Aufgaben

Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche %%1,55\text{ m}%% groß ist, auf ebener Straße einen %%12 \text{ m}%% langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

Skizze zur Aufgabenstellung

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Vorüberlegung und Lösungsplan

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Das Dreieck %%\triangle AKF%% hat bei %%F%% einen rechten Winkel.
Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.

Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,

  • welche Seite die Hypotenuse im Dreieck %%\triangle AKF%% ist,

und

  • welche Seite die Ankathete zu %%\alpha%%,

  • und welche die Gegenkathete zu %%\alpha%% ist.

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
  • Hypotenuse:

Seite [AK]

mit %%\overline {\mathrm{AK}}= ?%%

  • Ankathete zum Winkel %%\alpha%%:

Seite [FA]

mit %%\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}%%

  • Gegenkathete zum Winkel %%\alpha%%:

Seite [FK]

mit %%\overline {\mathrm{FK}}= 1,55\, \mathrm{m}%%

Die Formeln für sin, cos und tan lauten:

%%\sin \phi = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}%%

%%\cos \phi = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}%%

%%\tan \phi = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}%%

Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.

%%\rightarrow%% Löse die Aufgabe mit dem Tangens.

Lösung der Aufgabe

%%\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}%%

Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.

%%\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}%%

Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.

%%\tan \alpha = \frac {1,55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0,129%%

Um daraus den Winkel %%\alpha%% zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion %%\tan^{-1}%% an.

%%\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7,4^\circ%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von %%7,4^\circ%% auf die Straße.

Eine Tanne wirft einen 20 m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von %%31^\circ%% auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.

 

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

Skizze

$$\tan\left(31^\circ\right)=\frac{h}{20m}$$

%%\,%%

%%\left|{\cdot20m}\right.%%

%%h=\tan\left(31^\circ\right)\cdot20m%%

 

%%h=12m%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Höhe der Tanne beträgt %%12m%%.

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke %%\overline{\mathrm{AB}}=80m%% abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird %%\alpha=38^\circ%% gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.

 

 

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

1. Skizze zeichnen

 

Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

2. Breite berechnen

 

%%\tan\left(38^\circ\right)=a:80\,m%%

%%\left|{\cdot80\,m}\right.%%

%%a=\tan\left(38^\circ\right)\cdot80\,m%%

 

%%a=62,5\,m%%

 

Antwort: Der Fluss ist %%62,5\,m%% breit

Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von  %%43^\circ%% . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?

Zugbrücke einer Burg - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

In dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Berechnungen im rechtwickligen Dreieck.

%%\sin\left(43^\circ\right)=\frac{8m}{\text{Kettenlänge}}%%

%%\left|{:\sin\left(43^\circ\right)\;\left|\cdot\right.}\right.%% Kettenlänge

Kettenlänge %%=\frac{8m}{\sin\left(43^\circ\right)}%%

Kettenlänge %%\approx11,7m%%

"Fliegen" hinter dem Motorboot. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.

Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?

Thema dieser Aufgabe ist der Sinus, Kosinus und Tangens.

Geg: Hypothenuse %%=100\;m%%, %%\alpha =50^\circ%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: rechtwinkliges Dreieck mit 50°-Winkel

Mit Hilfe des Sinus %%h%% berechnen.

%%\sin\left(50^\circ\right)=\frac h{100 \;m} \quad \quad \left|\cdot100\;m\right.%%

Nach %%h%% umformen .  

%%h=\sin\left(50^\circ\right)\cdot100\;m%%

%%h=76,6\;m%%

%%\Rightarrow\;\;%% Der Flieger ist %%76,6\; m%% über dem Wasser.

Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.

Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: Hypothenuse=100m, %%\alpha%% =50°

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 100m. Kathete 20m

Mit Hilfe des Sinus h berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{20m}{100m}%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\alpha=11,5^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.

Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel

zwischen einer Diagonalen und den Seiten

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=7cm; b= 18cm

ges: %%\alpha,\;\beta,\;%%

Zum Verständnis eine Skizze anfertigen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5324_rVxxa8b9gs.xml

%%\alpha%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac ab%%

Werte einstetzen und %%\alpha%% mit Hilfe des Taschenrechners berechnen.

%%\alpha=21,3^\circ%%

%%\beta%% berechnen, da wir wissen, dass %%\alpha%% und %%\beta%% zusammen 90° ergeben.

