Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. (2 BE)

%%(x+y)^2-(x-y)^2=%%

%%(x+y)^2-(x-y)^2=%%

Um die Klammern aufzulösen, benötigst du die binomischen Formeln. Achte beim Auflösen darauf, dass du den zweiten Term in Klammern schreiben musst, da vor dem Ausdruck ein Minus steht.

%%x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)=%%

Löse nun die Klammer auf.

%%x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=%%

Nun kannst du die Summanden zusammenfassen.

%%=4xy%%

Die Abbildung zeigt eine zur Normalparabel kongruente Parabel mit der Gleichung y=f(x).

Geben Sie einen passenden Term f(x) an. (1 BE)

Funktionsterm einer Parabel

Um einen Term für %%f(x)%% anzugeben, überlegst du dir als erstes die allgemeine Scheitelform einer Parabel: %%f(x)=a(x-d)^2+e%%. Nun überlegst du dir den Wert der einzelnen Parameter.

%%a=-1%%

%%a%% ist negativ, weil die Parabel nach unten geöffnet ist. %%|a|=1%%, da die Öffnung der einer Normalparabel entspricht. Das kann man daran erkennen, dass wenn man vom Scheitel aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach unten geht, ist man wieder auf der Parabel.

%%d=0%%

Der %%x%%-Wert des Scheitels ist %%0%%.

%%e=5%%

Der %%y%%-Wert des Scheitels ist %%5%%.

Damit erhältst du für %%f(x)%%, wenn du die Werte einsetzt:

%%f(x)=-1 \cdot(x-0)^2+5=-x^2+5%%

Zeichnen Sie die Gerade g mit der Gleichung y=2-%%\frac32%% x in die Abbildung ein. (1 BE)

Graph einer Funktion zeichnen

Um die Gerade %%y=2-\frac32 x%% einzuzeichnen, markierst du dir zuerst den %%y%%-Achsenabschnitt auf der %%y%%-Achse.

Hier hat er den Wert %%2%%, also liegt der Punkt %%Y (0|2)%% auf der Gerade.

Von dort aus ausgehend, zeichnest du dir ein Steigungsdreieck mit %%\Delta y=3%% und %%\Delta x=2%% ein.

Nun kannst du die Gerade zeichnen.

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Koordinaten der Punkte ermitteln kann, in denen sich die Parabel und die Gerade schneiden. (2 BE)

Gleichsetzung zweier Funktionen

Um die Koordinaten der Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade zu berechnen, setzt man zuerst die beiden Gleichungen gleich.

Danach bringt man alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite %%0%% steht und man die Mitternachtsformel zur Lösung der quadratischen Gleichung verwenden kann. Dadurch hat man die %%x%%-Werte der Schnittpunkte erhalten.

Um die zugehörigen %%y%%-Werte zu ermitteln, setzt man schließlich in eine der beiden Funktionen (entweder Parabelfunktion oder Geradenfunktion) ein.

Damit hat man beide Schnittpunkte vollständig ausgerechnet.

Der im Folgenden als konstant angenommene Flächeninhalt der Wasserfläche des Bodensees beträgt ungefähr 500 Millionen m². Im langjährigen Durchschnitt enthält der See 50 Milliarden m³ Wasser. Das nebenstehende Diagramm zeigt vereinfacht für das Jahr 2013 die Abweichungen des Wasserstands des Sees gegenüber dem langjährigen Durchschnitt.

Kreuzen Sie an, in welchem Monat der Wasserstand des Bodensees im Jahr 2013 laut Diagramm am stärksten angestiegen ist. (1 BE)

Schau nochmal genau hin.

Leider falsch

Achte auf die Steigung.

Achte auf die Steigung.

Bist du dir wirklich sicher?

Sehr gut.

Steigung am Diagramm ablesen

Um einen Anstieg auszurechnen, ziehst du vom Endwert den Anfangswert ab. Der größte Anstieg ist also in dem Bereich, wo die Differenz zwischen zwei Punkten am größten ist.

Das ist, wie du am Diagramm sehen kannst zwischen dem 1. Mai und dem 1. Juni der Fall. Also ist der Anstieg im Mai am größten.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Wasserinhalt des Sees am 1. Juli 2013 größer als der langjährige Durchschnittswert war. (2 BE)

Prozentuale Abweichung des Wasserspiegels

Für die Bestimmung der prozentualen Abweichung vom langjährigen Durchschnitt benötigst du als Erstes den zusätzlichen Wasserinhalt am 1. Juli. Diesen berechnest du, indem du die Seeoberfläche mit der zusätzlichen Höhe multiplizierst. Diese kannst du aus dem Diagramm ablesen, sie ist %%1%% m.

%%V_{Juli}= 500 \text{ Mio m}^2 \cdot 1 \text{ m}= 500 \text{ Mio m}^3%%

Nun kannst du den gefragten Prozentsatz berechnen. Der Grundwert ist das Volumen des Sees im langjährigen Mittel, der Prozentwert ist das zusätzliche Volumen am 1. Juli. Benutze die Prozentformel:

%%\text{PS}\cdot \text{GW}=\text{PW}%%

Stelle sie nach dem Prozentsatz um und setze die Größen ein.

