Ziel dieses Kurses ist es, einen Überblick zur möglichen Vorgehensweise beim Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen zu geben.

Inhalte

• Erarbeitung der Linearfaktordarstellung

• Methoden der Nullstellenberechnung

  • Termumformungen

  • Ausklammern von Faktoren

  • Lösen mithilfe der Polynomdivision

  • Lösen durch Substitution

Vorwissen

• Funktionsbegriff

• Polynomfunktion

• Definition einer Nullstelle

• Berechnung von Nullstellen bei linearen und quadratischen Funktionen

Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist der $x$-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von $f$ mit der x-Achse.

Das sind also gerade die $x$ -Werte, an denen $f(x)=0$ ist.

Hier sind die Nullstelle(n) der linearen Funktion f mit $f(x)=x+4$ und der quadratischen Funktion g mit $g(x)=-(x-2{)}^2+4$ eingezeichnet.

Wie du Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen berechnest, wird dir im Artikel Nullstellen berechnen gezeigt. Ansonsten gehe einfach zur nächsten Kursseite.

Bei linearen und quadratischen Funktionen ist die Berechnung mithilfe einer Termumformung oder der quadratischen Lösungsformel (Mitternachtsformel) relativ gut machbar.

Das wirft die Frage auf, ob es für Polynomfunktionen höheren Grades (zum Beispiel $f(x)=x^3-x+1$) im Allgemeinen auch eine solche Formel zur Bestimmung von (reellen) Nullstellen gibt.

Gibt es eine allgemeine "Nullstellenformel" für jede Polynomfunktion?

Diese Formel existiert leider nicht. Es gibt aber ein gutes Hilfsmittel, um die Nullstellen von Polynomfunktionen zu finden. Dieses erarbeiten wir uns mithilfe eines Beispiels auf den nächsten Seiten.

Ein Linearfaktor hat im Allgemeinen die Form $(x-N)$ und wird genau dann $0$, wenn man für $x$ die Zahl $N$ einsetzt ($N-N=0$).

Dabei kann $N$ auch negativ sein. So hat zum Beispiel der Linearfaktor $(x+5)$ die Nullstelle $-5$.

Linearfaktordarstellung

Manchmal kann man eine Polynomfunktion komplett in Linearfaktoren aufspalten.

Aus unserer vorherigen Funktion $f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x^2+2x+1)$ wird dann zum Beispiel $f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x+1)\cdot (x+1)$. (Wir benutzen dabei die erste binomische Formel.)

Diese komplett zerlegte Form hat einen besonderen Namen…

$f(x)=a_n\cdot (x-N_1)\cdot$ $\dots$ $\cdot (x-N_n).$

Diese Form nennt man die Linearfaktordarstellung von $f$.

Dabei können durchaus mehrere N gleich sein. Dies ist zum Beispiel bei unserer Funktion $f$ der Fall.

Störe dich nicht an einem möglichen $+$ im Linearfaktor $($zum Beispiel bei $(x+1))$. Dies kannst du ganz einfach in die Form $(x-(-1))$ bringen.

Der Faktor $a_n$ ist hier immer der Koeffizient der Potenz, die den Grad angibt (also die mit dem höchsten Exponenten). In unserem Beispiel ist die $2$ der Koeffizient von $2x^3$.

Zur besseren Übersicht lassen sich oft gleiche Linearfaktoren mithilfe einer Potenz zusammenfassen. Bei uns: $f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x+1{)}^2$.

Unsere vorherige Beispielfunktion $f$ war eine Polynomfunktion vom Grad $3$ und konnte in die Linearfaktoren $(x-3)$ (einmal) und $(x+1)$ (zweimal) zerlegt werden. $f$ ließ sich insgesamt also in drei Linearfaktoren aufspalten.

