Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

1

Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Beispiel an:

$S(1{,}2;3)$ oder $S(1{,}2|3)$ .

$f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=(x-4)^2$
Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): $f(x)=a(x-d)^2+e$ .
Lies die Parameter $a,d,e$ vom gegebenen Graphen ab.
$a=1$ , $d=4$ und $e=0$
Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als $(d|e)$ .
$S=(d|e) = (4|0)$ .
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$f\left(x\right)=\left(3+x+2\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=(3+x+2)^2$
Vereinfache die Funktionsvorschrift.
$f(x)=(3+x+2)^2\\\hphantom{f(x)}=(x+5)^2$
Die Funktion ist in Scheitelpunktform: $f(x)=a(x−d)^2+e$ . Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S=(-5|0)$
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$f\left(x\right)=x^2+2x+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
Du kannst den Scheitelpunkt finden, indem du die Parabel auf Scheitelform bringst und daraus den Scheitelpunkt abliest:
$f(x)=x^2+2x+1$
Wende die 1. binomische Formel an.
$f(x)=x^2+2x+1\\\hphantom{f(x)}=\left(x+1\right)^2$
Die Funktion hat nun die Scheitelform.
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S=( -1 | 0 )$
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2

Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f(x)=\left(x-2\right)^2+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=(x−2)^2+1$
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform. Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ aus der Formel der Scheitelform.
$a=1$ , $d=2$ und $e=1$
Der Scheitelpunkt ergibt sich als $S(d|e)$ .
$\Rightarrow S(2|1)$
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$f(x)=-12\;+\left(x+8\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht. Vertausche deshalb zuerst die Summanden
$f(x)=−12+(x+8)^2\\\hphantom{f(x)}=\left(x+8\right)^2 - 12$
Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ aus der Scheitelform ab.
$a=1$ , $d=-8$ und $e=-12$ .
Den Scheitelpunkt erhältst du als $S(d|e)$
$\Rightarrow S(-8|-12)$
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$f(x)= x^2-4x+4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform
In dieser Aufgabe kannst du entweder mit der Scheitelform oder allgemeinen Form rechnen.
1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform
$f(x)=x^2-4x+4$
Wende die 2. binomische Formel an.
$f(x)=x^2-4x+4\\\hphantom{f(x)}=\left(x-2\right)^2$
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.
$\Rightarrow S(2|0)$
2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form
$f(x)=x^2-4x+4$
Bestimme $a$ , $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form.
$a=1, b=-4, c=4$
Nun kannst du diese in die Formel $S\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)$
einsetzen.
$S\left(-\frac{(-4)}{2\cdot1} \left|4-\frac{(-4)^2}{4\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S(2|0)$
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$f(x)= x^2+2x-3$

$f(x)=\left(3-x\right)^2$

3

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^2-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
Gegeben ist $f(x)=3(x−2)^2−4$
Die Funktion $f(x)$ liegt bereits in Scheitelform vor. Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ der Scheitelform ab.
$a=3$ , $d=2$ und $e=-4$
Dann ist $S(d|e)$ der Scheitelpunkt von $f$ .
$\Rightarrow S(2|-4)$
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$f\left(x\right)=2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$\displaystyle f\left(x\right)$ $=$ $\displaystyle 2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)$
$=$ $\displaystyle 2\left(x+1{,}5\right)^2+2$
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S(-1{,}5\mid2)$
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$f\left(x\right)=2x^2-4{,}8x+0{,}88$

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)$

4

Gib die Koordinaten des Scheitels folgender Funktionen an.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$g_1:\;x\mapsto x^2-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$g_{1}(x)=x^2−2$
Die Funktion ist schon in Scheitelpunktform gegeben. Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S=(0\mid-2)$
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$g_2\colon x\mapsto x^2+1{,}2-0{,}4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$g_{2}(x)=x^2+1{,}2−0{,}4$
Vereinfache den Term und lies den Scheitelpunkt ab.
$g_2(x)=x^2+1{,}2−0{,}4\\\hphantom{g_2(x)}= x^2+0{,}8$
$\Rightarrow S=(0\mid0{,}8)$
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5

Bestimme den Scheitelpunkt:

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f(x)=x^2-3x-\frac34$ (mit quadratischer Ergänzung)

$f(x)=-\frac14x^2+6x-11$

$f(x)=\frac12x^2+4x-24$ (mit Hilfe der Nullstellen)