%%\text{PS}=\displaystyle\frac{\text{PW}}{\text{GW}}=\frac{500 \text{ Mio m}^3}{50 \text{ Mrd m}^3}%%

Wandle Millionen und Milliarden in 10er-Potenzen um.

%%= \displaystyle\frac{500\cdot 10^6\text{ m}^3}{50 \cdot 10^9\text{ m}^3}%%

Kürze den Bruch.

%%=\displaystyle\frac{100}{10\cdot 10^3}=\frac1{100}=1\% %%

Der Wasserinhalt war um 1% größer als der langjährige Durchschnitt.

Geben Sie den Flächeninhalt der Wasserfläche des Bodensees in km² an. (1 BE)

Flächeninhalt des Bodensees

Der Flächeinhalt des Bodensees sind %%500 \text{ Mio m}^2= 500 \cdot 10^6 \text{ m}^2%%. Ein Kilometer sind %%1000%% m , also ist ein Quadratkilometer %%\text{km}^2= 1000 \text{ m} \cdot 1000 \text{ m}= 10^6 \text{ m}^2%%. Also sind %%500 \cdot 10^6 \text{ m}^2= 500 \text{ km}^2%%.

Auf einer Informationstafel steht, dass auf der Wasserfläche des Bodensees 2 Milliarden Menschen Platz fänden. Machen Sie diese Aussage plausibel. (1 BE)

2 Milliarden Menschen auf dem Bodensee

Um die Aussage plausibel zu machen, solltest du sie in einen kleineren, vorstellbaren Zusammenhang bringen. Du kannst zum Beispiel ausrechnen, wie viele Menschen dann auf jedem Quadratmeter stehen würde. 2 Milliarden Menschen auf dem Bodensee mit einer Fläche von %%500 \text{ Mio m}^2%% bedeutet, dass pro Quadratmeter

%%2 \text{ Mrd}: 500 \text{ Mio m}^2 = 2\, 000 \text{ Mio}: 500 \text{ Mio m}^2 = 4%%

Menschen stehen würden, was eine realistische Größe ist.

Ein mit den Ziffern von 1 bis 6 beschrifteter Laplace-Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Geben Sie dazu in Worten ein Ereignis an, das die Wahrscheinlichkeit (%%\frac56%%)³ hat. (1 BE)

Zufallsereignisse

Du würfelst den Würfel drei Mal hintereinander und willst für dein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von %%(\frac56)^3=\frac56\cdot \frac56\cdot \frac56%% erhalten. Das heißt du benötigst bei jedem einzelnen Wurf eine Wahrscheinlichkeit von %%\frac56%%.

Ein Würfel hat sechs mögliche Ergebnisse, die Zahlen von %%1%% bis %%6%%. Wenn du eine Wahrscheinlichkeit von %%\frac56%% hast, dann kommen fünf dieser Ergebnisse in Frage. Also wäre hier eine Möglichkeit: "Es wird keine %%6%% gewürfelt."

Für drei Mal Würfeln wäre es dann beispielsweise: "Man würfelt dreimal und erhält keine %%6%%".

Es muss aber nicht zwingend drei Mal das gleiche Ereignis sein, weil die einzelnen Würfe voneinander unabhängig sind. Möglich wäre auch "Beim ersten Mal wird keine %%6%% gewürfelt, beim zweiten Wurf keine %%5%% und beim dritten Wurf keine %%3%%."

Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten r, s und t sowie den Innenwinkeln %%\alpha%% und %%\beta%%. Kreuzen Sie jeweils nur die zutreffenden Aussagen an.

Welche Aussage(n) ist (sind) richtig?

Schau dir nochmal genau an, ob das wirklich der Cosinus von %%\beta%% ist.

Das ist leider nicht der Tangens von %%\alpha%%.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Sinus, Cosinus und Tangens am Dreieck

Überlege dir als erstes, welche der Dreiecksseiten die Hypotenuse, die Gegen- und die Ankathete zu jeweils %%\alpha%% und %%\beta%% sind.

Bezüglich %%\alpha%% ist %%t%% die Hypotenuse, %%r%% die Gegenkathete und %%s%% die Ankathete.

Überprüfe nun die Sinus-Formel:

%%\sin\alpha=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{r}{t}%%

Damit stimmt die angegebene Sinus-Formel.

Verfahre genauso für die Tangens-Formel:

%%\tan\alpha=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{r}{s}%%

Also stimmt hier die letzte Formel und die vorletzte nicht.

Nun noch zu %%\beta%%: Hier ist %%t%% die Hypotenuse, %%s%% die Gegenkathete und %%r%% die Ankathete.

Überprüfe schließlich die Kosinus-Formel:

%%\cos \beta= \displaystyle\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{r}{t}%%

Die Kosinus-Formel ist falsch.

