Aufgaben zur Prozentrechnung

1
Bei der Klassensprecherwahl der Klasse 7c werden 30 Stimmen abgegeben. Nach dem Auszählen ist klar, dass Anna mit 12 Stimmen Klassensprecherin geworden ist. Erich bekam 3, Tobias 6 und Moritz 9 Stimmen.
Stelle das Ergebnis der Wahl in einem Säulendiagramm dar. Auf der senkrechten Achse sollen die Prozentsätze abgetragen werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Säulendiagramm zeichnen
Im Folgenden werden die Namen und Begriffe mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt. Also:
A= Anna
E=Erich
T=Tobias
M=Moritz
Gegeben: G = 30 ; W $_E$ = 3 ; W $_M$ = 9 ; W $_T$ = 6 ; W $_A$ = 12
Berechne nun. wie viel Prozent der Stimmen, die einzelnen Schülerinnen und Schüler bekommen haben. Dafür kannst du den Prozentsatz mit der Prozentformel $p = \frac{W}{G}$
Zeichne ein Säulendiagramm bei dem auf der waagrechten Achse die Kategorien und auf der senkrechten Achse die Prozentwerte abgetragen sind.
2
An einer Schule wurde eine Umfrage nach dem letzten Urlaubsziel gestartet. Die Schule besuchen insgesamt 1090 Schüler*innen.
Land
Anzahl
Land
Anzahl
Deutschland
234
Spanien
206
USA
41
Frankreich
34
Italien
198
Sonstige
205
Türkei
172
Stelle die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm und einem Säulendiagramm dar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erstellen von Diagrammen
Im Folgenden werden die Begriffe mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt.
Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffen zu. (Die Anzahl aller Schüler*innen entspricht dem Grundwert)
Gegeben:
Gesucht sind die prozentualen Anteile, also die Prozentsätze.
Gesucht:
Berechne die Prozentsätze mit der Formel $p = \dfrac W G$ .
$p_\text{D} = \dfrac{W_\text{D}}{G} = \dfrac{234}{1090} \approx 0{,}2147 = 21{,}47\% \\$
$p_\text{Sp} = \dfrac{W_\text{Sp}}{G} = \dfrac{206}{1090} \approx 0{,}1890 = 18{,}90\% \\$
$p_\text{I} = \dfrac{W_\text{I}}{G} = \dfrac{198}{1090} \approx 0{,}1817 = 18{,}17\% \\$
$p_\text{T} = \dfrac{W_\text{T}}{G} = \dfrac{172}{1090} \approx 0{,}1578 = 15{,}78\% \\$
$p_\text{U} = \dfrac{W_\text{U}}{G} = \dfrac{41}{1090} \approx 0{,}0376 = 3{,}76\% \\$
$p_\text{F} = \dfrac{W_\text{F}}{G} = \dfrac{34}{1090} \approx 0{,}0312 = 3{,}12\% \\$
$p_\text{So} = \dfrac{W_\text{So}}{G} = \dfrac{205}{1090} \approx 0{,}1881 = 18{,}81\%$
Runde nun auf ganze Prozent.
Jetzt kannst du die Prozentsätze in einem Säulendiagramm darstellen.
Um das Ergebnis in einem Kreisdiagramm darstellen zu können musst du nun die verschiedenen Winkel ausrechnen. Der ganze Kreis ist dann der Grundwert.
Gegeben: $G = 360°$
Berechne nun die Winkel, also die Prozentwerte, mit der Formel $W = p \cdot G$ .
$W_\text{D} = p_\text{D} \cdot G = 21\% \cdot 360° = 75{,}6° \\$
$W_\text{Sp} = p_\text{Sp} \cdot G = 19\% \cdot 360° = 68{,}4° \\$
$W_\text{I} = p_\text{I} \cdot G = 18\% \cdot 360° = 64{,}8° \\$
$W_\text{T} = p_\text{T} \cdot G = 16\% \cdot 360° = 57{,}6° \\$
$W_\text{U} = p_\text{U} \cdot G = 4\% \cdot 360° = 14{,}4° \\$
$W_\text{F} = p_\text{F} \cdot G = 3\% \cdot 360° = 10{,}8° \\$
$W_\text{So} = p_\text{So} \cdot G = 19\% \cdot 360° = 68{,}4°$
Jetzt kannst du die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm darstellen.
3
In einem Baumarkt werden zwei Artikel zu Einzelpreisen von 65 € und 47,50 € angeboten. Beide Artikel zusammen bekommt man für 102 €.
Wie hoch sind die Rabatte in Prozent, wenn für den ersten Artikel der Rabatt 2,5-mal so hoch ist, wie der Rabatt für den zweiten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Zunächst bestimme den Gesamtrabatt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}\mathrm{Artikel}\;I:\;\mathrm{Einzelpreis}:&65{,}00\;€&(\mathrm{Grundwert}\;I\;=\;G_I)\\\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:\;\mathrm{Einzelpreis}:&\underline{47{,}50\;€}&(\mathrm{Grundwert}\;\mathrm{II}\;=\;G_\mathrm{II})\\\mathrm{Preis}\;\mathrm{ohne}\;\mathrm{Rabatt}:&112{,}50\;€&\!\\\mathrm{Artikel}\;I\;\mathrm{und}\;\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:&\underline{-102{,}00\;€}&\!\\\mathrm{Gesamtrabatt}:&10{,}50\;€\;&(\mathrm{Prozentwert}\;I\;+\;\mathrm{Prozentwert}\;\mathrm{II})\end{array}$
Es gilt: $p_I=2{,}5\cdot p_\mathrm{II}$ (1) und $W_I+W_\mathrm{II}=10{,}50\;€$ (2)
Mit den Prozentwerten $W_I=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}$ und $W_{II}=\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}$ gelangt man zu folgendem Ansatz:
$W_I+W_\mathrm{II}=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}+\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=\frac{65{,}00\,€\cdot p_I}{100\%}+\frac{47{,}50\,€\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=10{,}50\,€$
Mit der Gleichung (1) gilt: (Rechnung ohne Einheiten)
$\frac{65{,}00\cdot2{,}5\cdot p_\mathrm{II}}{100}+\frac{47{,}50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{162{,}5\cdot p_\mathrm{II}+47{,}50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{210\cdot p_\mathrm{II}}{100}=2{,}1\cdot p_\mathrm{II}=10{,}50$
$p_\mathrm{II}=\frac{10{,}50}{2{,}1}=5\;\Rightarrow\;p_\mathrm{II}=5\%$
Wenn diese Gleichheit nun in Gleichung (1) eingesetzt wird, gilt:
$p_I=2{,}5\cdot p_\mathrm{II}=2{,}5\cdot5\%=12{,}5\%$
Auf Artikel I wird also praktisch ein Rabatt von 12,5% und auf Artikel II ein Rabatt von 5% gegeben.

