Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die darüber Auskunft gibt ob und wo sich eine Funktion ableiten lässt.

Eine Funktion %%f%% heißt differenzierbar an einer Stelle %%x_0%% ihres Definitionsbereichs, falls der Differentialquotient existiert:

%%\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}%%

Wir nennen dann diesen Grenzwert Ableitung an der Stelle %%x_0%%.

Anschaulich bedeutet das, dass der Graph von %%f%% an der Stelle %%x_0%% eine eindeutige und nicht senkrechte Tangente besitzt. Der Grenzwert und damit die Ableitung gibt die Steigung dieser Tangente an.

Ist %%f%% an jeder Stelle der Definitionsmenge differenzierbar, so nennt man %%f%% differenzierbar.

Differenzierbarkeit überprüfen

Der obige Grenzwert exisiert genau dann, wenn linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten existieren und übereinstimmen, d. h. wenn gilt:

%%\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;=\;\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.%%

Diese Äquivalenz ist insbesondere dann hilfreich, wenn die Differenzierbarkeit zusammengesetzter Funktionen an einer "Nahtstelle" %%x_0%% überprüft werden soll.

Sind die Ableitungen links und rechts von %%x_0%% bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine an der Stelle %%x_0%% stetige Funktion %%f%% ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:

%%\lim_{x \to x_0^-} f^\prime(x)=\lim_{x \to x_0^+}f^\prime(x).%%

Nicht differenzierbare Funktionen

Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der Graph der Funktion an jeder Stelle eine eindeutig bestimmbare Tangente besitzt.

Im nebenstehenden Applet kannst Du die Punkte %%P%% und %%Q%% auf dem Graphen von %%f%% verschieben. An %%P%% und %%Q%% sind die jeweiligen Tangenten abgetragen.

Du kannst über das Eingabefeld auch eine andere Funktion eingeben und diese graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen.

Ist eine Funktion an einer Stelle %%x_0%% nicht differenzierbar, so ist die Tangente an dieser Stelle nicht bestimmbar. Dafür kann es verschiedene Gründe geben.

Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". Aber eben keine eindeutige, "einzige" Tangente. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Du kannst die Punkte P und Q auf f verschieben. Beobachte, wie sich die Tangentensteigung an der "Spitze" verhält.

Du kannst auch andere Funktionen eingeben und graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen: z.B. %%f(x) = |x|%%; Eingabe: %%abs(x)%%.

Die durch %%f(x)=\sqrt[3]x%% gegebene Funktion ist ein weiteres Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gilt nämlich: %%\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]x-\sqrt[3]0}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt[3]x^2}=\infty%% Somit ist %%f%% nicht an der Stelle %%x_0=0%% differenzierbar.

Du kannst die Punkte %%P%% und %%Q%% auf %%f%% verschieben. Beobachte, wie sich die Tangentensteigung an der Stelle %%x_0 = 0%% verhält.

Du kannst auch andere Funktionen eingeben und graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen.

Differenzierbarkeit höherer Ordnungen

Wir betrachten eine differenzierbare Funktion %%f%%. Ist ihre Ableitung ebenfalls differenzierbar, so heißt die Funktion zweimal differenzierbar. Analog lassen sich die Bezeichnungen dreimal / viermal / %%n%%-mal differenzierbar definieren.

Eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion %%f'%% stetig ist, heißt stetig differenzierbar.

Differenzierbarkeit nachweisen

Der Differentialquotient lässt sich mit der h-Methode berechnen.

Beispiel für eine differenzierbare Funktion

Untersuche die Funktion %%f\left(x\right)=x^2+4x-1%% auf Differenzierbarkeit.