Also musst du bei der ersten und der letzten Gleichung ein Kreuz setzen.

Welche Aussage(n) ist (sind) richtig?

Leider falsch.

Noch nicht ganz.

Schau dir den Satz des Pythagoras nochmal genau an.

Super.

Satz des Pythagoras am Dreieck

Der Satz des Pythagoras in diesem Dreieck besagt: %%t^2=r^2+s^2%%.

Löse nun nach den einzelnen Variablen auf:

%%t=\sqrt{r^2+s^2}%%, %%r=\sqrt{t^2-s^2}%% und %%s=\sqrt{t^2-r^2}%%

Jetzt stellst du durch Vergleichen deiner Formeln mit denen angebotenen fest, dass nur die zweite Formel in der Aufgabenstellung richtig ist.

Die Abbildung zeigt eines der ersten Windräder Bayerns, das im Jahr 1995 in Schnaitsee (Oberbayern) errichtet wurde.

Schätzen Sie mithilfe der Abbildung Radius und Inhalt der vom Rotor über strichenen Kreisfläche ab. (2 BE)

Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.

Flächeninhalt und Radiusdes Rotorenblattkreises

Den Flächeinhalt eines Kreises berechnest du mit Hilfe der Formel: %%A=\pi r^2%%. Du benötigst hierfür den Radius, was hier der Länge eines Rotorblatts entspricht.

Ein Rotorblatt ist ca. 4 Autolängen lang, was du durch ausmessen feststellen kannst. Du weißt, dass ein Auto ungefähr %%4%% m lang ist, also ist das Rotorblatt in etwa %%4\cdot 4 = 16%% m lang.

Nun kannst du in die Formel einsetzen. Du darfst für %%\pi%% die Zahl %%3%% verwenden:

%%A=\pi r^2= 3 \cdot (16 \text{ m})^2= 3 \cdot 256 \text{ m}^2 = 768\text{ m}^2%%

Also ist die überstrichene Kreisfläche etwa %%770 \text{ m}^2%%.

Für die von einem Windrad erzeugte elektrische Leistung P gilt P=c %%\cdot%% A %%\cdot%% v³. Dabei ist v die Windgeschwindigkeit, A der Inhalt der vom Rotor überstrichenen Kreisfläche und c eine vom speziellen Windrad abhängige Konstante.

Entscheiden Sie anhand der Formel: Wenn sich die Windgeschwindigkeit verdoppelt, so

Die windstärke verdoppelt sich nur.

Das ist leider nicht richtig.

Achtung es wird mit "hoch 3" und nicht mit " mal 3" gerechnet.

Achte auf die 3 im Exponenten von v.

Schau dir den Exponenten von v nochmal genau an.

Das stimmt.

Verdopplung der Windgeschwindigkeit

Du willst wissen, was passiert, wenn du die Winkelgeschwindigkeit verdoppelst. Die Winkelgeschwindigkeit steht in der Formel mit einem %%v^3%%, also steht auch die doppelte Winkelgeschwindigkeit mit einem hoch %%3%% in der Formel: %%(2v)^3= 8 \cdot v^3%%. Das entspricht %%8%% mal dem ursprünglichen Winkelgeschwindigkeitsterm.

Damit verachtfacht sich die Leistung.

Bekanntlich besitzt jedes Dreieck einen Umkreis, d. h. einen Kreis, auf dem alle Eckpunkte des Dreiecks liegen.

Zeichnen Sie ein Viereck, das offensichtlich keinen Umkreis besitzt. (1 BE)

Viereck ohne Umkreis

Um ein Viereck zu erhalten, dass sicher keinen Umkreis besitzt, zeichnest du als erstes einen Kreis. Auf diesen Kreis setzt du drei deiner Punkte (hier die Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%%) und den vierten Punkt (hier %%D%%) wählst du irgendwo außerhalb oder innerhalb des Kreises. So gibt es garantiert keinen Kreis, der durch diese vier Punkte geht und damit hat das Viereck aus diesen Punkten auch keinen Umkreis.

Begründen Sie: Jedes Viereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln besitzt einen Umkreis. (2 BE)

Hinweis: In der Begründung können die Bezeichnungen der abgebildeten Überlegungsfigur verwendet werden.

Umkreis eines Vierecks

Du kannst jedes Viereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln in zwei rechtwinklige Dreiecke mit der selben Grundlinie teilen.

Du weißt, dass man bei jedem rechtwinkligen Dreieck einen Thaleskreis mit dem Radius %%\frac12 \cdot \text{ Grundlinie}%% durch alle drei Eckpunkte zeichnen kann, wenn der Mittelpunkt auf der Hälfte der Grundlinie liegt.

Dadurch, dass beide rechtwinklige Dreiecke die selbe Grundlinie besitzen, ist der Mittelpunkt und der Radius beider Thaleskreise derselbe. Damit ist es also zweimal der gleiche Kreis. Das heißt es gibt einen Kreis (den Thaleskreis), der gleichzeitig durch alle vier Eckpunkte geht. Also gibt es einen Umkreis.

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