Land	Anzahl	Land	Anzahl
Deutschland	234	Spanien	206
USA	41	Frankreich	34
Italien	198	Sonstige	205
Türkei	172

Festival

Im Vorverkauf für ein Open-Air-Festival mit

20 000 Plätzen wurden 12 000 Eintrittskarten verkauft.

Während der Veranstaltung war das Festival zu 90% ausgelastet.

Eine Karte im Vorverkauf kostete 20 €. Direkt vor Ort kostete eine Karte 25 €.

Berechne die Gesamteinnahmen.

€

5
Von einer Hypothek von 250.000 Euro muss jedes Jahr 3% der verbleibenden Schuld zurückbezahlt werden. Dies wird als Amortisation bezeichnet. Wie viel Prozent der ursprünglichen Schuld sind nach 3 Jahren noch vorhanden?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gesucht ist die verbleibende relative Schuld nach drei Jahren.
Jedes Jahr werden 3% der zu diesem Zeitpunkt bestehenden Schuld bezahlt. Berechne zunächst die nach einem Jahr verbleibende relative Schuld.
$(100-3)\%=97\%$
Zum Ende jeden Jahres werden $3\%\$ auf die geminderte Restschuld gezahlt. Berechne die relative Restschuld nach drei Jahren.
$97\%\cdot97\%\cdot97\%=(97\%)^3=(0{,}97)^3 =0{,}912673 = 91{,}2673\%$
$\Rightarrow$ Die relative Restschuld nach 3 Jahren beträgt noch ca. $91{,}27\%\$ der Anfangsschuld von $250.000\ €$ .
6
Ein Auto verbraucht auf 400 km 47 Liter Benzin, ein anderes Auto verbraucht 65,8 Liter auf 700 km. Um wie viel Prozent ist der Verbrauch eines der beiden Autos niedriger als der des anderen?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Verbrauch auf 100 km:
Auto I: $\frac{47}4=\;11{,}75\;\frac{\mathrm{Liter}}{100\;\mathrm{km}}$
Auto II: $\frac{65{,}8}7=\;9{,}4\;\frac{\mathrm{Liter}}{100\;\mathrm{km}}$
$\;\Rightarrow\;$ Auto I hat den höheren Verbrauch.
Bestimme nun die Abweichung des Verbrauchs von Auto II vom Verbrauch von Auto I. (Wir rechnen hier ohne Einheiten.)
Verbrauch von Auto I ist der Grundwert $G$ .
$\Rightarrow$ $G=11{,}75$
Prozentwert $W = 11{,}75-9{,}4=2{,}35$
Gesucht ist der Prozentsatz: $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{2{,}35}{11{,}75}\cdot100\%=20\%$
Antwort: Der Verbrauch von Auto II liegt um 20% unter dem von Auto I.
7
In der Klasse 2a soll jedes Kind seine Lieblingssportart angeben. Das Ergebnis lautet:
Fußball: 12
Tischtennis: 8
Handball: 6
Schwimmen: 4
Die Klasse hat insgesamt 30 Kinder.
Berechne zuerst die Prozentsätze und nutze diese um die Verteilung der Lieblingssportarten in einem Kreisdiagramm darzustellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentsätze
Ordne die gegbenen Größen den passenden Fachbegriffen zu
Gegeben: $W_\text F = 12 \; ; \; W_\text T = 8 \; ; \; W_\text H = 6 \; ; \; W_\text S = 4$
Berechne die Prozentsätze mit der Prozentformel $p = \frac W G$
$G = 12 + 8 + 6 + 4 =30$
$p_F = \frac {W_F} {G} = \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = \frac{40}{100} = 40\%$
$p_T = \frac {W_T} {G} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} = 26,\overline6\%$
$p_H = \frac {W_H} {G} = \frac{6}{30} = \frac{2}{10} = \frac{20}{100} = 20\%$
$p_S = \frac {W_S} {G} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} = 13,\overline3\%$
Berechne die entsprechenden Gradzahlen bezogen auf den ganzen Kreis also den Grundwert von 360°.
Gegeben: $G = 360°$
Gesucht werden die Winkel der Kreissektoren, also die Prozentwerte.
Gesucht: $W_\text F\; ; \; W_\text T\; ; \; W_\text H\; ; \; W_\text S$
Berechne die Prozentwerte mit der Prozentformel $W = p \cdot G$
$W_\text F = p_\text F \cdot G = 40\% \cdot 360° = 144°$
$W_\text T = p_\text T \cdot G = 26,\overline6 \% \cdot 360° = 96°$
$W_\text H = p_\text H \cdot G = 20\% \cdot 360° = 72°$
$W_\text S = p_\text S \cdot G = 13,\overline 3\% \cdot 360° = 48°$
Antwort:
Alternativ kannst du das Ergebnis auch mit dem Dreisatz berechnen.
Berechne die Prozentsätze mit dem Dreisatz.
Prozentsatz Fußball
Prozentsatz Tennis
Prozentsatz Handball
Prozentsatz Sonstige
Gesucht werden die Winkel der Kreissektoren, also die Prozentwerte. Berechne diese mit dem Dreisatz.
Winkel vom Fußballsektor
Winkel vom Tennissektor
Winkel vom Handballsektor
Winkel vom Sonstigensektor
Antwort
8
In dem nebenstehenden Diagramm siehst du die Verteilung einer Umfrage über Haustierbesitzer. Die Werte beziehen sich auf eine Grundmenge von 500 Personen.
Gib jeweils den prozentualen Anteil der jeweiligen Tierbesitzer an.
Legende: Hund - rot ; Katze - grün ; Nagetier - orange ; Vogel - blau ; Sonstige - gelb

