Exponentialfunktion

Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm $a^x$ die Basis $a$ eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich $1$). Der Exponent enthält die Funktionsvariable $x$. Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor $b$ ist eine beliebige von null verschiedene reelle Zahl.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zu diesem Thema findest du in dem Videokurs zu Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen

• $f(x)=2^x$. Hier ist $b=1$ und $a=2$.

• $f(x)=-\mathrm{1,5}\cdot {\mathrm{0,8}}^x$. Hier ist $b=-\mathrm{1,5}$ und $a=\mathrm{0,8}$.

Beispiele, die keine Exponentialfunktionen sind

• $f(x)=x^2$. Hier ist $f$ eine Potenzfunktion (sogar eine Parabel).

• $f(x)=x^{\mathrm{0,8}}$. Hier ist $f$ eine Wurzelfunktion. Es gilt $x^{\mathrm{0,8}}=\sqrt[5]{x^4}$.

• $f(x)=(-2{)}^x$. Hier ist $f$ z.B. für $x=\mathrm{0,5}$ nicht definiert und es handelt sich um keine Exponentialfunktion, weil $a=-2<0$ ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

• Der maximale Definitionsbereich ist ganz $ℝ$.

• Der maximale Wertebereich ist ${ℝ}^{+}$falls $b>0$ und ${ℝ}^{-}$ falls $b<0$.

• Der Graph schneidet die y-Achse bei dem Wert $b$.

• Der Graph hat die $x$-Achse als Asymptote und hat keine Nullstelle.

Im Fall von $b<0$ werden die Graphen an der $x$-Achse gespiegelt.

Veranschaulichung der Eigenschaften im GeoGebra-Applet

Benutze die Schieberegler $a$ und $b$ des nachfolgenden Geogebra-Applets, um mit dem Verlauf unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut zu werden.

Überzeuge dich insbesondere davon, dass keine Exponentialfunktion der Form $f(x)=b\cdot a^x$ eine Nullstelle hat und dass jede den $y$-Achsenabschnitt $(0|b)$ besitzt.

Exponentialfunktionen beschreiben zeitliche, exponentielle Wachstumsvorgänge und sind deshalb von erheblicher Bedeutung.

Die übliche Schreibweise der dabei betrachteten Funktionen ist $N(t)=N_0\cdot a^t$. $N_0$ entspricht dem Faktor $b$ und misst den Anfangswert der Veränderung. Der Wachstumsfaktor heißt $a$.

Ist $a<1$, dann handelt es sich bei positivem $N_0$ um ein abnehmendes Wachstum.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für $f(x)=a^x$ ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

Natürliche Exponentialfunktion

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis $e$, der Eulerschen Zahl, zurückführen:

Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von $f(x)=a^x$ ist gegeben durch:

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion $F(x)$ einer Exponentialfunktion $f(x)=a^x$ ist: