5Linearfaktordarstellung (3|3)

Unsere vorherige Beispielfunktion $f$ war eine Polynomfunktion vom Grad $3$ und konnte in die Linearfaktoren $(x-3)$ (einmal) und $(x+1)$ (zweimal) zerlegt werden. $f$ ließ sich insgesamt also in drei Linearfaktoren aufspalten.

Leider können nicht alle Polynomfunktionen komplett in Linearfaktoren zerlegt werden. So hat zum Beispiel die Funktion $g(x)=x^2 +2$ keine reellen Nullstellen und kann nicht als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden. Bleibt beim Aufspalten einer Polynomfunktion in Linearfaktoren ein solches Restglied übrig, so ist eine komplette Zerlegung in Linearfaktoren nicht möglich.

Für Polynomfunktionen, bei denen eine solche Darstellung nicht möglich ist, gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung ähnlich ist:

\displaystyle f(x)=a_n\cdot(x-N_1)\cdot\text{…}\cdot(x-N_k)\cdot(\text{Restglied}),

wobei das Restglied wieder ein Polynom ist, welches keine reellen Nullstellen besitzt.

Diese Darstellung ist bei jeder Polynomfunktion möglich und ist zum Ablesen ihrer Nullstellen genauso praktisch.

Eine Folgerung der Linearfaktordarstellung

Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ kann maximal in $n$ Linearfaktoren zerlegt werden. Wäre sie ein Produkt von mehr als $n$ Linearfaktoren, so hätte die Funktion ausmultipliziert einen höheren Grad.

Damit gilt auch:

Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen.

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