%%\beta=90^\circ-21,3^\circ=68,7^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Der Winkel %%\alpha%% beträgt 21,3°, %%\beta%% beträgt 68,7°.

zwischen beiden Diagonalen

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: %%\alpha=68,7^\circ;\;\beta=21,3^\circ%%

ges: %%\gamma,\;\delta%%

Zum Verständnis eine Skizze anfertigen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5324_rVxxa8b9gs.xml

%%\delta%% ist 2 %%\alpha%% , weil %%\delta%% + %%\gamma%% =180° und 

%%\gamma%% +2 %%\alpha%% =180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.

%%\Rightarrow%% %%\delta%% + %%\gamma%% = %%\gamma%% +2 %%\alpha%%

%%\Rightarrow%% %%\delta%% =2 %%\alpha%%

Deswegen  %%\alpha%% verdoppeln.

%%\delta=2\cdot68,7^\circ=137,4^\circ%%

%%\gamma%% und %%\delta%% bilden 180°.

%%\gamma=180^\circ-137,4^\circ=42,6^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Der Winkel  %%\gamma%% beträgt 42,6°,  %%\delta%% beträgt 137,4°.

In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.

Berechne die Dammhöhe.

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a = 18 m; b = 8 m; %%\alpha%% = 50°

ges: h

Zum Verständnis eine Skizze zeichnen.

Skizze zur Aufgabe: trapezförmiger Querschnitt durch den Damm

x berechnen, indem man b von a subtrahiert und das Ergebnis halbiert.

%%x=\frac{18\,\mathrm{m}-8\,\mathrm{m}}2=5\,\mathrm{m}%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac hx%%

Nach h umformen und Werte einsertzen.

%%h=5\,\mathrm{m}\cdot\tan\left(50^\circ\right)%%

Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .

%%h=6\,\mathrm{m}%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Dammhöhe beträgt 6 m.

Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite  %%b=113m%% hat den Winkel %%\alpha=39^\circ%% . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel %%\beta%% .

Sinus, Cosinus und Tangens

1. Skizze zeichnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/1786.xml

2. Berechnen

 

%%\cos\left(39^\circ\right)=113m:c%%

%%\left|{\cdot c\;\left|{:\cos\left(39^\circ\right)}\right.}\right.%%

%%c=113m:\cos\left(39^\circ\right)%%

 

%%c=145m%%

 

%%\beta=180^\circ-90^\circ-39^\circ%%

%%\beta%% ausrechnen, indem man alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abzieht.

%%\beta=51^\circ%%

 

%%\sin\left(39^\circ\right)=a:145m%%

%%\left|{\cdot145m}\right.%%

%%a=\sin\left(39^\circ\right)\cdot145m%%

 

%%a=91m%%

 

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit %%a=b%%. Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind.

Zu text-exercise-group 11369:
Nish 2019-01-13 17:05:54+0100
Bitte die Lösungen aller Teilaufgaben bei Gelegenheit nach den neuen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeiten.

LG,
Nish
Antwort abschicken

a=44,2cm

c=63,4cm

geg: a=b= 44,2cm  c=63,4cm

ges: h, %%\alpha,\;\beta,\;\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst %%x%% berechnen.

%%x=\frac c2%%

 

%%x=\frac{63,4cm}2=31,7cm%%

%%h%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%h=\sqrt{a^2-x^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%h=\sqrt{\left(44,2cm\right)^2-\left(31,7cm\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%h=\sqrt{1953,64cm^2-1004,89cm^2}%%

%%h=\sqrt{948,75cm^2}%%

Wurzel ziehen.

%%h=30,8cm%%

%%\alpha%% mit Hilfe von Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Werte einsetzen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{30,8cm}{44,2cm}%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\alpha=44,2^\circ=\beta%%, da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit %%a=b%% handelt.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot44,2^\circ%%

%%\gamma=91,6^\circ%%

  %%\Rightarrow%% %%h=30,8cm;\alpha=\beta=44,2^\circ;\gamma=91,6^\circ%%

Achtung: Das Dreieck %%ABC%% ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel %%90°%% groß ist.

a=114,5m

%%\alpha%% =32,3°

geg: %%a=b= 114,5\,m%%  %%\alpha=\beta%% =32,3°

ges: %%c%%, %%h%%, %%\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot32,3^\circ=115,4^\circ%%

 

%%h%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%h%% umstellen und Werte einsetzen.

%%h=114,5m\cdot\sin\left(32,3^\circ\right)%%

%%h=61,2m%%

%%x%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%x=\sqrt{a^2-h^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%x=\sqrt{\left(114,5m\right)^2-\left(61,2m\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%x=\sqrt{13110,25m^2-3745,44m^2}%%

%%x=\sqrt{9364,81m^2}%%

Wurzel ziehen.