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Im Folgenden werden die Begriffe mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt.
Die verschiedenen Winkel sind Prozentwerte, da sie Anteile des ganzen Kreises (Grundwert) darstellen.
Gegeben:
Gesucht werden die prozentualen Anteile, also die Prozentsätze.
Gesucht:
Berechne die Prozentsätze mit der Prozentformel.
$p_\text{H} = \dfrac {W_\text{H}}{G} = \dfrac{144°}{360°} = 0{,}4 = 40\%$
$p_\text{K} = \dfrac {W_\text{K}}{G} = \dfrac{126°}{360°} = 0{,}35 = 35\%$
$p_\text{N} = \dfrac {W_\text{N}}{G} = \dfrac{36°}{360°} = 0{,}1 = 10\%$
$p_\text{V} = \dfrac {W_\text{V}}{G} = \dfrac{32{,}4°}{360°} = 0.09 = 9\%$
$p_\text{S} = \dfrac {W_\text{S}}{G} = \dfrac{21{,}6°}{360°} = 0{,}06 = 6\%$
Antwort:
Hund: 40%
Vogel: 9%
Katze: 35%
Sonstige: 6%
Nagetier: 10%
9
Ordne folgende Prozentzahlen den nebenstehenden zu:
15%
5%
20%
52%
8%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: graphische Darstellung von Prozentzahlen
15% $\widehat{=}$ orangener Kreissektor
5% $\widehat{=}$ roter Kreissektor
20% $\widehat{=}$ lilaner Kreissektor
52% $\widehat{=}$ grüner Kreissektor
8% $\widehat{=}$ schwarzer Kreissektor
Um die Prozentzahlen den Kreissektoren zuzuordnen, vergleicht man die Größe der Kreissektoren. Zum Bespiel entsprechen 52% ein bisschen mehr als der Hälfte. Entsprechend ist der zugehörige Kreissektor auch etwas größer als die Hälfte. Je größer die Prozentzahl, desto größer der Kreissektor.
10
An einer Wahl nahmen 426.688 Wahlberechtigte teil und stimmten je für eine der drei Parteien A, B und C. Die Partei B erhielt 70% der Stimmen von A, die Partei C hingegen 80% der Stimmen von B. Wie viele Stimmen erhielt jede Partei?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
$x_A=x$ ist die Anzahl der Stimmen für Partei A.
$x_B=x_A\cdot0{,}7$ ist die Anzahl der Stimmen für Partei B.
$x_C=x_B\cdot0{,}8=\left(x_A\cdot0{,}7\right)\cdot0{,}8=x\cdot0{,}56$
Mache nun einen Gesamtansatz für alle Stimmen.
$x_A+x_B+x_C=426688$
Nutze nun die Beziehungen zwischen den Anzahlen, die oben erwähnt sind.
$x+x\cdot0{,}7+x\cdot0{,}56=426688$
Fasse nun die x-Werte zusammen.
$x\cdot2{,}26=426688$
Dividiere durch 2,26.
$x=188800$
$\Rightarrow$ Partei A bekommt 188.800 Stimmen.
Da Partei B 70% der Stimmenanzahl von Partei A bekommt, bekommt sie $188.800\cdot0{,}7=132.160$ Stimmen.
Partei C bekommt 80% der Stimmenanzahl von Partei B, also $188.800\cdot0{,}56=105.728$ Stimmen.

Im Jahr 2007 wurde die Umsatzsteuer von 16% auf 19% erhöht.

Um wie viele Prozentpunkte ist die Steuer gestiegen?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentpunkte
Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%
Gesucht: Änderung in Prozentpunkten
Prozentpunkte sind die Differenz aus zwei Prozentangaben. Berechne die Differenz aus den zwei Prozentangaben.
$19\%-16\% = 3\%$
Die Steuer ist um 3 Prozentpunkte gestiegen.
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Um wie viel Prozent ist die Steuer gestiegen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentsatz

Berechnung des Wachstumsfaktors

Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht: Wachstumsfaktor

Es handelt sich um eine Erhöhung. 19% ist also ein vermehrter Grundwert.

