt von 6% und, da er bar zahlt, noch 2% Skonto. Das Skonto geht vom rabattierten Preis ab.
Welchen Preis muss er zahlen?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc}\mathrm{Bruttopreis}:&2300{,}00\;€\\6\%\;\mathrm{Rabatt}:&\underline{-138{,}00\;€}\\\!&2162{,}00\;€\\2\%\;\mathrm{Skonto}:&\underline{-43{,}24\;€}\\\mathrm{Rechnungsbetrag}:&2118{,}76\;€\end{array}$
Rabatt:
$W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{2300\, €\cdot6\%}{100\%}=138\, €$
Skonto:
$W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{2162\, €\cdot2\%}{100\%}=43{,}24\, €$
Der Handwerker muss 2118,76 € zahlen.
33
Der Listenpreis eines Autos beträgt 23.925 €. Der Kunde bekommt den Wagen für 21.054 €. Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben:
Listenpreis: $23925 \,€$
Kaufpreis: $21054 \,€$
Gesucht: Prozentsatz $p$
$\mathrm{Vergünstigung}\;\mathrm p=\frac{\mathrm{tatsächlicher}\;\mathrm{Wert}\;\mathrm W}{\mathrm{Ausgangswert}\;\mathrm G}\cdot100\%$
Der Listenpreis ist hier der Grundwert $G$ .
Also gilt: $G=23.925\,€$ .
Die Differenz von Listen- und Kaufpreis ist hier der Prozentwert $W$ .
Also gilt: $W = 23925 \,€ - 21054 \,€ = 2871 \,€$ .
Mit obiger Formel für den Prozentsatz gilt: $p=\frac{2871\,€}{23925\,€}\cdot100\%=12\%$
Antwort: Der Kaufpreis liegt also $12\%$ unter dem Listenpreis.
34
Der Preis von Äpfeln wird um 20% des bisherigen Preises gesenkt. Da die Äpfel zu dem reduzierten Preis reißenden Absatz finden, beschließt der Händler, diese Äpfel wieder zu dem höheren alten Preis zu verkaufen. Um wie viel Prozent werden dadurch die Äpfel aus Sicht des Konsumenten teurer?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert: $1$
Prozentsatz: $100\%-20\%=80\%$
Prozentwert: $0{,}8$
Bestimme nun den Prozentsatz, um vom Prozentwert 0,8 wieder auf den Grundwert von 1 zu kommen.
$80\%\cdot x=100\%$
Teile durch 0,8
$x=1{,}25$
$\Rightarrow$ Aus Konsumentensicht werden die Äpfel so um $25\%$ teurer.
35
Der Preis eines Autos erhöht sich durch Teilzahlung von 38.950 € auf 42.650 €. Wie viel Prozent beträgt der Aufschlag?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert $G = 38950 \,€$
Grundwert $G = 38950 \,€$
Prozentwert $W = 42650 \,€ - 38950\, € = 3700 \,€$
Gesucht ist der Prozentsatz: $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{3700\,€}{38950\,€}\cdot100\%\approx9{,}5\%$
Antwort: Der Aufschlag bei Teilzahlung beträgt etwa $9{,}5\%$ .

Wasser und Eis

Wasser vergrößert sein Volumen beim Gefrieren um 10%.

Berechne das Volumen des Eises, das dann aus 1 Liter Wasser entstanden ist.

Wie viele Liter Wasser entstehen, wenn $5\frac{1}{2}$ Liter Eis schmelzen?
l

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Die $5\frac{1}{2}$ l Eis entsprechen wie das Eis in Teil a einem Prozentsatz von $p=110\%$ .
Gegeben:
Prozentwert $W=5\frac{1}{2}$ l $=5{,}5$ l
Prozentsatz $p=110\%=1{,}1$
Gesucht:
Grundwert G
Berechne mithilfe der Prozentformel:
$\displaystyle G$ $=$ $\displaystyle \frac{W}{p}$
$\displaystyle G$ $=$ $\displaystyle \frac{5{,}5\text{l}}{1{,}1}$
$\displaystyle G$ $=$ $\displaystyle 5\text{l}$
Aus den $5\frac{1}{2} \text l$ Eis entstehen also $5 \text l$ flüssiges Wasser.
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Im Wasserglas rechts sind 6 Eiswürfel. Jeder Eiswürfel hat ein Volumen von 60 ml.

In das Glas passen 330 ml Flüssigkeit hinein.

Wieviel Wasser entsteht beim Schmelzen der 6 Eiswürfel? Runde das Ergebnis auf ganze ml.

Läuft das Glas beim Schmelzen über?

In einer Autowerkstatt werden nach einer Preiserhöhung um 5 % vier Winterreifen zusammen für 327,60 € angeboten. Wie teuer waren die Reifen vorher?

