4Linearfaktordarstellung (2|3)

Linearfaktordarstellung

Manchmal kann man eine Polynomfunktion komplett in Linearfaktoren aufspalten.

Aus unserer vorherigen Funktion $f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x^2+2x+1)$ wird dann zum Beispiel $f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)\cdot(x+1)$ . (Wir benutzen dabei die erste binomische Formel.)

Diese komplett zerlegte Form hat einen besonderen Namen…

Manche Polynomfunktionen kann man als Produkt von Linearfaktoren schreiben, also in der Form

$f(x)=a_n\cdot(x-N_1)\cdot$ $\dots$ $\cdot(x-N_n).$

Diese Form nennt man die Linearfaktordarstellung von $f$ .

Dabei können durchaus mehrere N gleich sein. Dies ist zum Beispiel bei unserer Funktion $f$ der Fall.

Störe dich nicht an einem möglichen $+$ im Linearfaktor $($ zum Beispiel bei $(x+1))$ . Dies kannst du ganz einfach in die Form $(x-(-1))$ bringen.

Der Faktor $a_n$ ist hier immer der Koeffizient der Potenz, die den Grad angibt (also die mit dem höchsten Exponenten). In unserem Beispiel ist die $2$ der Koeffizient von $2x^3$ .

Zur besseren Übersicht lassen sich oft gleiche Linearfaktoren mithilfe einer Potenz zusammenfassen. Bei uns: $f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2$ .

Graph einer Polynomfunktion mit eingetragenene Nullstellen

Ablesen von Nullstellen

An der Darstellung $f(x)=2\cdot(x-3)\cdot(x+1)^2$ lassen sich nun alle Nullstellen ablesen:

An dem Linearfaktor $(x-3)$ lesen wir die Nullstelle $x_1=3$ ab; an den beiden Linearfaktoren $(x+1)$ lesen wir die Nullstelle $x_2=-1$ ab.

Wie du siehst, hat die Linearfaktordarstellung einige Vorteile gegenüber der allgemeinen Darstellung $f(x)=2x^3-2x^2-10x-6$ .

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