$G^+ = 19\%$ $G=16\%$

Stelle die Formel für den vermehrten Grundwert auf.

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+p\right)$
	↓	Setze den vermehrten Grundwert $G^+$ und den Grundwert $G$ ein und berechne.
$\displaystyle 19\%$	$=$	$\displaystyle 16\%\cdot\left(1+p\right)$	$\displaystyle :16\%$
$\displaystyle \frac{19\%}{16\%}$	$=$	$\displaystyle 1+p$
$\displaystyle \frac{19}{16}$	$=$	$\displaystyle 1+p$
$\displaystyle 1{,}1875$	$=$	$\displaystyle 1+p$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 0{,}1875$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 18{,}75\%$

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Alternative zweischrittige Berechnung des Wachstumsfaktors

Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht: Wachstumsfaktor

Stelle zunächst fest, was der Grundwert und was der Prozentwert ist.

Der Ausgangswert und damit Grundwert ist der ältere Wert. In diesem Fall $G=16\%$ . Der Prozentwert ist der Wert nach der Erhöhung. In diesem Fall $W=19\%$ .

Stelle die Formel für den Prozentsatz auf.

$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{W}{G}$
	↓	Setze den Grundwert und Prozentwert ein und berechne.
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{19\%}{16\%}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{19}{16}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 1{,}1875$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 118{,}75\%$
	↓	19% sind also 118,75% von 16%. Berechne nun den Wachstumsfaktor.

$p_z = 118{,}75\% - 100\% = 18{,}75\%$

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Alternative Lösung mit Dreisatz

Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht: Wachstumsfaktor

Stelle zunächst fest, was der Grundwert und was der Prozentwert ist.

Der Ausgangswert und damit Grundwert ist der ältere Wert. In diesem Fall $G=16\%$ . Der Grundwert entspricht 100%.

Berechne den Prozentsatz.

19% sind also 118,75% von 16%. Berechne nun den Wachstumsfaktor.

$p_z = 118{,}75\% - 100\% = 18{,}75\%$

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

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12
Im Jahr 2013 wurden über 500 Jungen im Alter von 5-9 Jahren zu ihrem Wunschberuf befragt. Stelle diese in einem Säulendiagramm dar.
Wunschberuf
In Prozent
Tierarzt
6,3%
Fußballspieler
5,7%
Polizist
5,7%
Pilot
4,6%
Arzt
3,6%
Rennfahrer
3,6%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme erstellen
Zeichne ein Säulendiagramm bei dem auf der waagrechten Achse die Kategorien und auf der senkrechten Achse die Prozentwerte abgetragen sind.
13
Im Wunderland leben 400 Einhörner. Davon sind 60 rosa, 40 lila, und 300 blau. Berechne die Prozentsätze der farbigen Einhörner.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln
$PS=$ Prozentsatz
$PW=$ Prozentwert: Anzahl der farbigen Einhörner
$GW=$ Grundwert: Die 400 Einhörner
Rosa:
$PS\ =\ \dfrac{PW}{GW}\ =\ \dfrac{60}{400}\ =\ 0{,}15\ =\ 15\%$
Lila:
$PS\ =\ \dfrac{PW}{GW}\ =\ \dfrac{40}{400}\ =\ 0{,}10\ =\ 10\%$
Blau:
$PS\ =\ \dfrac{PW}{GW}\ =\ \dfrac{300}{400}\ =\ 0{,}75\ =\ 75\%$

Wunschberuf	In Prozent
Tierarzt	6,3%
Fußballspieler	5,7%
Polizist	5,7%
Pilot	4,6%
Arzt	3,6%
Rennfahrer	3,6%

Herr Eitescheny bekommt monatlich 3228€. Sein Chef Herr Kreiser erhöht sein Gehalt um 7%. Wie viel Euro verdient er jetzt monatlich?