€

38
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Herr X. gewinnt im Lotto. Er spendet 8% seines Lottogewinns für den Bau eines Spielplatzes in der Nachbarschaft. Er überweist dafür 6464€.
Bestimme, wie viel Geld ihm vom Lottogewinn noch übrig bleibt.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
$8\%\;\hat=\; 6464€$
$1\%\;\hat=\;808€$
Wenn Herr X. 8% seines Gewinns spendet, bleiben ihm noch:
$100\%-8\%=92\%$
Multipliziere den errechneten Prozentwert mit dem Wert eines Prozents, um den verbleibenden Gewinn zu bestimmen.
$92\ \%\ \hat{=}\ 92\cdot808€=74336€$
Antwort: Es bleiben Herrn X. noch $74336\ €$ des Lottogewinns übrig.

Eine Familie möchte sich ein Haus für 250 000 € bauen. Während der Bauzeit fallen aber immer wieder weitere Kosten an und der ursprünglich geplante Preis steigt um insgesamt 7%. Wie viel muss die Familie jetzt für ihr fertiges Haus zahlen?

€

40
Herr G. Wicht ist $120\ kg$ schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmagerungskur.
1. Am 1. November hat er $15\ \%$ seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?
  kg
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  Gegeben: altes Gewicht: $120\ kg$ ,
  Info: Er wiegt nun $15\ \%$ weniger.
  Gesucht: neues Gewicht
  Dreisatz anwenden.
  Sei $x$ der Gewichtsverlust.
  $x=15\%$
  $120\, \mathrm{kg}=100\%$
  $x=\left(120\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=18\, \mathrm{kg}$
  Nun subtrahiere den Gewichtsverlust $x$ von dem ursprünglichen Gewicht.
  $120\, \mathrm{kg}-18\, \mathrm{kg}=102\, \mathrm{kg}$
  $\;\Rightarrow\;$ Am 1. November wiegt er noch $102\ kg$ .
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2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut $15\ \%$ an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?
  kg
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: altes Gewicht: $102\ kg$ ,
  Info: Er wiegt bis zum 1. Dezember $15\ \%$ weniger.
  Gesucht: neues Gewicht
  Dreisatz anwenden.
  Sei $x$ der Gewichtsverlust.
  $x=15\%$
  $102\, \mathrm{kg}=100\%$
  $x=\left(102\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=15{,}3\, \mathrm{kg}$
  Nun subtrahiere den Gewichtsverlust $x$ vom vorherigen Gewicht.
  $102\, \mathrm{kg}-15{,}3\, \mathrm{kg}=86{,}7\, \mathrm{kg}$
  $\Rightarrow\;$ Am 1.Dezember wiegt er noch $86{,}7\ kg$ .
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3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder $120\ kg$ an!
  Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: altes Gewicht: $86{,}7\ kg$ , neues Gewicht: $120\ kg$
  Gesucht: prozentuale Gewichtssteigerung $g$
  Dreisatz anwenden.
  $100\%=86{,}7\, \mathrm{kg}$
  $x=120\, \mathrm{kg}$
  $x$ Steigerungsfaktor.
  Bestimme die absolute Gewichtssteigerung, indem du die Differenz von $120$ und $86{,}7$ bildest.
  $120\, \text{kg}-86{,}7\, \text{kg}=33{,}3\, \text{kg}$
  Bestimme die prozentuale Gewichtssteigerung als Anteil der absoluten Gewichtssteigerung am Gesamtgewicht von $86{,}7\, \text{kg}$ .
  $g=\frac{33{,}3\, \text{kg}}{86{,}7\, \text{kg}}=\frac{111}{289}\approx38{,}4\%$
  $\Rightarrow$ In den vergangenen beiden Monaten hat er wieder um $38{,}4\ \%$ zugenommen.
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Löse die Aufgabe zu vermehrtem und vermindertem Grundwert.

Zu einem Fest kommen $24\ \%$ mehr Personen als die Veranstalter erwartet haben. Welcher Wert hat das Verhältnis der tatsächlichen Anzahl $n_2$ zur geschätzten Anzahl $n_1$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentzahl
$n_1=100\%$
$n_2=n_1+24\%=124\%$
Zu der Prozentzahl $124\ \%$ gehört der Faktor $1{,}24$ .
Das heißt, wenn sich der Anfangswert ( $100\ \%$ ) um $24\ \%$ vergrößern soll, muss man mit $1{,}24$ multiplizieren. Dann hat man den Wert, der $124\ \%$ des Anfangswertes entspricht.
$n_2=n_1\cdot 1{,}24$ $\left|:\;n_1\right.$
$\frac{n_2}{n_1}=1{,}24$
⇒ Man weiß also, dass das Verhältnis $\frac{n_2}{n_1}=1{,}24$ gilt.
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Die Körpergröße eines Kindes hat im Laufe eines Jahres von $x_{alt}$ auf $x_{neu}$ zugenommen. Wobei $\frac{x_{neu}}{x_{alt}}=1{,}084$ . Um wieviel Prozent ist es gewachsen?

