Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

$f(x)=(x-4{)}^2$

Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): $f(x)=a(x-d{)}^2+e$.

Lies die Parameter $a,d,e$ vom gegebenen Graphen ab.

$a=1$, $d=4$ und $e=0$

Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als $(d|e)$.

$f(x)=(3+x+2{)}^2$

Vereinfache die Funktionsvorschrift.

$\begin{array}{l}f(x)=(3+x+2{)}^2\\ \phantom{f(x)}=(x+5{)}^2\end{array}$

Die Funktion ist in Scheitelpunktform: $f(x)=a(x-d{)}^2+e$. Lies den Scheitelpunkt ab.

$f(x)=x^2+2x+1$

Wende die 1. binomische Formel an.

$\begin{array}{l}f(x)=x^2+2x+1\\ \phantom{f(x)}={(x+1)}^2\end{array}$

Die Funktion hat nun die Scheitelform.

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S=(-1|0)$

$f(x)=(x-2{)}^2+1$

Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform. Lies die Parameter $a$, $d$ und $e$ aus der Formel der Scheitelform.

$a=1$, $d=2$ und $e=1$

Der Scheitelpunkt ergibt sich als $S(d|e)$.

$\begin{array}{l}f(x)=-12+(x+8{)}^2\\ \phantom{f(x)}={(x+8)}^2-12\end{array}$

Lies die Parameter $a$, $d$ und $e$ aus der Scheitelform ab.

$a=1$, $d=-8$ und $e=-12$.

Den Scheitelpunkt erhältst du als $S(d|e)$

$\Rightarrow S(-8|-12)$

$f(x)=x^2-4x+4$

Wende die 2. binomische Formel an.

$\begin{array}{l}f(x)=x^2-4x+4\\ \phantom{f(x)}={(x-2)}^2\end{array}$

Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.

$\Rightarrow S(2|0)$

$f(x)=x^2-4x+4$

Bestimme $a$, $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form.

$a=1,b=-4,c=4$

Nun kannst du diese in die Formel $S(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$

einsetzen.

$S(-\frac{(-4)}{2\cdot 1}|4-\frac{(-4{)}^2}{4\cdot 1})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$\Rightarrow S(2|0)$

Da die Parabel jetzt in Scheitelform ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$\Rightarrow S(-1|-4)$

$x^2+2x-3$

Bestimme $a$, $b$, $c$ aus der allgemeinen Form.

$a=1$, $b=2$, $c=-3$

Setze $a$, $b$, $c$ in die Formel ein.

$S(-{\displaystyle \frac{2}{2\cdot 1}}|-3-{\displaystyle \frac{2^2}{4\cdot 1}})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$\Rightarrow S(-1|-4)$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S(3|0)$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S(-\mathrm{1,5}|2)$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S(\mathrm{1,2}|-2)$

$f(x)=2x^2-\mathrm{4,8}x+\mathrm{0,88}$

Bestimme $a$, $b$, $c$ aus der allgemeinen Form.

$a=2$, $b=-\mathrm{4,8}$, $c=\mathrm{0,88}$

Setze $a$, $b$, $c$ in die Formel ein.

$S(-{\displaystyle \frac{(-\mathrm{4,8})}{2\cdot 2}}|\mathrm{0,88}-{\displaystyle \frac{(-\mathrm{4,8}{)}^2}{4\cdot 2}})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$\Rightarrow S(\mathrm{1,2}|-2)$

Lies nun den Scheitelpunkt ab.

Bestimme $a$, $b$, $c$ aus der allgemeinen Form.

$a=1$, $b=1$, $c=-6$

Setze $a$, $b$, $c$ in die Formel ein.

$S(-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 1}}|-6-{\displaystyle \frac{1^2}{4\cdot 1}})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$\Rightarrow S(-\frac{1}{2}|-6\frac{1}{4})$

$g_1(x)=x^2-2$

Die Funktion ist schon in Scheitelpunktform gegeben. Lies den Scheitelpunkt ab.

$g_2(x)=x^2+\mathrm{1,2}-\mathrm{0,4}$

Vereinfache den Term und lies den Scheitelpunkt ab.