15
Matthias und sein Vater schließen eine Wette ab. Innerhalb von 2 Minuten muss Matthias es schaffen 150 Gummibärchen und sein Vater 12 Schokoküsse zu essen. Matthias schafft nur 148 Gummibärchen und sein Vater 10,5 Schokoküsse. Berechne die Prozentsätze.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln
In dieser Aufgabe sollen Prozentsätze berechnet werden. Dazu ermittelst du zunächst die jeweiligen Grundwerte und die Prozentwerte.
Der Grundwert steht für das Ganze, von dem im Zusammenhang der Aufgabenstellung ausgegangen werden soll.
Matthias soll insgesamt $150$ Gummibärchen und sein Vater $12$ Schokoküsse essen. Dies sind die jeweiligen Grundwerte.
Der Prozentwert ist der Teil des Ganzen, um den es im betreffenden Sachzusammenhang geht.
Matthias schafft es $147$ der insgesamt $150$ Gummibärchen zu essen. Sein Vater schafft $10{,}5$ von insgesamt $12$ Schokoküssen. Dies sind die jeweiligen Prozentwerte.
Damit kannst du die Prozentsätze berechnen.
Matthias schafft $98\%$ seiner Gummibärchen.
Sein Vater schafft etwa $88\%$ seiner Schokoküsse.
Verwende die Definitionen für Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz und berechne
16
Ein Fußballspieler verdient 684€ pro Tag. Er bekommt ein Angebot von einem anderen Club. Dieser bietet ihm 80000€ im Monat. Wie viel Prozent würde der Fußballspieler mehr oder weniger verdienen, wenn er das Angebot annimmt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln
Zuerst rechnet man aus, wie viel der Fußballspieler in seinem alten Verein im Monat verdient:
Nun kannst du berechnen, wie viel Geld er jetzt mehr verdient:
Als letztes berechnest du wie viel mehr das prozentual ist:
Der Fußballspieler verdient 288% mehr wenn er zu dem anderen Club wechselt.
17
Maria möchte sich von ihren Ersparnissen ein Mountain-Bike kaufen, dessen Preis von $640\ €$ auf $480\ €$ reduziert wurde.
1. Um wie viel Prozent wurde der Preis gesenkt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Gegeben: Ursprungspreis: 640 €; Reduzierter Preis $x=480\,€$
  Gesucht: Prozentsatz $p$
  Dreisatz anwenden.
  $640\,€=100\%$ und $480\,€=x$
  $p=\frac{480\,€}{640\,€}\cdot100\%$
  $=75\%$
  Den Prozentsatz von $100\ \%$ subtrahieren.
  $100\%-75\%=25\%$
  Antwort: Der ursprüngliche Preis ist um $25\ \%$ gesunken.
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2. Wenn Maria das Rad bar bezahlt, bekommt sie sogar noch $2\ \%$ Skonto, d. h., sie erhält einen Preisnachlass von $2\ \%$ . Wie viel muss Maria in diesem Fall für das Rad bezahlen?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Gegeben: reduzierter Preis: $480$ $€$ ( $100\ \%$ ); zusätzlicher Rabatt: $2\ \%$
  Gesucht: Geldwert $G$
  Dreisatz anwenden.
  $480\,€=100\ \%$ und $x=2\ \%$
  $G=\dfrac{480\,€\cdot2\%}{100\%}=9{,}60\,€$
  Die Lösung von dem reduzierten Preis subtrahieren .
  $480\ €-9{,}60\ €=470{,}40\ €$
  Antwort: Mit der zusätzlichen Ermäßigung würde das Fahrrad jetzt noch $470{,}40\ €$ kosten.
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3. Das Geschäft bietet auch einen so genannten „Finanzkauf“ an. Dabei kann das Rad in 12 gleichen Monatsraten abbezahlt werden. Nach einer kurzen Rechnung stellt Maria fest, dass der Preis des Rades in diesem Fall um 5% höher ist als angegeben. Wie hoch ist demnach eine Monatsrate?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: reduzierter Preis: 480 € (100%); Aufpreis $x$ =5%.
  Gesucht: Preis einer Monatsrate $PM$
  Dreisatz anwenden.
  Neuer Preis $NP$ : $480\,€\cdot1{,}05=504\,€.$
  $PM=\frac{NP}{12}=\frac{504\,€}{12}=42\,€$
  Antwort: Eine Monatsrate würde 42 € kosten.
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4. Die Eltern ermahnen Maria: „Wenn du für das Rad 480 € bezahlst, dann hast du 80% deiner Ersparnisse ausgegeben.“ Wie viel hat Maria gespart?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Gegeben: Preis des Fahrrads von 480 €
  Anteil des Kaufpreises an der Gesamtersparnis entspricht 80%.
  Gesucht: Summe des Ersparten $SE$
  $SE=\frac{480\,€}{80\%}=600\,€$
  Antwort: Ihr gesamtes Erspartes beträgt $600 €$ .
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18
In einer Sportgruppe fahren $70\ \%$ der Schüler Ski und $60\ \%$ der Schüler Snowboard. Ein Viertel der Schüler fährt weder Ski noch Snowboard. $11$ Schüler der Gruppe fahren Ski und Snowboard.
1. Stelle die Anteile mittels einer Vierfeldertafel dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Vorgehensweise:
  Setze alle Informationen, die gegeben sind, in die Vierfeldertafel ein. Also die Info, dass $70\ \%$ der Schüler Ski fahren, $60\ \%$ Snowboard fahren und $25\ \%$ weder Ski noch Snowboard.
  Ergänze einige Komplemente, also die Summe der Nicht-Ski- ( $30\ \%$ ) bzw. Nicht-Snowboard-Fahrer ( $40\ \%$ ).
  Durch Ergänzung lässt sich der Anteil der Snowboarder, die nicht Ski fahren, und der Anteil der Skifahrer, die nicht Snowboard fahren, bestimmen.
  Das letzte Feld, der Anteil der Schüler, die Ski und Snowboard fahren, lässt sich dann passend ergänzen.
  Ski
  Nicht-Ski
  Summe
  Snowboard
  55% (11 Schüler)
  5%
  60%
  Nicht-Snowboard
  15%
  25%
  40%
  Summe
  70%
  30%
  100%
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2. Ermittle, wie viele Schüler insgesamt in der Sportgruppe sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gesucht wird die gesamte Schülerzahl in der Sportgruppe. Sei diese mit $x$ bezeichnet.
  $11$ (Schüler) ist der Prozentwert .
  $11$ (Schüler) ist der Prozentwert.
  $55\%$ ist der Prozentsatz.
  Prozentwert durch Prozentsatz dividieren um $1\ \%$ auszurechnen.
  $1\%\;\widehat=\;\frac{11}{55}$
  $1\%\;\widehat=\;\frac15$
  Von $1\ \%$ auf $100\ \%$ hochrechnen.
  $100\cdot \frac{1}{5}=20$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Es sind insgesamt $20$ Schüler in der Sportgruppe.
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	Ski	Nicht-Ski	Summe
Snowboard	55% (11 Schüler)	5%	60%
Nicht-Snowboard	15%	25%	40%
Summe	70%	30%	100%

