4. Lösen durch Substitution (2|2)

Leider kann man die Substitutionsmethode nicht bei jeder Polynomfunktion anwenden!

Betrachte dazu die Funktion %%f%% mit %%f(x)=x^3+2x^2+7x+8%%.

Wenn man wieder versucht %%x^2%% durch %%u%% zu ersetzen, erhält man leider keine neue Gleichung, die nur aus der neuen Variable %%u%% besteht und quadratisch ist. Man findet für %%x^3%% und %%x%% keine schöne Darstellung wie im ersten Beispiel.

Ebenso bringt uns das Ersetzen von %%x^3%% durch ein %%u%% ebenfalls keine schöne Darstellung für %%x^2%% und %%x%%.

Die Substitution %%x^2 = u%% bewirkt: %%\color{green}{\begin{array}{rcl} 2x^2 & \rightarrow & 2u \\ x^3 & \rightarrow & \pm u\sqrt{u} \\ 7x & \rightarrow & \pm 7\sqrt{u} \\\ 8 & \rightarrow & 8 & \text{(bleibt unverändert!)}\\ \end{array}}%%

Es scheint nur bei Polynomfunktionen zu funktionieren, die eine ähnliche Form zu der in unserem ersten Beispiel haben. Was diese Form ausmacht, erkennst du an den unteren drei Beispielen:

%%ax^\color{red}{4}+bx^\color{red}{2}+c=0%%

%%a\cdot(x^2)^\color{red}{2} + b\cdot(x^2) + c = 0%% %%\rightarrow x^2=u%%

%%\rightarrow%% %%au^2+bu+c=0%%


%%ax^\color{red}{8}+bx^\color{red}{4}+c=0%%

%%a\cdot(x^4)^\color{red}{2} + b\cdot(x^4) + c = 0%% %%\rightarrow x^4=u%%

%%\rightarrow%% %%au^2+bu+c=0%%


%%ax^\color{red}{6}+bx^\color{red}{3}+c=0%%

%%a\cdot(x^3)^\color{red}{2} + b\cdot(x^3) + c = 0%% %%\rightarrow x^3=u%%

%%\rightarrow%% %%au^2+bu+c=0%%

Man erkennt, dass Funktionsterme mit drei Polynomgliedern für die Substitution geeignet sind, wenn der höchste Exponent das Doppelte des anderen Exponenten ist und der dritte Term eine konstante Zahl ist.

Was du substituierst ist deiner Kreativität überlassen. Das Ziel dabei ist einen möglichst einfachen Term zu erhalten.
Hier noch ein paar Beispiele für Substitutionen von verschiedenen Funktionstermen. Überlege zuerst, was du substituieren könntest, bevor du die Felder aufklappst.

%%2x^3+x^6-8%%

Ansatz: %%u=x^3%%

%%\rightarrow%% %%2u+u^2-8%%

%%(x-1)^2+(x-1)-6%%

Ansatz: %%u=x-1%%

%%\rightarrow%% %%u^2+u-6%%

%%(2x-1)^4-2(2x-1)^2-3%%

Ansatz: %%u=(2x-1)^2%%

%%\rightarrow%% %%u^2-2u-3%%

%%(x^2-1)^2-4%%

Ansatz: %%u=x^2-1%%

%%\rightarrow%% %%u^2-4%%

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