%%x=96,8cm%%

 

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot96,8m=193,6m%%

  %%\Rightarrow%% %%h=61,2\,m; c=193,6\,m;\gamma=115,4^\circ%%

c=35,4cm

%%\beta%% =43,9°

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: c=35,4cm  %%\beta=\alpha%% =43,9°

ges: a, b, h, %%\gamma%% , x

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5310_IjxY3uHftI.xml

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot43,9^\circ=92,2^\circ%%

 

x berechnen, indem man die Seite c halbiert.

%%x=\frac{35,4cm}2=17,7cm%%

a mit Hilfe des Cosinus berechnen.

%%\cos\left(\beta\right)=\frac xa%%

Nach a umstellen und Werte einsetzen.

%%a=\frac{17,7cm}{\cos\left(43,9^\circ\right)}%%

%%a=24,6cm%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach h umstellen und Werte einsetzen.

%%h=17,7cm\cdot\tan\left(43,9^\circ\right)%%

%%h=17,0cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\alpha=43,9^\circ;\;\gamma=92,2^\circ;\;a=b=24,6cm;\;h=17,0cm\;%%

h=14,8cm

%%\alpha=\beta=%% 28,3°

Geg.: %%h=14,8cm%%; %%\alpha=\beta= 28,3^\circ%%

Ges.: %%\beta,\gamma,c, b, a%%

Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel (hier: %%\alpha%% und %%\beta%%) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%), kannst %%\gamma%% mit dieser Information direkt ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot28,3^\circ=123.4^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{14,8cm}{\tan\left(28,3^\circ\right)}%%

%%x=27,5cm%%

%%c%% erhälst du, indem du die Seite %%x%% verdoppelst (siehe Skizze).

%%c=2\cdot27,5cm%%

%%c=55cm%%

%%b%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%b%% umstellen und Werte einsetzen.

%%b=\frac{14,8cm}{\sin\left(28,3^\circ\right)}%%

%%b=31,2cm%%

Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge %%a%% gerade gleich der Seitenlänge %%b%%.

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\gamma=123,4^\circ;\;c=55cm;\;a=b=31,2cm%%

a=146,4m

h=58,4m

geg: %%a=b=146,4 \, m%%; %%h=58,4\, m%%

ges: %%c%%, %%\gamma,\;\alpha,\;\beta%% , %%x%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

%%\beta%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\beta\right)=\frac ha%%

Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\beta=23,5^\circ%%

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot23,5^\circ=133^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{58,4m}{\tan\left(23,5^\circ\right)}%%

%%x=134,3m%%

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot134,3m=268,6m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%b=146,4m;\;\alpha=\beta=23,5^\circ;\;\gamma=133^\circ;\;c=268,5m%%

Im Kreis mit dem Radius r=10cm gehört zur Sehne s der Mittelpunktswinkel %%\alpha=84^\circ%%

Wie lang ist die Sehne?

Sinus, Kosinus und Tangens

Thema dieser Aufgabe ist das Anwenden von Sinus, Kosinus und Tangens.

Geg.: %%r=10\,cm%%; %%\alpha =84^\circ%%

Ges.: %%x%%

 Zum Verständnis die Skizze zeichnen.

Skizze

Skizze zur Aufgabe mit Sinus, Kosinus und Tangens

Mit Hilfe des Sinus %%x%% berechnen.

%%\sin\left(\frac\alpha2\right)=\frac xr%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=10cm\cdot\sin\left(\frac{84^\circ}2\right)%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%x%% berechnen.

%%x=6,7cm%%

Da %%x%% die Hälfte der Sehne %%s%% ist, %%x%% verdoppeln.

%%s=2\cdot6,7cm=13,4cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Länge der Sehne beträgt %%13,4\,cm%%.

Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel α\alpha.
Quader mit Diagonalen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Sinus, Kosinus und Tangens

Der gesuchte Winkel α\alpha liegt in einem Dreieck, das begrenzt wird von
Skizze zur Aufgabe: Dreieck aus Kante, Flächendiagonale und Raumdiagonale
  • einer Kante, die die Länge 2cm2 \, \mathrm{cm} hat,
    
  • einer Flächendiagonale (die zu dem Rechteck mit den Seitenlängen 3cm3 \, \mathrm{cm} und 4cm4 \, \mathrm{cm} gehört), (in der Skizze hier mit ff_{ }^{ } bezeichnet)

  • einer der Raumdiagonalen des Quaders (in der Skizze hier mit dd^{ } bezeichnet).
Dieses Dreieck ist rechtwinklig.
Die Raumdiagonale des Quaders ist in diesem Dreieck die Hypotenuse.
Für die Aufgabe gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
  • Du kannst ff_{ } ausrechnen und dann die Aufgabe mit dem Tangens lösen.
  • oder dd_{ } ausrechnen und die Aufgabe mit dem Sinus lösen.
Allerdings ist ff leichter auszurechnen als dd_{ }, und deshalb die Lösung mit dem Tangens zu empfehlen.