  1. Differentialquotienten mit der h-Methode aufstellen. $$\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{f(x_ 0+h)-f(x_ 0)}{h}=$$ $$\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{\left[(x_ 0+h)^2+4\cdot(x_ 0+h)-1\right]-\left[x_ 0^2+4x_0-1\right]}{h}$$

  2. Zähler des Bruchs vereinfachen. $$=\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{\left[x_ 0^2+2x_ 0h+h^2+4x_ 0+4h-1\right]-x_ 0^2-4x_ 0+1}{h}=$$ $$\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{x_ 0^2+2x_ 0h+h^2+4x_ 0+4h-1-x_ 0^2-4x_ 0+1}{h}=$$ $$\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{2x_ 0h+h^2+4h}{h}$$

  3. im Zähler %%h%% ausklammern. $$=\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{h\cdot\left(2x_ 0+h+4\right)}{h}$$

  4. %%h%% kürzen. $$=\lim_ {h\rightarrow 0}(2x_ 0+h+4)$$

  5. Nun kann man den Grenzwert bilden, also %%h%% gegen 0 gehen lassen. $$= 2x_0+4$$

  6. Da dieser Grenzwert für alle Werte %%x_0%% aus dem Definitionsbereich existiert, ist die Funktion %%f(x)=x^2+4x-1%% differenzierbar.

  7. Man sieht, dass das Ergebnis übereinstimmt mit der Ableitung der Funktion %%f(x)=x^2+4x-1%% gleich %%f^\prime(x)=2x+4%% ist.

Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion

Untersuche die Funktion %%f\left(x\right)=\left|x\right|=\begin{cases} x \text{ für } x\gt0\\0 \text{ für } x=0\\ -x\text{ für } x\lt0\end{cases}%% auf Differenzierbarkeit.

Diese Funktion ist offenbar für alle %%x\in\mathbb{R}/\left\{0\right\}%% differenzierbar. Man muss also nur die kritische Stelle bei %%x=0%% untersuchen.

  1. Erstelle den Differentialquotienten an der Stelle %%x_0=0%%. $$\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{f(x_ 0+h)-f(x_ 0)}{h}=\lim_ {h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}$$

  2. Zunächst muss man unterscheiden, von welcher Seite man sich der %%0%% annähert, da man für positive und negative Werte von %%x%% unterschiedliche Funktionsterme verwenden muss. Man betrachtet also zwei Grenzwerte. Dabei nähert man sich einmal von links (in Zeichen: %%\lim_{h\nearrow 0}%%) und einmal von rechts (in Zeichen: %%\lim_{h\searrow 0}%%) an den Wert %%x_0=0%% an.

    2.1. Annäherung von rechts: %%\lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(h)}{h}=\lim\limits_{h\searrow 0}\frac{h}{h}=\lim\limits_{h\searrow 0} 1=1%%

    2.2 Annäherung von links: %%\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(h)}{h}=\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{-h}{h}=\lim\limits_{h\nearrow 0} -1=-1%%

Da die beiden Grenzwerte von links und rechts unterschiedlich sind, existiert der Grenzwert an der Stelle %%x_0=0%% nicht. Deshalb ist die Funktion %%f\left(x\right)=\left|x\right|=\begin{cases} x \text{ für } x\gt0\\0 \text{ für } x=0\\ -x\text{ für } x\lt0\end{cases}%% an der Stelle %%x_0=0%% nicht differenzierbar.

Die nicht differenzierbare Stelle %%x = 0%% der Funktion %%f(x)\;=\;\left|x\right|%% ist graphisch eine "Spitze". betragsfunktion Graph nicht differenzierbar

