144. Lösen durch Substitution (2|2)

Leider kann man die Substitutionsmethode nicht bei jeder Polynomfunktion anwenden!

Betrachte dazu die Funktion ff mit f(x)=x3+2x2+7x+8f(x)=x^3+2x^2+7x+8.

Wenn man wieder versucht x2x^2 durch uu zu ersetzen, erhält man leider keine neue Gleichung, die nur aus der neuen Variable uu besteht und quadratisch ist. Man findet für x3x^3 und xx keine schöne Darstellung wie im ersten Beispiel.

Ebenso bringt uns das Ersetzen von x3x^3 durch ein uu ebenfalls keine schöne Darstellung für x2x^2 und xx.

Die Substitution x2=ux^2 = u bewirkt:2x22ux3±uu7x±7u88(bleibt unvera¨ndert!)\def\arraystretch{1.25} \color{green}{\begin{array}{rcl}2x^2 & \rightarrow & 2u \\x^3 & \rightarrow & \pm u\sqrt{u} \\7x & \rightarrow & \pm 7\sqrt{u} \\8 & \rightarrow & 8 & \text{(bleibt unverändert!)} \end{array}}

Es scheint nur bei Polynomfunktionen zu funktionieren, die eine ähnliche Form zu der in unserem ersten Beispiel haben. Was diese Form ausmacht, erkennst du an den unteren drei Beispielen:

ax^\color{red}{4}+bx^\color{red}{2}+c=0

a\cdot(x^2)^\color{red}{2} + b\cdot(x^2) + c = 0 x2=u\rightarrow x^2=u

\rightarrow au2+bu+c=0au^2+bu+c=0

ax^\color{red}{8}+bx^\color{red}{4}+c=0

a\cdot(x^4)^\color{red}{2} + b\cdot(x^4) + c = 0 x4=u\rightarrow x^4=u

\rightarrow au2+bu+c=0au^2+bu+c=0

ax^\color{red}{6}+bx^\color{red}{3}+c=0

a\cdot(x^3)^\color{red}{2} + b\cdot(x^3) + c = 0 x3=u\rightarrow x^3=u

\rightarrow au2+bu+c=0au^2+bu+c=0

Man erkennt, dass Funktionsterme mit drei Polynomgliedern für die Substitution geeignet sind, wenn der höchste Exponent das Doppelte des anderen Exponenten ist und der dritte Term eine konstante Zahl ist.

Was du substituierst ist deiner Kreativität überlassen. Das Ziel dabei ist einen möglichst einfachen Term zu erhalten. Hier noch ein paar Beispiele für Substitutionen von verschiedenen Funktionstermen. Überlege zuerst, was du substituieren könntest, bevor du die Felder aufklappst.


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