$f\left(x\right)=-2x^2+8x+10$

$f\left(x\right)=3x^2-4x+18$

$f\left(x\right)=-5x^2-x-2$

$f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10$

$f(x)=\frac12x^2+3x-4$

$f(x)=\frac23x^2+8x$

$f(x)=\frac56x^2+x-1$

$f(x)=-0{,}5x^2+20x-30$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f$ ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ . Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt $x_{s}$ aufgrund der Symmetrie von $f$ genau mittig zwischen ihnen: $x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ .
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f$ :
$f(x)=−0{,}5x^2+20x−30=0$
Wende die Mitternachtsformel an.
$x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0{,}5)(-30)}}{2\cdot(-0{,}5)}=+20-\sqrt{340}$
$x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0{,}5)(-30)}}{2\cdot(-0{,}5)}=20 +\sqrt{340}$
$x_{1}$ und $x_{2}$ sind damit reelle Zahlen und es gilt:
$x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20$
Setzt man den $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen $y$ -Wert:
$f(x_{s})=f(20)=−0{,}5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170$
$\Rightarrow S(20 | 170)$
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$f(x)=-\frac34x^2+x$

$f(x)=10x^2+100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=10\cdot x^2+100$
An dieser Funktionsvorschrift kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, da sie schon in Scheitelpunktform gegeben ist.
$\Rightarrow S(0|100)$
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6