Für einen Artikel in der Schülerzeitung eines Gymnasiums wird in zwei 7. Klassen eine Umfrage zur Höhe des monatlichen Taschengeldes durchgeführt. Die folgenden Tabellen zeigen die Ergebnisse:

Klasse 7a:

Taschengeld in €	Anzahl der Schüler
0	1
7	2
7,50	1
8	1
10	9
12	6
15	4
20	3
25	1

Klasse 7b:

Taschengeld in €	Anzahl der Schüler
5	1
6	2
7,50	3
10	14
12	3
15	3
20	2
25	1
150	1

Andreas besucht die Klasse 7a und bekommt $10€$ Taschengeld im Monat. Welcher Prozentsatz seiner Klassenkameraden bekommt mehr Taschengeld als er? Welcher Prozentsatz aller Siebtklässler bekommt mehr Taschengeld als er?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Bestimme zunächst die Anzahl von Schülern der Klasse 7a, die mehr Taschengeld als Andreas bekommen, indem du zuerst die Klassengröße der 7a als Summe der Zeilensumme "Anzahl der Schüler"" bestimmst und dann von der Klassengröße diejenigen abziehst, die weniger oder gleich viel Taschengeld als Andreas bekommen.
Die Klasse besteht aus
$1+2+1+1+9+6+4+3+1=28$ Schülern.
Schüler, die mehr Taschengeld bekommen:
$28-9-1-1-2-1=14\;$
$\frac{14}{Anzahl\;der\;Schüler\;der\;Klasse\;7a}=\frac{14}{28}=0{,}5$
$\Rightarrow$ Der Prozentsatz seiner Klassenkameraden, die mehr Taschengeld bekommen, entspricht $50\%$ .
Um die zweite Frage zu beantworten, muss vorausgesetzt werden, dass es nur zwei 7. Klassen am besagten Gymnasium gibt.
Bestimme nun die Gesamtzahl von Siebtklässlern und subtrahiere die Zahl derjenigen, die weniger oder gleich viel Taschengeld wie Andreas bekommenen, um die absolute Zahl der Schüler zu ermitteln, die mehr Taschengeld als Andreas bekommen.
In die 7. Klasse gehen insgesamt $28+30=58$ Schüler, davon entfallen $28$ auf die 7a und $30$ auf die 7b.
Schüler, die mehr Taschengeld als Andreas bekommen:
$58-14-14-3-1-2=58-34=24$
$\frac{24}{Anzahl\;der\;Schüler\;der\;Klasse\;7a\;und\;7b}=\frac{24}{58}\approx0{,}41=41\%$
$\Rightarrow$ Der Prozentsatz aller Siebtklässler, die mehr Taschengeld bekommen, beträgt etwa $41\%$ .
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Um Andreas ein wenig zum Prozentrechnen zu bewegen, macht ihm sein Vater einen Vorschlag: „Wir erhöhen jetzt dein monatliches Taschengeld um $10\ \%$ und kürzen es gleich anschließend wieder um $10\ \%$ . Bist du damit einverstanden oder sollen wir lieber umgekehrt vorgehen?“ Sollte Andreas einem der Vorschläge zustimmen?
- Ja, es ist besser erst zu erhöhen und dann abzuziehen.
- Ja, es ist besser erst abzuziehen und dann zu erhöhen.
- Es läuft auf das Gleiche hinaus.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Bestimme die Höhe des Taschengeldes nach dem ersten Vorschlag von Andreas Vater!
$10{,}00\;€\cdot\;1{,}1\cdot0{,}9=9{,}90\;$ €
Höhe des Taschengeldes nach Vorschlag des Vaters: $\;9{,}90\;€$
Bestimme die Höhe des Taschengeldes nach dem zweiten Vorschlag von Andreas Vater!
$10{,}00\;€\cdot\;0{,}9\cdot1{,}1=9{,}90$ €
Höhe des Taschengeldes nach umgekehrtem Vorschlag des Vaters: $9{,}90\;€$
$\;\Rightarrow$ Merke: Beide Vorschläge führen zur gleichen Höhe des Taschengeldes. Falls diese Vorschläge also einen Vorteil für Andreas bringen würden, wäre es gleich, welchen Vorschlag er annimmt. Dies ist hier aber nicht der Fall.
$\;\Rightarrow$ Andreas sollte aber keinen der beiden Vorschläge annehmen, da er sonst ein um 10 Cent niedrigeres Taschengeld bekäme.
$\Rightarrow$ Als Lerneffekt der Aufgabe: Eine gleichzeitige Erhöhung und Reduzierung eines positiven Betrages um einen festen positiven Prozentsatz führt zu einer Verringerung des Betrages.
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Berechne jeweils das arithmetische Mittel des monatlichen Taschengelds in den Klassen 7a und 7b. Warum ist es problematisch, mit diesen Werten die „Großzügigkeit“ der Eltern in beiden Klassen zu vergleichen?