Leider können nicht alle Polynomfunktionen komplett in Linearfaktoren zerlegt werden. So hat zum Beispiel die Funktion $g(x)=x^2+2$ keine reellen Nullstellen und kann nicht als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden. Bleibt beim Aufspalten einer Polynomfunktion in Linearfaktoren ein solches Restglied übrig, so ist eine komplette Zerlegung in Linearfaktoren nicht möglich.

wobei das Restglied wieder ein Polynom ist, welches keine reellen Nullstellen besitzt.

Diese Darstellung ist bei jeder Polynomfunktion möglich und ist zum Ablesen ihrer Nullstellen genauso praktisch.

Eine Folgerung der Linearfaktordarstellung

Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ kann maximal in $n$ Linearfaktoren zerlegt werden. Wäre sie ein Produkt von mehr als $n$ Linearfaktoren, so hätte die Funktion ausmultipliziert einen höheren Grad.

Damit gilt auch:

Die Linearfaktordarstellung bzw. die Darstellung mit Linearfaktoren und einem Restglied ermöglicht es uns, sehr einfach die Nullstellen einer Polynomfunktion abzulesen.

Es kann aber etwas schwieriger sein, den Funktionsterm in diese Darstellung umzuwandeln.

Auf den nächsten Kursseiten lernst du ein paar Methoden kennen, mit denen du entweder die Nullstellen direkt bestimmen oder den Funktionsterm in eine Darstellung mit Linearfaktoren umformen kannst.

Diese sind…

1. Termumformungen

2. Ausklammern von Faktoren

3. Lösen mithilfe der Polynomdivision

4. Lösen durch Substitution

Zuerst wiederholen wir aber ein paar nützliche Hilfestellungen. Gehe dazu auf die nächste Kursseite.

Auf unserem Weg zur Berechnung von Nullstellen gibt es ein paar Formeln und "Tricks", die sehr nützlich sein können. Manche davon wirst du schon kennen, manche können auch neu sein. Auf alle Fälle solltest du dir die folgenden Tricks merken.

Quadratische Lösungsformel (Mitternachtsformel)

Diese Formel liefert uns die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion (wenn es sie gibt!). Für eine quadratische Funktion $g$ mit $g(x)=a{x}^2+bx+c$ liefert die quadratische Lösungsformel die Nullstellen:

Das Zeichen "$\pm$" sagt uns, dass es zwei Fälle zu unterscheiden gibt. Die erste Nullstelle ist gegeben durch die obige Formel, wenn man statt "$\pm$" nur ein "$+$" nimmt. Ersetzt man dagegen "$\pm$" durch ein "$-$", so kann sich eine weitere Nullstelle ergeben.

Diese Formel sagt uns auch, wann die Funktion $g$ keine Nullstellen hat. Das ist der Fall, wenn unter der Wurzel in der Formel eine negative Zahl steht.

Mehr zu dieser Formel findest du im Artikel Mitternachtsformel. Für den Spezialfall, das $a=1$ ist, gibt es auch eine etwas einfachere Formel, die pq-Formel. Es genügt aber, die quadratische Lösungsformel zu kennen, da sie auch die Fälle, wenn $a$ ungleich $1$ ist, abdeckt.

Die binomischen Formeln

Es gibt drei binomische Formeln. Die ersten zwei Formeln sagen uns, wie die zweite Potenz eines Linearfaktors aussieht. Linearfaktoren sind wichtige Informationen bei der Nullstellensuche, nicht vergessen ;). Die dritte ist ein bisschen anders, aber genauso hilfreich.

Erste binomische Formel

Für eine beliebige positive Zahl $a$ und eine beliebige Zahl $x$ gilt:

Oft wollen wir diese Formel von "rechts nach links" benutzen, da wir oftmals Terme wie auf der rechten Seite gegeben haben. Die linke Seite ist ja ein Linearfaktor "hoch $2$". Damit ist die linke Seite hilfreicher, um die Nullstelle eines Polynoms zu finden.