Lösung mit tan

Seitenfläche mit Flächendiagonale f
Die Flächendiagonale ff kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen:
f²=(3cm)²+(4cm)²f²=(3\,\mathrm{cm})²+(4\,\mathrm{cm})²
f²=9cm²+16cm²f²=9\,\mathrm{cm}²+16\,\mathrm{cm}²
f²=25cm²f²=25\,\mathrm{cm}²
f=25cm²f=\sqrt{25\,\mathrm{cm}²}
f=5cm\Rightarrow f=5\,\mathrm{cm}

Skizze Dreieck - Winkelberechnung mit Tangens
Nachdem du nun die Länge von ff kennst, kannst du den Winkel α\alpha mit dem Tangens ausrechnen:
tanα=GegenkatheteAnkathete\tan \alpha = \dfrac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}
Das bedeutet hier:
tanα=2cmf\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{f}, also
tanα=2cm5cm=25\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=\dfrac{2}{5}

Durch Anwenden von tan1\tan ^{-1} (mit dem Taschenrechner) erhältst du daraus:
α=tan1(25)21,8°\alpha = \tan ^{-1} (\frac{2}{5} )\approx 21,8°

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (rot markiert) der Dreiecke.

Zu text-exercise-group 57741:
R_J 2017-10-29 09:01:21+0100
Wie kommt man bei a) für alpha auf 30,07? Denn wenn ich sinhoch-1(12,7/24,9) in den Taschenrechner eingebe kommt 34,07 raus...
Nish 2017-10-29 12:31:37+0100
Hi,

ich komme immer noch auf 30,6665... also ungefähr 30,7. Gerechnet habe ich das Gleiche wie du bzw. wie es in der Lösung steht.

Kannst du es nochmal probieren oder hast du mittlerweile deinen Fehler gefunden? Vllt. hast du noch ein vorher gespeichertes Ergebnis in diese Rechnung unbewusst mitgenommen und so hat sich dein Ergebnis verfälscht. Anders kann ich es mir gerade nicht erklären.

Falls du immer noch das gleiche Ergebnis bekommst und nicht weiß, was du falsch machst. Meld dich gerne nochmal hier oder gerne auch per Mail an nishanth@serlo.org.

LG,
Nish
Renate 2017-10-30 07:13:00+0100
Hallo R_J, hallo Nish,
ich habe es gerade ausprobiert: Ich bekomme ca. 34,07 heraus, wenn der Taschenrechner auf Neugrad umgeschaltet ist!

Ein Taschenrechner, der sin, cos und tan kann, hat in der Regel drei mögliche Einstellungen:
- eine für normales Gradmaß; diese wird in der Regel bei den heutigen Taschenrechnern mit DEG bezeichnet (DEG für "degree" (engl.)). In der Anzeige steht dann bei dieser Einstellunge evtl. "DEG" oder auch nur ein kleines "D".
- eine für das Bogenmaß, normalerweise mit RAD bezeichnet; in der Anzeige erscheint evtl. auch nur ein "R"
- und eine für Neugrad, bei meinem Taschenrechner mit GRAD bezeichnet; in der Anzeige sieht man dann bei manchen Rechnern ein "G".

Neugrad bezeichnet eine Art der Winkelmessung, bei der der rechte Winkel als 100 Neugrad (statt 90 Grad) gezählt wird - daher entsprechen 30,7° dann ungefähr 34,07 Neugrad.

@R_J, hast du vielleicht schon öfters mal Ergebnisse herausbekommen, die immer ein klein wenig anders waren als das, was die anderen heraus hatten?
Einer Nachhilfeschülerin von mir ist das nämlich mal passiert: Sie erzählte mir, dass sie ständig etwas andere Ergebnisse habe als die anderen - wir gingen der Sache nach und stellten dann fest, dass ihr Rechner auf "G" stand. ;)

Viele Grüße
Renate
Nish 2017-10-31 11:57:27+0100
Cool, Renate, dass du es rausgefunden hast! :)
Antwort abschicken

$$\gamma = 90^\circ$$ $$a=12{,}7\,\mathrm{cm}$$ $$c= 24{,}9\,\mathrm{cm}$$

%%\alpha%% berechnen

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{12,7\,\mathrm{cm}}{24,9\,\mathrm{cm}}%%