20
Lies den folgenden Text aus einer Pressemitteilung des Bayerischen Landesamtes für Statistik und Datenverarbeitung aufmerksam durch und beantworte die Fragen.
5,7 Millionen Haushalte in Bayern im März 2004
Erneut mehr Singlehaushalte – Anteil jetzt über 36 Prozent
Nach den Ergebnissen des jährlich bei einem Prozent der Bevölkerung durchgeführten Mikrozensus gab es im März 2004 in Bayern insgesamt 5,731 Millionen Privathaushalte. Wie das Bayerische Landesamt für Statistik und Datenverarbeitung mitteilt, bedeutet dies gegenüber 2003 eine Steigerung um 0,9 Prozent. Überdurchschnittlich hoch war die Zunahme bei den Singlehaushalten. Ihre Anzahl hat sich gegenüber dem Vorjahr um 2,8 Prozent erhöht (auf 2,082 Millionen), während die Zahl der Haushalte mit 5 oder mehr Personen um 2,6 Prozent abgenommen hat (auf 288000). Im Ergebnis ist die durchschnittliche Haushaltsgröße von 2,21 Personen im Jahr zuvor auf 2,19 Personen im Jahr 2004 gesunken. Diese Zahlen verdeutlichen den anhaltenden Trend zu kleineren Haushalten, der bereits sehr lange zu beobachten ist. So bestanden im Jahr 1970 erst 24,6 Prozent aller Haushalte aus nur einer Person und es lebten durchschnittlich noch 2,83 Personen in einem Haushalt. Seitdem hat sich der Anteil der Single-Haushalte um 11,7 Prozentpunkte auf 36,3 Prozent im Jahr 2004 erhöht.
1. Wie viele Privathaushalte gab es im März 2003?
  Privathaushalte
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Dreisatz anwenden.
  $x=$ Anzahl der Privathaushalte im März 2003
  $5.731.000=100{,}9\%$
  $x=100\%$
  $\frac{5.731.000\cdot100\%}{100{,}9\%}\approx5.679.881$
  ⇒ Im März 2003 gab es $5.679.881$ Privathaushalte in Bayern.
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2. Wie groß war der prozentuale Anteil der Singlehaushalte an allen Privathaushalten jeweils im März 2003 und im März 2004?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  $2.082.000=102{,}8\%$
  $x=100\%$
  Bestimme zuerst die Anzahl an Singlehaushalten von 2003 mithilfe des Dreisatzes.
  $\frac{2.082.000\cdot100\%}{102{,}8\%}\approx2.025.292$
  $5.679.421=100\%$
  $2.025.292=x$
  Mit dem Dreisatz rechnest du den prozentualen Anteil der Singlehaushalte an allen Privathaushalten im Jahre 2003 aus.
  $\frac{2.025.292\cdot100\%}{5.679.421}\approx35{,}7\%$
  $5.731.000=100\%$
  $2.082.000=x$
  Mit Dreisatz prozentualen Anteil der Singlehaushalte von 2004 ausrechnen.
  $\frac{2.082.000\cdot100\%}{5.731.000}\approx36{,}3\%$
  $\Rightarrow$ 2003 betrug der prozentuale Anteil der Singlehaushalte $35{,}7\%$ , 2004 $36{,}3\%$ .
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3. Um wie viel Prozent hat sich der Anteil der Mehrpersonenhaushalte (d. h. Haushalte mit mindestens 2 Personen) im Zeitraum von März 2003 bis März 2004 verändert?
  Er hat sich um 1,04% reduziert.
  Er hat sich um 1,04% erhöht.
  Er hat sich um 98,69% verändert.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Zahl der Singlehaushalte (2004) von der Gesamtanzahl der Haushalte (2004) subtrahieren.
  $5.731.000-2.082.000=3.649.000$
  Zahl der Singlehaushalte (2003) von der Gesamtanzahl der Haushalte (2003) subtrahieren.
  $5.679.421-2.025.292=3.654.129$
  Anteil der Mehrpersonenhaushalte im Jahr 2003…
  $\frac{3.654.129}{5.679.421}\approx 64{,}3\%$
  …bzw. 2004 bestimmen.
  $\frac{3.649.000}{5.731.000}\approx\;63{,}7\%$
  Mit Dreisatz prozentualen Unterschied ausrechnen.
  $\frac{3.654.129}{5.679.421}=100\%$
  $\frac{3.649.000}{5.731.000}=x$
  $x=\dfrac{\;\;\frac{3.649.000}{5.731.000}\;\;}{\frac{3.654.129}{5.679.421}}\approx98{,}96\%$
  Wie hat sich der Anteil vom Jahr 2003 zum Jahr 2004 hin verändert?
  $100\%-x=(100-98{,}96)\%=1{,}04\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Von 2003 bis 2004 hat sich der Prozentanteil der Mehrpersonenhaushalte um ca. $1{,}04\%$ reduziert.
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21
Tennisverein
Der Tennisverein in Wolkenheim hat $120$ Mitglieder.
$75\ \%$ davon sind Erwachsene, der restliche Anteil Jugendliche.
Dem Verein treten $10$ Erwachsene und $5$ Jugendliche neu bei.
1. Wie viele Jugendliche sind nach den Neueintritten im Verein?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Zahl der Erwachsenen vorher: $75\ \%$ von $120 = 90$ .
  Zahl der Jugendlichen vorher: $25\ \%$ von $120 = 30$ .
  Zahl der Erwachsenen nachher: $90 + 10 = 100$ . Zahl der Jugendlichen nachher: $30 + 5 = 35$ .
  Denn es kommen $10$ neue erwachsene und $5$ neue jugendliche Mitglieder hinzu.
  $\Rightarrow$ Es sind nun $35$ Jugendliche im Tennisverein.
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2. Wie viel Prozent Erwachsene sind danach im Verein?
  Runde den Prozentsatz auf eine Stelle nach dem Komma.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  $\frac{100}{135}\approx 0{,}741=74{,}1\%$
  Bestimme den Anteil der Erwachsenen ( $100$ Personen) an der neuen Gesamtzahl von Mitgliedern ( $135$ ).
  $\Rightarrow$ Nach den Neuanmeldungen beträgt der Anteil der Erwachsenen $74{,}1\%$
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Du kaufst $100\ kg$ Wintermelonen und bekommst die Information, dass sie zu $99\ \%$ aus Wasser bestehen. Nachdem du sie eine Zeit lang draußen gelagert hast, fällt dir auf, dass sie jetzt noch zu $98\ \%$ aus Wasser bestehen.