Zweite binomische Formel

Für eine beliebige positive Zahl $a$ und eine beliebige Zahl $x$ gilt:

Aufgepasst! Auch hier verlangen wir, dass $a$ positiv ist. Nur diesmal subtrahieren wir diese Zahl von $x$. Auch diese Formel lesen wir gerne rückwärts.

Dritte binomische Formel

Für eine beliebige positive Zahl $a$ und eine beliebige Zahl $x$ gilt:

Diese Formel ist ziemlich mächtig. Wenn wir zum Beispiel den Term $x^2-25$ sehen, müssen wir nur erkennen, dass $25$ nichts anderes als $5^2$ ist. Die dritte binomische Formel sagt uns dann, dass genau $5$ und $-5$ die Nullstellen von $x^2-25$ sind.

Termumformungen sind generell gut, wenn wir die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion suchen, die die Summe einer Potenzfunktion und einer Zahl ist.

Beispiele für Vorschriften solcher Funktionen sind:

• $f(x)=x^2-9$

• $g(x)=x^3+1$

• $h(x)=x^4-16$

Berechnen wir doch mal die Nullstellen der ersten Funktion $f$. Richtig erkannt, $f$ ist ja eine quadratische Funktion. Sogar eine "recht einfache", denn im Allgemeinen taucht bei einer quadratischen Funktion auch ein $x$-Term auf, was bei unserem $f$ nicht der Fall ist.

Ihre Nullstellen mit der quadratischen Lösungsformel (oder der pq-Formel) zu suchen wäre also sowas wie mit Kanonen auf Enten zu schießen. Außerdem geht es wesentlich schneller.

Fangen wir doch mal einfach an, indem wir den Term $x^2-9$ gleich null setzen.

Wir haben also nur zwei Umformungen gebraucht, um die Nullstellen von $f$ zu finden. Außerdem können wir an diesem Beispiel genau sehen, wann so eine quadratische Funktion keine Nullstellen hat.

Wir hätten in der dritten Zeile nicht die (zweite) Wurzel ziehen können, wenn auf der rechten Seite eine negative Zahl gestanden hätte.

Generell muss man beim Ziehen gerader Wurzeln (also zweite, vierte, sechste…) vorsichtig sein. Überprüfe immer vor dem Wurzelziehen, ob unter der Wurzel eine positive oder eine negative Zahl stehen wird! Ungerade Wurzeln kann man immer ziehen. Sie haben alle genau eine reelle Lösung.

Schaue dir die folgenden Funktionsterme kurz an.

$f(x)=\frac{1}{4}{x}^3+2x^4-5x^5$

$g(x)=(x-1)((x+1{)}^2-1)+x-1$

Auf den ersten Blick scheinen sie sehr kompliziert zu sein. Lass dich nicht abschrecken, denn jetzt lernst du, wie du sie in eine schönere Form bringen kannst!

Werfen wir zuerst einen Blick auf $f$.

Indem wir ausklammern, lässt sich $f$ also als das Produkt von zwei einfacheren Funktionen schreiben. Von diesen können wir die Nullstellen gut berechnen (oder sogar ablesen).

Wir können somit alle Nullstellen von $f$ wissen. Denn damit ein Produkt null wird, muss mindestens einer der Faktoren auch gleich null sein.

Der Faktor $x^3$ hat eine Nullstelle bei $x=0$. Also hat auch $f$ bei $x=0$ eine Nullstelle. Der Faktor $(\frac{1}{4}+2x-5x^2)$ ist ein quadratischer Term. Seine Nullstellen können wir mit der quadratischen Lösungsformel berechnen. Sie sind $x_1=-\frac{1}{10}$ und $x_2=\frac{1}{2}.$

Damit lauten alle Nullstellen von $f$: $x_1=-\frac{1}{10},x_2=\frac{1}{2}$ und $x_3=0$.

Bei $x_3$ handelt es sich um eine sogenannte dreifache Nullstelle. In einem weiteren Kurs erfahren wir, was das genau bedeutet.

Taucht im Funktionsterm kein konstantes Glied auf, so können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern.