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Veranschaulichung Zusammenhang Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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Zu article Differenzierbarkeit:
Kowalsky 2017-07-08 12:14:13
Kleine Druckfehlerkorrektur: Bildbeschriftung zu Funktion in A nicht differenzierbar: linksseitig/ rechtsseitig (da fehlt ein "i")
Nish 2017-07-08 20:50:09
Vielen Dank für den Hinweis!
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Zu article Differenzierbarkeit:
Digamma 2016-11-11 20:58:07
Im Abschnitt "Differenzierbarkeit überprüfen" steht:
"Sind die Ableitungen links und rechts von x_0 bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine an der Stelle x_0 stetige Funktion f
ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:
%%\lim_{x→x−0} f′(x) = \lim_{x→x+0} f′(x).%%"
Die Aussage der Formel besagt aber nicht, dass die links- und rechts seitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten übereinstimmen, sondern dass die links- und rechtsseiten Grenzwerte der Ableitung übereinstimmen. Mit anderen Worten: dass die Ableitungsfunktion hier stetig ist, bzw. sich in die Nahtstelle stetig fortsetzen lässt. Das ist etwas anderes.
Knorrke 2016-11-18 10:53:42
Hallo Digamma,
kannst du kurz erklären, was genau du meinst? Dass das etwas anderes ist wird meiner Meinung nach in dem Abschnitt schon deutlich, allerdings ist es zusammen mit der Stetigkeit von f in x_0 doch das gleiche, oder irre ich mich da?
Vielleicht könnte man die Stetigkeit noch hervorheben, indem man schreibt "Eine Funktion f ist an der Stelle x_0 differenzierbar, wenn gilt: 1. die Funktion ist in x_0 stetig, 2. Die beiden Grenzwerte (hier Formeln lim... f'(x)) existieren und stimmen überein" oder Ähnliches.

Viele Grüße und Danke für dein Feedback
Benni
Digamma 2016-11-22 18:01:19
Es ist wohl richtig dass der folgende Satz gilt:
Wenn f an der Stelle x_0 stetig ist und f in einer Umgebung von x_0 (ohne die x_0) differenzierbar ist und der Grenzwert der Ableitung für x gegen x_0 existiert, dann ist f auch an der Stelle x_0 differenzierbar und die Ableitung stimmt mit dem Grenzwert überein.
Dieser Satz ist eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz.

Für mich liest sich der Abschnitt aber so, als wären die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungen (von denen im dritten Absatz die Rede ist) von vornherein das gleiche wie die links- bzw. rechtsseitigen Ableitungen, d.h. Grenzwerte der Differenzenquotienten (von denen im ersten Absatz die Rede ist). Insbesondere der Satz
"Sind die Ableitungen links und rechts von %%x_0%% bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden."
führt mich in die Irre. Denn unter "Gleichheit der Ableitungen" habe ich "Gleichheit der links- und rechtsseitigen Ableitungen" an der Nahtstelle verstanden. Denn wenn man die Funktion auf die *abgeschlossenen* Teilintervalle links und rechts von x_0 einschränkt (einschließlich x_0), dann existiert dort ja die Ableitung an der Stelle x_0. Gemeint ist hier aber wohl "Grenzwert der links- und rechtsseitigen Ableitungen".

Ich hoffe, ich konnte meinen Einwand etwas verdeutlichen. Viele Grüße, Digamma
Knorrke 2016-11-25 11:04:51
Hallo Digamma,
wow, du hast gerade sehr intensive Diskussionen hier über das Thema ausgelöst :D Danke, ich hab da grad etwas Neues über Spezialfälle in der Differenzierbarkeit gelernt.

Also unser Fazit wäre, dass die Formulierung oben unpräzise und missverständlich ist. Wir würden den Artikel deswegen überarbeiten, um das genauer darzustellen. Folgendes müsste gelten:
1. Wenn f stetig in x_0 ist und die Grenzwerte lim x->x_0-0 f'(x) und lim x->x_0+0 f'(x) existieren und übereinstimmen, dann ist f auch differenzierbar in x_0, aber die Gegenrichtung gilt nicht allgemein.
2. Dass der links- und rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten übereinstimmen ist bei reellen Funktionen hinreichend und notwendig für die Differenzierbarkeit.