Wie viel könnten die nach der Lagerung getrockneten Melonen noch wiegen? Gib eine schnelle Schätzung an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
Die Aufgabenstellung verleitet zu der Vorstellung, dass nur ein Prozent Wasser verdunstet sei und deshalb noch fast das gesamte Gewicht vorhanden sei. Eine schnelle Schätzung könnte also " $98\ kg$ " sein.
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Stell dir vier Gläser mit jeweils $1\ g$ Mehl darin vor. In das erste Glas füllst du $99\ g$ Wasser, in das zweite $98\ g$ , ins dritte $90\ g$ und ins vierte $50\ g$ . Wie hoch ist jeweils der Wassergehalt der Mischungen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent

Mehl [kg]	Wasser [kg]	Gesamtmasse [kg]	Wassergehalt
$1$	$99$	$\bf{100}$	$\dfrac{99}{100}=99\%$
$1$	$98$	$\bf{98}$	$\dfrac{98}{99}=98, \overline{98} \%$
$1$	$90$	$\bf{91}$	$\dfrac{90}{91}=98{,}9010989\%$
$1$	$50$	$\bf{51}$	$\dfrac{50}{51}=98{,}03921569\%$

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Stelle mit diesem Wissen eine neue Vermutung über das Gewicht der gelagerten Melonen an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
Es muss bereits jede Menge Wasser verdunstet sein, wenn der Wassergehalt um einen Prozentpunkt reduziert ist. Eine gute Schätzung wäre jetzt " $50\ kg$ ", was einer Halbierung des Gewichtes entspricht.
Tatsächlich ist dies sogar die Lösung, wie beispielsweise eine Weiterführung der obigen Tabelle zeigt:
Trockenmasse der Melone [kg]
Wasser der Melone [kg]
Gesamtmasse [kg]
Wassergehalt
$1$
$49$
$\bf{50}$
$\dfrac{49}{50}=98\%$
Also erhalten wir genau bei einer Gesamtmasse von $50\ kg$ den geforderten Wassergehalt von $98\ \%$ .
Anmerkungen
Die Aufgabe ist angelehnt an das sogenannte Kartoffelparadoxon. Da aber Kartoffeln in der Relativität einen zu kleinen Wassergehalt haben, werden hier Wintermelonen untersucht.
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Trockenmasse der Melone [kg]	Wasser der Melone [kg]	Gesamtmasse [kg]	Wassergehalt
$1$	$49$	$\bf{50}$	$\dfrac{49}{50}=98\%$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle Gesamteinnahmen$	$=$	$\displaystyle Einnahmen\ Vorverkuf+Einnahmen\ vor\ Ort$
	$=$	$\displaystyle 240\ 000€+150\ 000€$
	$=$	$\displaystyle 390\ 000€$

$\displaystyle \text{Prozentwert}$	$=$	$\displaystyle \text{Grundwert\,}\cdot\text{Prozentsatz}$
	↓	Werte einsetzen. Beachte dabei, für den Prozentsatz von $7\%$ den Wert $\frac{7}{100}=0{,}07$ zu verwenden.
$\displaystyle \text{Prozentwert}$	$=$	$\displaystyle 3228\cdot 0{,}07$
$\displaystyle \text{Prozent}$	$=$	$\displaystyle 225{,}96$

$\displaystyle \frac{1\cdot0\,€+2\cdot7\,€+1\cdot7{,}50\,€+1\cdot8\,€+9\cdot10\,€+6\cdot12\,€+4\cdot15\,€+3\cdot20\,€+1\cdot25\,€}{28}$	$=$	$\displaystyle \frac{336{,}50\,€}{28}$
	$≈$	$\displaystyle 12\,€\;\text{pro Schüler}$

$\displaystyle \frac{2\cdot5\,€+1\cdot6\,€+3\cdot7{,}50\,€+14\cdot10\,€+3\cdot12\,€+3\cdot15\,€+2\cdot20\,€+1\cdot25\,€+1\cdot150\,€}{30}$	$=$	$\displaystyle \frac{474{,}50\,€}{30}$
	$≈$	$\displaystyle 16\;€\;\text{pro Schüler}$

Aufgaben zur Prozentrechnung

Festival

Prozentsatz Fußball

Prozentsatz Tennis

Prozentsatz Handball

Prozentsatz Sonstige

Winkel vom Fußballsektor

Winkel vom Tennissektor

Winkel vom Handballsektor

Winkel vom Sonstigensektor

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Berechnung des Wachstumsfaktors

Alternative zweischrittige Berechnung des Wachstumsfaktors

Alternative Lösung mit Dreisatz

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Klasse 7a:

Klasse 7b:

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5,7 Millionen Haushalte in Bayern im März 2004

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Anmerkungen

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