Fragst du dich, ob du sowas auch für die Funktion $g$ machen kannst? Dann gehe auf die nächste Kursseite und finde es heraus!

Hier nochmal die Vorschrift von $g$

Ganz am Ende dieses Ausdrucks steht die Konstante $-1$. Wir können also keine Potenz von $x$ ausklammern. Fällt uns was besseres ein?

Selbstverständlich!

Wie lesen wir die Vorschrift von $g$ geschickter?

Es gibt einen Trick, den man ganz leicht anwenden kann, um kompliziertere Funktionsterme (wie den von $g$) zu verstehen. Wir sind uns sicher einig, dass der Teil $((x+1{)}^2-1)$ besonders schlimm aussieht. Denken wir ihn uns also für eine Minute weg.

$g$ hat dann die Vorschrift $g(x)=(x-1)\cdot$schlimmer Teil $+$ $x-1$

Statt "x minus Eins mal x plus Eins zum Quadrat minus Eins plus x minus Eins", haben wir jetzt: "x minus Eins mal schlimmer Teil plus x minus Eins". Das liest sich doch wesentlich leichter, nicht wahr?

Diese Art $g$ zu schreiben ist wesentlich angenehmer, als der Term mit dem wir angefangen hatten. Jetzt müssen wir wieder den "schlimmen Teil" in diese neue Form einsetzen und schauen, was wir dadurch gewonnen haben.

Ist diese letzte Form etwa nicht wunderschön? Die Funktion $g$ ist also doch gar nicht so schlimm, wie wir uns gedacht hatten. Schaue dir unsere Überlegungen und unser Vorgehen für $g$ noch einmal an.

Was du auf jeden Fall von dieser Kursseite mitnehmen solltest: Komplizierte Terme denken wir uns erstmal weg. Sie können uns nicht abschrecken.

Sind für eine Polynomfunktion vom Grad $n>2$ bereits Nullstellen bekannt (z.B. durch Raten), kannst du die Funktion durch eine Polynomdivision vereinfachen, sodass weitere Nullstellen leichter (z.B. mit der Mitternachtsformel) berechnet werden können.

Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:

• 1. Schritt: Errate eine Nullstelle $x_1$ durch systematisches Probieren.

• 2. Schritt: Teile die Ausgangsfunktion durch den zur Nullstelle $x_1$ gehörigen Linearfaktor $(x-x_1)$.

• 3. Schritt: Überprüfe, ob du die Nullstellen des erhaltenen Polynoms mit einer dir bekannten Formel oder Methode bestimmen kannst. Ist dies nicht der Fall, wiederhole Schritt $1$ bis $3$ bei diesem Polynom.

• 4. Schritt: Ermittle die Nullstellen des erhaltenen Polynoms

Du kannst dir das alles noch nicht so richtig vorstellen?

Dann gehe auf die nächste Kursseite, dort findest du ein schrittweise erklärtes Beispiel!

Beispiel

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=-1$ eine Nullstelle.

Da $f(-1)=0$, wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+1)$ besitzt.

Teile nun $f(x)$ durch $(x+1)$.

$(x^3-6x^2+5x+12):(x+1)=x^2-7x+12$

3. Schritt:

Da das Polynom $x^2-7x+12$ die Form einer quadratischen Funktion hat, kannst du die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen.

4. Schritt:

Eine weitere Methode, Nullstellen von Polynomfunktionen vom Grad $n>2$ zu bestimmen, ist die sogenannte Substitutionsmethode.

Bei einer Substitution ersetzt man einen Term (bzw. Teile eines Terms) durch einen anderen, mit dem Ziel diesen in eine einfachere lösbare Form zu bringen.

Oft wird diese einfachere Form ein quadratischer Term sein, da wir für diesen mithilfe der quadratischen Lösungsformel die Nullstellen einfach berechnen können.