Stimmt das auch deiner Meinung nach?
Viele Grüße
Benni (und gesamte Matheredaktion ;-) )
Digamma 2016-11-26 10:42:55
Hallo Benni, hallo Matheredaktion,
es freut mich, dass ich eine Diskussion angestoßen habe.
Wenn ich nichts übersehe, ist das so, wie du es hier schreibst richtig. Ich würde aber im Artikel gar nicht über Grenzwerte der Ableitung sprechen. Es geht ja in der Regel um stückweise zusammengesetzte Funktionen. Hier sind die einzelnen Teile ja typischerweise Einschränkungen von Funktionen mit größerem Definitionsbereich. Da kann man einfach die Ableitungen dieser einzelnen Ursprungsfunktionen überprüfen, ob diese an der Nahtstelle übereinstimmen.
Beispiel: Die Funktion %%f%% wird definiert durch %%f(x) = 2x%% für %%x < 1%% und %%f(x) = x^2 + 1%% für %%x \ge 1%%. Die Funktion %%f%% ist also zusammengestückelt aus den zwei Funktionen %%g(x) = 2x%% und %%h(x) = x^2%%. An der Nahtstelle %%x_0 = 1%% gilt zunächst %%g(1) = 2 = h(1)%%. Deshalb könnte ich in der Definition von %%f%% auch das %%<%%-Zeichen bei %%x<1%% durch ein %%\le%% ersetzen ohne die Eindeutigkeit der Definition zu verletzen. Da %%g%% und %%h%% stetige Funktionen sind, ergibt sich daraus automatisch, dass %%f%% stetig ist. Die Funktionen %%g%% und %%h%% sind auch differenzierbar (auf ganz %%\R%%) und es gilt %%g'(1) = h'(1) = 2%%. Daraus folgt sofort, dass die linksseitige Ableitung von %%f%% an der Stelle 1 existiert und den Wert %%g'(1) = 2%% hat und dass die rechtsseitige Ableitung von %%f%% an der Stelle 1 existiert und den Wert %%h'(1) = 2%% hat. Da die links- und die rechtsseitige Ableitung übereinstimmen, ist %%f%% an der Stelle 1 differenzierbar und es gilt %%f'(1) = 2%%.
Bei dieser Argumentation werden nirgendwo Grenzwerte der Ableitung verwendet, sie würde auch funktionieren, wenn die Grenzwerte der Ableitungen nicht existieren würden.

Herzliche Grüße
Digamma
SebSoGa 2016-11-26 11:28:18
Hallo Digamma,

nun ist mir völlig klar, worum es in deinem Einwand geht. Dein Beispiel mit der zusammengesetzten Funktion %%\f%% ist super! Wenn du willst, kannst du mit diesem Beispiel den Abschnitt "Sind die Ableitungen links und rechts..." ersetzen. Ich denke es wird einigen Schülern helfen.

Wenn du allerdings keine Zeit dafür hast, kann ich das gerne machen :)
Liebe Grüße
Sebastian
Renate 2016-11-26 18:59:30
Hallo Sebastian, hallo Digamma, hallo Benni,
ich hatte mich öfters in meiner Nachhilfetätigkeit gefragt, ob die in der Schule (Bayern, insbesondere FOS) meist verwendete Methode der Überprüfung der Differenzierbarkeit an der Nahtstelle mittels der Grenzwerte der Ableitungen (+Stetigkeit an der Stelle) mathematisch ganz in Ordnung ist - ohne selbst zu einem Ergebnis gekommen zu sein.
Vielen, vielen Dank euch für eure Erklärungen (in der Redaktion und hier).

Eine Rückfrage noch: Sehe ich es richtig, dass all die Fälle, in denen das Kriterium "Stetigkeit + übereinstimmende Grenzwerte der Ableitungsfunktionen = Differenzierbarkeit an der Nahtstelle" versagt, Fälle sind, in denen der Grenzwert der Ableitungsfunktion zumindest an der einen Seite nicht existiert?

