Linearfaktordarstellung (1|3)

Bei linearen und quadratischen Funktionen ist die Berechnung mithilfe einer Termumformung oder der quadratischen Lösungsformel (Mitternachtsformel) relativ gut machbar.

Das wirft die Frage auf, ob es für Polynomfunktionen höheren Grades (zum Beispiel %%f(x)=x^3-x+1%%) im Allgemeinen auch eine solche Formel zur Bestimmung von (reellen) Nullstellen gibt.

Gibt es eine allgemeine "Nullstellenformel" für jede Polynomfunktion?

Diese Formel existiert leider nicht. Es gibt aber ein gutes Hilfsmittel, um die Nullstellen von Polynomfunktionen zu finden. Dieses erarbeiten wir uns mithilfe eines Beispiels auf den nächsten Seiten.

Linearfaktor

Die Funktion %%f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x^2+2x+1)%% ist eine Funktion dritten Grades. Sie ist jedoch etwas anders dargestellt, als unsere gewöhnliche Form Polynomfunktionen aufzuschreiben. (Die allgemeine Darstellung der Funktion wäre %%f(x)=2x^3-2x^2-10x-6%%.)

Die etwas merkwürdigere erste Darstellung hat aber den Vorteil, dass man am sogenannten Linearfaktor %%(x-3)%% ganz einfach die Nullstelle %%x=3%% ablesen kann. Damit wissen wir auch, dass %%x=3%% eine Nullstelle von %%f%% ist.

Warum funktioniert das?

Wenn eine Funktion als Produkt, das einen Linearfaktor enthält, dargestellt werden kann, dann wird die Funktion automatisch %%0%%, wenn der Linearfaktor %%0%% wird.

Die Nullstelle des Linearfaktors ist also automatisch eine Nullstelle der gesamten Funktion.

Graph Polynomfunktion Grad 3

Ein Linearfaktor hat im Allgemeinen die Form %%(x-N)%% und wird genau dann %%0%%, wenn man für %%x%% die Zahl %%N%% einsetzt (%%N-N=0%%).

Dabei kann %%N%% auch negativ sein. So hat zum Beispiel der Linearfaktor %%(x+5)%% die Nullstelle %%-5%%.

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