%%\alpha=30{,}7^\circ%%

%%\beta%% berechnen

%%\beta%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\beta=180^\circ-90^\circ-30{,}7^\circ%%

%%\beta=59{,}3^\circ%%

%%b%% berechnen

%%b%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%\left(24{,}9\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(12{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2%%

%%|{}-\left(12{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=\left(24{,}9\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(12{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=458{,}72\,\mathrm{cm}^2%%

%%b\approx21{,}4\,\mathrm{cm}%%

$$\alpha = 90^\circ$$ $$b= 420\,\mathrm m$$ $$a= 645\,\mathrm m$$

%%\beta%% berechnen

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{420\,\mathrm m}{645\,\mathrm m}%%

%%\beta=40{,}6^\circ%%

%%\gamma%% berechnen

%%\gamma%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\gamma=180^\circ-90^\circ-40{,}6^\circ=49{,}4^\circ%%

%%c%% berechnen

%%c%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%(645\,\mathrm m)^2=(420\,\mathrm m)^2+c^2%%

%%c^2= (645\,\mathrm m)^2 - (420\,\mathrm m)^2%%

%%c^2=239\,625\,\mathrm m^2%%

%%c\approx490\,\mathrm m%%

$$\beta=90^\circ$$ $$c=15{,}8\,\mathrm{cm}$$ $$a=30{,}7\,\mathrm{cm}$$

%%b%% berechnen

%%b%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%b^2=\left(30{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+\left(15{,}8\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=1192{,}13\,\mathrm{cm}^2%%

%%b=34{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%\alpha%% berechnen

%%\cos\left(\alpha\right)=15{,}8\,\mathrm{cm}:34{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%\alpha=62{,}7^\circ%%

%%\gamma%% berechnen

%%\gamma%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\gamma=180^\circ-90^\circ-62{,}7^\circ%%

%%\gamma=27{,}3^\circ%%

$$\gamma=90^\circ$$ $$\alpha=35^\circ$$ $$c=12{,}5\,\mathrm{cm}$$

%%\beta%% berechnen

%%\beta%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\beta=180^\circ-90^\circ-35^\circ%%

%%\beta=55^\circ%%

%%a%% berechnen

%%\sin\left(35^\circ\right)=\frac{a}{12,5\,\mathrm{cm}}%%

%%|{}\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%a=\sin\left(35^\circ\right)\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%a=7{,}2\,\mathrm{cm}%%

%%b%% berechnen

%%b%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%c^2=a^2+b^2%%

%%\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2%%

%%|{}-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2\approx104{,}4\,\mathrm{cm}^2%%

%%b\approx10{,}2\,\mathrm{cm}%%

%%b%% berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac bc%%

Nach %%b%% umstellen.

%%b = \cos\left( \alpha \right) \cdot c \approx 10{,}2\,\mathrm{cm}%%

$$\alpha=90^\circ$$ $$\gamma=40{,}3^\circ$$ $$a=10{,}5\,\mathrm{cm}$$

%%\beta%% berechnen

%%\beta%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\beta=180^\circ-90^\circ-40{,}3^\circ%%

%%\beta=49{,}7^\circ%%

%%b%% berechnen

%%\sin\left(49{,}7^\circ\right)=\frac{b}{10,5\,\mathrm{cm}}%%

%%|{}\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%b=\sin\left(49{,}7^\circ\right)\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%b\approx8\,\mathrm{cm}%%

%%c%% berechnen

%%c%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%\left(10{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=c^2+\left(8\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%c^2=46{,}25\,\mathrm{cm}^2%%

%%c\approx6{,}8\,\mathrm{cm}%%

Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit %%a=5\text{ cm}%% und %%\alpha= 75°%% die Seitenlänge von %%b%%.

Rechtwinkliges Dreieck Aufgabe Tangens

Geg.: %%a=5 \text{ cm} \\ \alpha=75°%%

Ges.: %%b%%

Die Gegenkathete von %%\alpha%% ist gegeben und gesucht ist die Ankathete von %%\alpha%%. Verwende daher den Tangens von %%\alpha%%.

$$\tan(\alpha)=\frac ab$$

Löse nach %%b%% auf.

$$b=\frac a{\tan(\alpha)}$$

Setze %%a=5\,\text{cm}%% und %%\alpha=75°%% in die Gleichung ein.

$$b=\frac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)} \approx 1{,}34\,\text{cm}$$

Kommentieren Kommentare