Und noch eine Frage an Digamma bzw. seine Erklärung: Setzt diese Erklärung dann nicht aber voraus, dass beide Teilfunktionen einen maximalen Definitionsbereich haben, der über die Nahtstelle hinaus geht?
[Schließlich ist hier im Artikel bislang nicht von einseitigen Ableitungen an einer (Rand-)Stelle die Rede (--> @Redaktion?).]

Viele Grüße
Renate

Digamma 2016-11-27 18:04:41
@Sebastian:
Ich habe mich an einer Überarbeitung versucht, aber der Internet-Explorer hat meine Überarbeitung ins Nirvana geschickt. Ich weiß nicht, ob ich dazu komme, es nochmal zu machen. Kommende Woche wahrscheinlich nicht.
@Renate:
*Sehe ich es richtig, dass all die Fälle, in denen das Kriterium "Stetigkeit + übereinstimmende Grenzwerte der Ableitungsfunktionen = Differenzierbarkeit an der Nahtstelle" versagt, Fälle sind, in denen der Grenzwert der Ableitungsfunktion zumindest an der einen Seite nicht existiert? *
Wenn ich mich nicht ganz täusche: Ja. Das folgt aus dem Mittelwertsatz.
* Setzt diese Erklärung dann nicht aber voraus, dass beide Teilfunktionen einen maximalen Definitionsbereich haben, der über die Nahtstelle hinaus geht? *
Einfache Antwort: Ja. Aber ich kenne aus dem Schulunterricht keine Beispiele, wo das nicht der Fall ist. Ein Beispiel wäre die Wurzel-Funktion. Aber bei der existiert die Ableitung an der Randstelle 0 nicht. Andere Beispiele wären Potenzfunktionen mit positiven nichtganzzahligen Exponenten, z.B. %%x^{3/2}%%. Aber eine stückweise definierte Funktion, wo diese Funktion vorkommt, ist mir in der Schule noch nicht begegnet.
Antwort 2: Nein. Die Definition der Differenzierbarkeit und der Ableitung setzt nicht voraus, dass die betrachtete Stelle x_0 im Innern der Definitionsmenge liegt. Sie funktioniert bei Randpunkten genauso. Dass man Stelle x_0 nur von einer Seite nähern kann, spielt überhaupt keine Rolle. Man muss dazu auch keine einseitigen Grenzwerte oder einseitige Ableitung definieren. Dies ist nur dann nötig, wenn man sich von beiden Seiten nähern kann, aber die beiden Seiten getrennt betrachten möchte. (Zum Beispiel ist die obengenannte, nur auf %% [0, \infty[%% definierte Funktion %%f(x) = x^{3/2}%% an der Randstelle 0 ganz normal differenzierbar und die Ableitung lässt sich mit der Potenzregel berechnen.)
Ich würde aber bei der Betrachtung von zusammengestückelten Funktionen tatsächlich von der links- und der rechtsseitigen Ableitung sprechen. Aber nicht für die Teilfunktionen, sondern für die zusammengesetzte Funktion: Die Ableitung an der Stelle x_0 existiert, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung existieren und übereinstimmen.
Viele Grüße, Digamma
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Zu article Differenzierbarkeit: Differenzierbarkeit
chdieter 2016-07-28 06:37:53
Schöne, einprägsame Graphik für Nicht-Differenzierbarkeit. Im Text sollte aber statt "Steigung" jeweils "Tangente" stehen. Die gezeichneten Geraden sind Tangenten und nicht deren Steigung.
SebSoGa 2016-07-28 12:04:57
Hallo Dieter,
diese Graphik habe ich gestern genau aus dem Grund erstellt, weil davor eine Graphik mit dem Begriff "Tangente" stand.
Die roten Geradenstücke tangieren die Kurve nicht und sollten meiner Meinung nach nicht als Tangente bezeichnet werden (daher habe ich auch die Punkte A und B dick gemalt, damit man bei A sieht, dass diese Geradenstücke den Punkt A "schneiden").
Die Tangente an einem Punkt zu definieren ist wenig Sinnvoll und meine visuelle Rechtfertigung hier auch etwas schlampig formuliert, aber es wird glaube ich trotzdem klar, warum f nicht Differenzierbar ist.
Ich wollte den Begriff Steigung verwenden, da bei der Ableitung die Steigung der Tangente des Graphens der Funktion, die den Graphen an der Stelle (x, f(x)) berührt, betrachtet wird.