42
Eine Sonnenblume ist $75\ cm$ groß. Bis sie ausgewachsen ist, wächst sie noch um $55\%$ .
1. Um wie viel Zentimeter wächst sie noch?
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert und vermehrten Grundwert berechnen
  Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert, Prozentsatz zu.
  Gegeben: $G=75\ cm;p=55\%$
  Gesucht: W, G $^+$
  Wende die Prozentformel an.
  $W=p\cdot G$
  $W=55\%\cdot75\ cm=0{,}55\cdot75\ cm=41{,}25\ cm$
  Setze die Zahlen ein.
  Erste Antwort: Sie wächst $41{,}25\ cm.$
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2. Wie groß ist sie, wenn sie ausgewachsen ist?
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert und vermehrten Grundwert berechnen
  Addiere Grundwert und Prozentwert um den vermehrten Grundwert zu berechnen.
  G $^+$ $=75\ cm+41{,}25\ cm=116{,}25\ cm$
  Der vermehrte Grundwert entspricht der jetzigen Größe der Sonnenblume.
  Zweite Antwort: Die Sonnenblume ist jetzt $116{,}25\ cm$ groß.
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Im Tank eines Autos befinden sich 30 Liter Benzin. Auf einem Ausflug an den See werden $6\ \%$ des Benzins verbraucht.

Wie viel Liter Benzin wurden verbraucht?

Wie viel Liter Benzin sind jetzt noch im Tank?
l

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert und verminderten Grundwert berechnen
Subtrahiere den Prozentwert vom Grundwert, um den verminderten Grundwert zu berechnen.
G $^-$ = $30$ $-1{,}8$ $=28{,}2\ l$
Der verminderte Grundwert entspricht der jetzigen Tankfüllung.
Zweite Antwort: Im Tank des Autos sind jetzt noch $28{,}2\ l$ .
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44
Wie fühlst du dich in einer Klasse, in der es fast nur Mädchen oder fast nur Jungen gibt? Die Geschlechterverteilung unterscheidet sich nicht nur zwischen einzelnen Klassen, sondern sogar zwischen ganzen Ländern.
1. Formuliere folgenden Satz um, indem du "fast nur" durch eine Prozentangabe ersetzt und den Sinn erhältst: "In unserer Klasse gibt es fast nur Mädchen"!
  Gib mit Hilfe deiner Antwort an, wie viel Prozent der Klasse Jungen sind.
  
  Interpretation von fast nur als Prozentsatz
  Fast nur müssen auf jeden Fall mehr als die Hälfte, also mehr als 50% entsprechen. Nach allgemeinem Verständnis ist wohl auch mehr als 75% sinnvoll. Eine möglichkeit wäre daher "In unserer Klasse sind 90% der Schüler Mädchen."
  Berechnung des verbleibenden Prozentsatzes
  Um nun den Prozentsatz der Jungen zu erhalten ziehst du von 100% deinen gewählten Prozentsatz ab. Hier also
  Also gibt es in der besagten Klasse 10% Jungen.
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2. Die CIA hat im Internet das Geschlechterverhältnis verschiedener Länder veröffentlicht. Allerdings sind die Angaben nicht in Prozent, sondern in einem Quotienten angegeben. In der Tabelle unten kannst du die Werte für Deutschland und Indien sehen. Wieviele Männer kommen auf 100 Frauen?
  Land
  Anzahl Männer pro Frau
  Deutschland
  0,97
  Indien
  1,08
  