$\begin{array}{l}{g}_2(x)=x^2+\mathrm{1,2}-\mathrm{0,4}\\ \phantom{g_2(x)}=x^2+\mathrm{0,8}\end{array}$

$\Rightarrow S=(0|\mathrm{0,8})$

$\Rightarrow S(-4|-32)$

$\Rightarrow S\left(\frac{2}{3}|\frac{50}{3}\right)$

$\Rightarrow S=(-\frac{1}{10}|-\frac{39}{20})$

$\Rightarrow S(-6|-24)$

$\Rightarrow S(-\frac{3}{5}|-\frac{13}{10})$

$f(x)=-\mathrm{0,5}{x}^2+20x-30=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$x_1$ und $x_2$ sind damit reelle Zahlen und es gilt:

$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{40}{2}=20$

Setzt man den $x$-Wert $x_s$ des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen $y$-Wert:

$\Rightarrow S(20|170)$

Der Scheitelpunkt hat also den $x$-Wert $x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$.

Setze den $x$-Wert in die Funktionsvorschrift ein. So bekommst du den $y$-Wert des Scheitelpunktes.

$f(x)=10\cdot x^2+100$

An dieser Funktionsvorschrift kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, da sie schon in Scheitelpunktform gegeben ist.

$\Rightarrow S(0|100)$

$f(x)=x^2+6x+9$

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ direkt ablesen kann.

$a=1,b=6,c=9$

Nun kann man diese in die Formel

$S=(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$

einsetzen.

$S=(-\frac{6}{2\cdot 1}|9-\frac{6^2}{4\cdot 1})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

Gegeben:

$f(x)=x^2-6x+10$

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.

$a=1,b=-6,c=10$

Nun kannst du diese in die Formel

$S=(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$

einsetzen.

$S=(-\frac{(-6)}{2\cdot 1}|10-\frac{(-6{)}^2}{4\cdot 1})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

Gegeben:

$f(x)=2x^2+x-3$

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$,$b$ und $c$ direkt ablesen kann.

$a=2,b=1,c=-3$

Nun kann man diese in die Formel

$S=(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$

einsetzen.

$S=(-\frac{1}{2\cdot 2}|-3-\frac{1^2}{4\cdot 2})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

Gegeben:

$f(x)=3x^2-12x+15$

Die Funktion liegt bereits in der allgemeinen Form vor, sodass du die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ direkt ablesen kannst.

$a=3,b=-12,c=15$

Setze $a$, $b$, $c$ in die Formel ein.

$S=(-\frac{(-12)}{2\cdot 3}|15-\frac{(-12{)}^2}{4\cdot 3})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

Gegeben:

$f(x)=16x^2-8x+2$

Die Funktion ist bereits in allgemeiner Form gegeben, sodass du die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kannst.

$a=16,b=-8,c=2$

Diese setzt du in die Formel

$S=(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$

ein.

$S=(-\frac{-8}{2\cdot 16}|2-\frac{(-8{)}^2}{4\cdot 16})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

Gegeben:

$f(x)=-6x^2-24x-29$

Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ direkt ablesen kann:

$a=-6,b=-24,c=-29$

Nun kann man diese in die Formel

$S=(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$

einsetzen.

$S=(-\frac{-24}{2\cdot (-6)}|-29-\frac{(-24{)}^2}{4\cdot (-6)})$

Fasse zusammen, indem du die Brüche kürzt und subtrahierst.

Gegeben:

$f(x)=2(x^2-4x+5)$

Multipliziere aus.

$\phantom{f(x)}=2x^2-8x+10$

Bestimme $a$, $b$, $c$ aus der allgemeinen Form.

$a=2$, $b=-8$, $c=10$

Setze $a$, $b$, $c$ in die Formel ein.

$S=(-{\displaystyle \frac{(-8)}{2\cdot 2}}|10-{\displaystyle \frac{(-8{)}^2}{4\cdot 2}})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$\Rightarrow S=(2|2)$

Gegeben:

$f(x)=x(x-2)+6$

Ausmultiplizieren

$\phantom{f(x)}=x^2-2x+6$

Bestimme $a$, $b$, $c$ aus der allgemeinen Form.

$a=1$, $b=-2$, $c=6$

Setze $a$, $b$, $c$ in die Formel ein.

$S=(-{\displaystyle \frac{(-2)}{2\cdot 1}}|6-{\displaystyle \frac{(-2{)}^2}{4\cdot 1}})$

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

$\Rightarrow S(1|5)$

Gegeben:

$f(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{9}}(6x-26)$