Jetzt wird mir jedoch bewusst, dass eine "Steigung" an sich nur eine Zahl ist und kein Geradenstück, weshalb meine Wortwahl auch inkorrekt ist =(.

Findest du trotzdem noch, dass der Begriff Tangente besser passt?
Wenn nicht, hast du vielleicht einen besseren Vorschlag?

Liebe Grüße und vielen Dank für deinen Kommentar
Sebastian
chdieter 2016-07-29 10:00:12
Hallo Sebastian,

die Frage nach der Differenzierbarkeit von Funktionen ist Kernpunkt der Analysis.

Die Schulmathematik verlangt zu recht die Veranschaulichung infinitesimaler Grenzprozesse. Dazu gehört aber auch begriffliche Sauberkeit, um nicht zu sagen Strenge. Erst dadurch nämlich ist dem Schüler wirklich geholfen.

Dass es in einem „Knickpunkt“ einer ansonsten differenzierbaren Funktion keinen Differen–tialquotienten gibt, versteht ein Schüler ohne Grenzwertrechnung konstruktiv ausschließlich über die Existenz einer linkseitigen „Tangente“ und einer davon verschiedenen rechtsseitigen „Tangente“. Erst wenn er diese Geraden „sieht“, kann er über deren „Steigungswerte“ Aussagen machen.

Fazit: Die Zeichnungen enthalten Geraden und keine Ableitungen. Die begriffliche Strenge verlangt also in den Graphiken „Tangenten“ und nicht „Steigungen“. Um mit einer historischen Persönlichkeit zu sprechen: „Hier stehe ich und kann nicht anders“.

Übrigens der Sprachgebrauch „einseitiger“ Tangenten ist ja auch bei Differenzierbarkeit gegeben: Eine auf einem abgeschlossenen Intervall differenzierbare Funktion hat im linken Randpunkt genaugenommen nur eine „rechtsseitige Tangente“ und am anderen Randpunkt eine „linksseitige Tangente“, was der Schüler sehr gut versteht.

Liebe Grüße
Dieter

PS: Passende Aufgaben zum operativen Erfassens nicht differenzierbarer Stellen würde ich gerne noch anschließen.
SebSoGa 2016-08-02 08:29:36
Hallo Dieter,

du hast recht, mit dem Argument an den Randpunkten ist mir klar, dass man diese Geraden als einseitigen "Tangenten" bezeichnen kann. Nun habe ich die frühere Version dieser Graphik übernommen.

Vielen Dank für deine Rückmeldung!
Bezüglich den Aufgaben, wolltest du dich diesen widmen?
Liebe Grüße
Sebastian
chdieter 2016-08-03 07:47:14
Lieber Sebastian,

schön, dass wir einen gemeinsamen Nenner gefunden haben.


Um den Artikel wasserdicht zu machen, schlage ich vor, zwei inhaltliche Ergänzungen und eine Graphik hinzuzufügen:

a) Für die Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion an einer Nahtstelle ist die Übereinstimmung von linksseitiger und rechtsseitiger Ableitung nicht hinreichend. Die Stetigkeit muss zusätzlich festgestellt werden.

b) Differenzierbarkeit schließt senkrechte Tangenten aus. Das gute Beispiel der 3. Wurzelfunktion sollte durch eine Graphik veranschaulicht werden.

Aufgaben zum Thema "Differenzierbarkeit" würde ich diesem Bereich in nächster Zeit selbst zufügen.

Beste Grüße
Dieter
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