Betrachte zum Beispiel die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-7x^2+12$. Wenn wir den Funktionsterm gleich null setzen, erhalten wir folgende Gleichung:

$x^4-7x^2+12=0$

1. Geeignete Substitution finden und durchführen

Der Funktionsterm von $f$ besteht aus den Polynomgliedern $x^4,-7x^2$ und dem konstanten Glied $12$. Beim ersten Glied fällt dir vielleicht ein, dass $x^4$ gerade $(x^2{)}^2$ ist. Das zweite Glied ist $-7x^2$.

Damit haben wir jetzt das Polynomglied vierten Grades $(x^4)$ zu einem quadratischen Glied $(u^2)$, und das quadratische Glied $(-7x^2)$ zu einem linearen Glied $(-7u)$ umgewandelt. Die Konstante $12$ bleibt dabei gleich - in ihr kommt ja kein $x$ vor.

Wir erhalten jetzt die quadratische Gleichung:

$u^2-7u+12=0$

Durch das Ersetzen von $x^2$ durch die Variable $u$ ist es uns also gelungen, die erste Nullstellengleichung vierten Grades in eine quadratische Form zu bringen, die deutlich einfacher zu lösen ist.

2. Lösen der neuen Nullstellengleichung

Die Lösungen der neuen Gleichung $u^2-7u+12=0$ kannst du zum Beispiel mit der quadratischen Lösungsformel finden.

Die Lösungen lauten (Bitte selber nachrechnen!):

$u_1=4$ und $u_2=3$.

Wir dürfen nicht vergessen, dass wir substituiert hatten. Die Variable $u$ steht für $x^2$. Noch haben wir also die Nullstellen von $f$ nicht.

3. Rücksubstituieren

Setzt man $u_1$ und $u_2$ wieder in die Substitutionsgleichung $x^2=u$ ein, so erhält man die zwei Gleichungen:

$\begin{array}{rcc}{u}_1=x^2& \text{und}& u_2=x^2\end{array}$

Damit $x$ eine Nullstelle von $f$ ist, muss es eine dieser Gleichungen erfüllen.

Mit den konkreten Zahlen…

$\begin{array}{rcccl}4=x^2& \text{und}& 3=x^2& |& \text{jeweils die Wurzel ziehen}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{4}=\pm 2& \text{und}& x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{3}\end{array}$

$\Rightarrow$ Die Nullstellen von $f$ lauten also $+2$, $-2$, $+\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$.

Diesen Vorgang nennt man Rücksubstitution, da man die Substitution wieder "rückgängig macht".

Leider kann man die Substitutionsmethode nicht bei jeder Polynomfunktion anwenden!

Betrachte dazu die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2x^2+7x+8$.

Es scheint nur bei Polynomfunktionen zu funktionieren, die eine ähnliche Form zu der in unserem ersten Beispiel haben. Was diese Form ausmacht, erkennst du an den unteren drei Beispielen:

$a{x}^6+b{x}^3+c=0$

$a\cdot (x^3{)}^2+b\cdot (x^3)+c=0$ $\to x^3=u$

$\to$ $a{u}^2+bu+c=0$

Man erkennt, dass Funktionsterme mit drei Polynomgliedern für die Substitution geeignet sind, wenn der höchste Exponent das Doppelte des anderen Exponenten ist und der dritte Term eine konstante Zahl ist.

Was du substituierst, ist deiner Kreativität überlassen. Das Ziel dabei ist, einen möglichst einfachen Term zu erhalten. Hier noch ein paar Beispiele für Substitutionen von verschiedenen Funktionstermen. Überlege zuerst, was du substituieren könntest, bevor du die Felder aufklappst.

Hier findest du als Zusammenfassung noch ein Schema, das du zur Berechnung von Nullstellen von Polynomfunktionen zu Hilfe ziehen kannst.

Klicke auf die Graphik, um sie in Vollbildversion zu sehen.

Berechne die Nullstelle(n) der folgenden Funktionen.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Falls du weitere Aufgaben bearbeiten möchtest, findest du sie im Aufgabenordner Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen.

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