Berechne den Scheitelpunkt folgender Funktionen mithilfe der Formel.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f(x) = x^2 + 6x + 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
$f(x)=x^2+6x+9$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kann.
$a=1, b=6, c=9$
Nun kann man diese in die Formel
$S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)$
einsetzen.
$S=\left(-\frac{6}{2\cdot1} \left|9-\frac{6^2}{4\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=(-3|0)$
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$f(x)=x^2-6x+10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x)=x^2-6x+10$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.
$a=1, b=-6, c=10$
Nun kannst du diese in die Formel
$S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)$
einsetzen.
$S=\left (-\frac{(-6)}{2\cdot1} \left|10-\frac{(-6)^2}{4\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=\left(3\vert1\right)$ .
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$f(x)= 2x^2+x-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x)=2x^2+x-3$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kann.
$a=2, b=1, c=-3$
Nun kann man diese in die Formel
$S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)$
einsetzen.
$S=\left(-\frac1{2\cdot2}\left|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=\left(-\frac14\vert-\frac{25}{8}\right)$ .
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$f(x)=3x^2 - 12x + 15$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x)= 3x^2-12x+15$
Die Funktion liegt bereits in der allgemeinen Form vor, sodass du die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kannst.
$a=3, b=-12, c=15$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S=\left(-\frac{(-12)}{2\cdot3}\left|15-\frac{(-12)^2}{4\cdot3}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=\left(2\vert3\right)$
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$f(x) = 16x^2 - 8x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x)= 16x^2-8x+2$
Die Funktion ist bereits in allgemeiner Form gegeben, sodass du die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kannst.
$a=16, b=-8, c=2$
Diese setzt du in die Formel
$S=\left (-\dfrac b{2\cdot a}\left|-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)$
ein.
$S=\left(-\frac{-8}{2\cdot16}\left|2-\frac{(-8)^2}{4\cdot16}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=(\frac14|1)$
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$f(x) = - 6x^2 - 24x - 29$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x)=-6x^2-24x-29$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kann:
$a=-6, b=-24, c=-29$
Nun kann man diese in die Formel
$S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left| c-\dfrac{b^2}{4a} \right.\right)$
einsetzen.
$S=\left (-\frac{-24}{2\cdot(-6)} \left| -29-\frac{(-24)^2}{4\cdot(-6)}\right.\right)$
Fasse zusammen, indem du die Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=(-2|-5)$
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$f(x) = 2(x^2-4x+5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x) = 2(x^2-4x+5)$
Multipliziere aus.
$\hphantom{f(x)}= 2x^2-8x+10$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a=2$ , $b=-8$ , $c=10$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S=\left(-\dfrac{(-8)}{2\cdot2}\left|10-\dfrac{(-8)^2}{4\cdot2}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=(2|2)$
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$f(x) = x(x-2)+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x) = x(x-2)+6$
Ausmultiplizieren
$\hphantom{f(x)} = x^2-2x+6$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a=1$ , $b=-2$ , $c=6$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S=\left(-\dfrac{(-2)}{2\cdot1}\left|6-\dfrac{(-2)^2}{4\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S(1|5)$
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$f(x) = x^2+\frac{1}{9}(6x-26)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x) = x^2+\dfrac{1}{9}(6x-26)$
Multipliziere aus und fasse zusammen.
$\hphantom{f(x)}= x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{26}{9}$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a=1$ , $b=\dfrac23$ , $c=-\dfrac{26}9$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S=\left(-\dfrac {\frac23} {2\cdot 1}\left|\;-\dfrac{26}9-\dfrac{\left(\frac23\right)^2}{4\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=\left(\left.-\frac13\right|-3\right)$
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$f(x)=(x-2)(x+2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f(x)=(x-2)(x+2)$
Multipliziere aus und fasse zusammen.
$\hphantom{f(x)}= x^2-4$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a=1$ , $b=0$ , $c=-4$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S=\left(-\dfrac0{2\cdot1}\left|-4-\dfrac{0^2}{(-4)\cdot1}\right.\right)$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S=(0|-4)$
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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+2x-3$
	↓	Ergänze die Funktion quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2+2x+1-1-3$
	↓	Benutze die 1. binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2-4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(3-x\right)^2$
	↓	Klammere (-1) aus.
	$=$	$\displaystyle \left(\left(-1\right)\left(x-3\right)\right)^2$
	↓	Quadriere die einzelnen Faktoren.
	$=$	$\displaystyle \left(x-3\right)^2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^2-4{,}8x+0{,}88$
	↓	Klammere $2$ vor den $x$ -Termen aus.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2{,}4x\right)+0{,}88$
	↓	Ergänze quadratisch mit $1{,}2^2$ .
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2-1{,}2^2\right)+0{,}88$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2{,}88+0{,}88$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x-1{,}2\right)^2-2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+3\right)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle x^2+x-6$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-6$
	↓	Verwende die 1. binomische Formel
	$=$	$\displaystyle \left(x+0{,}5\right)^2-6{,}25$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-3x-\frac{3}{4}$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2-2\cdot1{,}5x+1{,}5^2-1{,}5^2-\frac{3}{4}$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2-2{,}25-\frac{3}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2-3$
	↓	Lies den Scheitel ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\left(x+1{,}5\right)^2+2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+3\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle x^2+x-6$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^2+6x-11$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-24x\right)-11$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2\cdot2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x-12\right)^2+25$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+4x-24$
	↓	Berechne die Nullstellen mit der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0{,}5\cdot24}}{2\cdot0{,}5}$
	↓	Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : $\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}$
	↓	Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
	$=$	$\displaystyle -4\pm8$
$\displaystyle f\left(-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24$
	$=$	$\displaystyle -32$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -2x^2+8x+10$
	↓	Klammere die $-2$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x^2-4x\right)+10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $4$ .
	$=$	$\displaystyle -2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle -2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x-2\right)^2+8+10$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x-2\right)^2+18$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^2-4x+18$
	↓	Klammere $3$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)+18$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{\mathbf4}{\mathbf3}$ .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)+18$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 3\left[\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\right]+18$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{3}+18$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{50}3$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -5x^2-x-2$
	↓	Klammere $-5$ aus.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x^2+\frac{1}{5}x\right)-2$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac15$ .
	$=$	$\displaystyle \left(-5\right)\cdot\left(x^2+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^2-\left(\frac{1}{10}\right)^2\right)-2$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -5\left(\left(x+\frac{1}{10}\right)^2-\left(\frac{1}{10}\right)^2\right)-2$
	↓	Multpliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2+\frac{5}{100}-2$
	↓	Berechne die rechte Summe.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2-\frac{39}{20}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x+0{,}1x^2-10$
	↓	Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2+2x-10$
	↓	Klammere $0{,}1$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2+20x\right)-10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2+20x+10^2-10^2\right)-10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(\left(x+10\right)^2-100\right)-10$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10$
	↓	Bringe den Term auf die Scheitelform.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x+10\right)^2-20$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+3x-4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0{,}5\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot0{,}5}$
	↓	Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: $x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Setzt man diesen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den $y$ -Wert des Scheitelpunktes:
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{17}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0{,}5\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot0{,}5}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3-\sqrt{17}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}x^2+8x$
	↓	Klammere $\frac23$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2+12x\right)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2+12x+6^2-6^2\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(\left(x+6\right)^2-36\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x+6\right)^2-24$
	↓	$f$ ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}x^2+x-1$
	↓	Klammere $\frac56$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\left(x^2+\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\left(x^2+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\left(\left(x+\frac{3}{5}\right)^2-\frac{9}{25}-\frac{30}{25}\right)$
	↓	Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}(x+\frac{3}{5})^2-\frac{5}{6}\cdot\frac{39}{25}$
	↓	Zusammenrechnen und kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}(x+\frac{3}{5})^2-\frac{13}{10}$
	↓	Nun hast du $f$ in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{4}x^2+x$
	↓	Null setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{4}x^2+x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x(\frac{-3}{4}x+1)$
	↓	Eine Nullstelle ist also $x=0$ . Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du $\frac{-3}{4}x+1=0$ weiter nach $x$ auflöst:
$\displaystyle \frac{-3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot\frac{-4}{3}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$
	↓	Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

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1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

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1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

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1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

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