  Proportionalität erkennen
  Du multiplizierst sowohl die Anzahl Frauen als auch Anzahl Männer mit 100 und erhältst immer noch das gleiche Verhältnis.
  In Deutschland gibt es 97 Männer und in Indien 108 Männer je 100 Frauen.
  Berechnung der Prozentsätze
  Deutschland
  Es gibt 97 Männer und 100 Frauen, also insgesamt 197 Personen. 97 Männer sind der Prozentwert und 197 der Grundwert.
  Das führt zu folgender Rechnung
  Indien
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45
Ein digitales Mikroskop hat einen Knopf: "Vergrößerung um $100\ \%$ erhöhen".
1. Das Mikroskop zeigt gerade Gegenstände in ihrer Originalgröße an und du drückst den oben beschrieben Knopf drei Mal. Welche Vergrößerung ist eingestellt?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Grundwert $G = 100\%$
  Originalgröße bedeutet keine Vergrößerung, sodass der ganze ( $100\ \%$ ) Gegenstand abgebildet wird.
  Prozentsatz $p=100\ \%$
  Zunächst gesucht: vermehrter Grundwert nach einem Knopfdruck $G_1^+$
  Nach dem ersten Knopfdruck sind die $100\ \%$ "um $100\ \%$ erhöht".
  $G_1^+=G\cdot (1+p)=100\%\cdot (1+1)=200\%$
  Als Zahl ist $100\%=1$ .
  $G_2^+=G_1^+\cdot (1+p)=200\%\cdot (1+1)=400\%$
  Die aktuelle Vergrößerung wird als neuer Grundwert verwendet.
  $G_3^+=G_2^+\cdot(1+p)=400\%\cdot(1+1)=800\%$
  Ergebnis nach dreimal Drücken.
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2. Du bist bereits auf $300\ \%$ Vergrößerung und drückst erneut auf den Knopf. Welche Vergrößerung ist es diesmal?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  $G^+=300\%\cdot(1+p)=600\%$
  Gehe nach demselben Prinzip vor wie bei Teilaufgabe 1.
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3. Wie kann man die Beschriftung des Knopfes verstehen? Gib zwei Möglichkeiten an!
  
  "Wieder und wieder um $100\ \%$ erhöhen" kann missverständlich formuliert sein, weil es zwei Möglichkeiten zulässt:
  Es handelt sich immer um eine Erhöhung um $100\ \%$ des Grundwertes.
  Es handelt sich jedes Mal um eine Erhöhung um $100\ \%$ des aktuellen Wertes.
  Bei der Erstellung der Lösung ist die 2. Möglichkeit angenommen worden.
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Land	Anzahl Männer pro Frau
Deutschland	0,97
Indien	1,08

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{x_{neu}}{x_{alt}}$	$=$	$\displaystyle 1{,}084$	$\displaystyle \cdot x_{alt}$
$\displaystyle x_{neu}$	$=$	$\displaystyle 1{,}084\cdot x_{alt}$

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1\cdot p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
	$=$	$\displaystyle 30\ cm\cdot\left(1+100\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 30cm\cdot\left(1+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 30\ cm\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 60\ cm$

$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{W}{G}$
	↓	Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von Grundwert und vermindertem Grundwert.
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle G-G^-$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und berechne.
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 60kg-58{,}8kg$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1{,}2kg$
	↓	Berechne jetzt den Prozentsatz.
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{1{,}2kg}{60kg}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}02$
	$=$	$\displaystyle 2\%$

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle G\cdot p$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1l\cdot110\%$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1l\cdot1{,}1$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1{,}1l$

$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle \frac{W}{p}$
$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle \frac{5{,}5\text{l}}{1{,}1}$
$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 5\text{l}$

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot(1+p)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
$\displaystyle 327{,}60€$	$=$	$\displaystyle G\cdot(1+5\%)$
	↓	Wandle die 5% in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 327{,}60€$	$=$	$\displaystyle G\cdot(1+0{,}05)$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 327{,}60 €$	$=$	$\displaystyle G \cdot 1{,}05$	$\displaystyle :1{,}05$
$\displaystyle 312 €$	$=$	$\displaystyle G$

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p\cdot G$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 7\%\cdot250\ 000\ €$
	$=$	$\displaystyle 17\ 500\ €$
	↓	Berechne den vermehrten Grundwert.

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G+W$
	$=$	$\displaystyle 250\ 000\ €\ +\ 17\ 500\ €$
	$=$	$\displaystyle 267\ 500\ €$

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p\cdot G$
	↓	Setze die Zahlen ein.
	$=$	$\displaystyle 6\%\cdot30$
	$=$	$\displaystyle 0{,}06\cdot30$
	$=$	$\displaystyle 1{,}8\ l$

Aufgaben zu vermehrtem und vermindertem Grundwert

erster Satz

zweiter Satz

Vermehrten Grundwert berechnen

Prozentrechnen mit verminderten Grundwerten

Verminderten Grundwert berechnen

﻿

Herr Maiers Ansatz:

Richtiger Ansatz:

Berechnung mit der Formel für den Prozentsatz

Berechnung mit der Formel für den verminderten Grundwert

19% Rabatt:

Mehrwertsteuert geschenkt:

Zweimalige Preissenkung

Einmalige Preissenkung

Alternative Lösung zweischrittige Lösung mittels Prozentwertberechnung

Zweimalige Preissenkung

Einmalige Preissenkung

Prozentrechnung

Wasser und Eis

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Interpretation von fast nur als Prozentsatz

Berechnung des verbleibenden Prozentsatzes

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Proportionalität erkennen

Berechnung der Prozentsätze

Deutschland

Indien

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