2. Ausklammern von Faktoren (2|2)

Hier nochmal die Vorschrift von %%g%% $$g(x) = (x-1)((x+1)^2-1)+ x-1$$ Ganz am Ende dieses Ausdrucks steht die Konstante %%-1%%. Wir können also keine Potenz von %%x%% ausklammern. Fällt uns was besseres ein?

Selbstverständlich!

Wie lesen wir die Vorschrift von %%g%% geschickter?

Es gibt einen Trick, den man ganz leicht anwenden kann, um kompliziertere Funktionsterme (wie den von %%g%%) zu verstehen.
Wir sind uns sicher einig, dass der Teil %%((x+1)^2-1)%% besonders schlimm aussieht. Denken wir ihn uns also für eine Minute weg.

%%g%% hat dann die Vorschrift %%g(x) = (x-1)\cdot\ %%schlimmer Teil %%+%% %%x-1%%

Statt "x minus Eins mal x plus Eins zum Quadrat minus Eins plus x minus Eins", haben wir jetzt:
"x minus Eins mal schlimmer Teil plus x minus Eins".
Das liest sich doch wesentlich leichter, nicht wahr?

Was bringt es uns denn, %%g%% so komisch zu schreiben? Klicke hier und finde es heraus!

Diese Schreibweise lässt uns erkennen, dass der Term %%(x-1)%% zwei Mal auftaucht! Ganz am Anfang von der Vorschrift (multipliziert mit dem "schlimmen Teil") und nach dem "schlimmen Teil" noch mal, multipliziert mit einer Eins.

%%g(x) = (x-1)\cdot\ %%schlimmer Teil %%+\ (x-1)\cdot 1%%

Da also %%(x-1)%% in jedem Summanden vorkommt, können wir %%(x-1)%% ausklammern. Übrig bleibt:

%%g(x) = (x-1)\cdot\ (%% schlimmer Teil %%+1\ )%%

Diese Art %%g%% zu schreiben ist wesentlich angenehmer, als der Term mit dem wir angefangen hatten.
Jetzt müssen wir wieder den "schlimmen Teil" in diese neue Form einsetzen und schauen, was wir dadurch gewonnen haben.

%%g(x) = (x-1)\ \cdot\ (%% schlimmer Teil %%+1\ )%%

%%g(x) = (x-1)\ \cdot\ (\ (\ (x+1)^2 -1)+1\ )%%

%%g(x) = (x-1)\ \cdot\ (\ (x+1)^2 -1+1\ )%%

%%g(x) = (x-1)\ \cdot\ (x+1)^2%%

Wird durch das Einsetzen zu

Die innerste Klammer kann man auflösen

Die %%-1%% und %%+1%% heben sich gegenseitig auf und es bleibt

Ist diese letzte Form etwa nicht wunderschön? Die Funktion %%g%% ist also doch gar nicht so schlimm, wie wir uns gedacht hatten.
Schaue dir unsere Überlegungen und unser Vorgehen für %%g%% noch einmal an.

Was du auf jeden Fall von dieser Kursseite mitnehmen solltest:
Komplizierte Terme denken wir uns erstmal weg. Sie können uns nicht abschrecken.

Außerdem haben wir gelernt, dass man auch Faktoren wie %%(x-1)%% ausklammern kann. Dies ist manchmal sehr nützlich.

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