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Aufgaben zum Aufstellen von Funktionstermen

1 Aufgabengruppe

Auf dem Graph der Funktion ax2ax^2 liegen die folgenden Punkte. Gib für jeden Punkt den Funktionsterm an.

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Funktionsterm aufstellen

Setze P in die Funktionsgleichung ein:

Funktionsterm angeben

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Funktionsterme aufstellen

Setze Q in die Funktionsgleichung an:

Funktionsterm angeben

2

Der Punkt A(1,50,25)A(1,5|-0,25) liegt auf der Parabel der Form xx2+ex\mapsto x^2+e. Gib ee an.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen

Setze den Punkt A in die Funktionsvorschrift ein:

0,25=1,52+e0,25=2,25+e  2,252,5=e\begin{array}{cccc}-0,25&=&1,5^2+e&\\-0,25&=&2,25+e\;&\vert-2,25\\-2,5&=&e&\end{array}

3 Aufgabengruppe

Gib zu den jeweiligen Scheiteln von verschobenen Normalparabeln den Funktionsterm an.

S(22)S( -2 | 2 )

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen

Funktionsterm aufstellen

Bei der Verschiebung der Normalparabel x2x^2 verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:

f(x)=(x+2)2+2f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2+2

S(34    53)S\left(\left.\frac34\;\right|\;-\frac53\right)

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen

Funktionsterm aufstellen

Bei der Verschiebung der Normalparabel x2x^2 verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:

f(x)=(x34)253f\left(x\right)=\left(x-\frac34\right)^2-\frac53

4

Gib den Funktionsterm an, der die verschobene Normalparabel mit Scheitel S(130)S(13|0) beschreibt.

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Funktionsterm aufstellen

Bei der Verschiebung der Normalparabel x2x^2 verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:

f(x)=(x13)2f\left(x\right)=\left(x-13\right)^2

5

Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(52)S\left(5|2\right)?

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform

Man kann den Faktor a schon an der Angabe ablesen: eine nach unten geöffnete Normalparabel hat den Faktor -1. In die Scheitelform eingesetzt ergibt sich also :

y=(x5)2+2y=-\left(x-5\right)^2+2

6 Aufgabengruppe

Bestimme die Funktionsgleichungen der quadratischen Funktionen mit den gegebenen Informationen.

Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte A(1|1), B(3|4), C(5|-1)

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion aufstellen

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)={ax}^2+{bx}+ c

Setze A, B und C in die allgemeine Gleichung für quadratische Funktionen ein.

(1)a+b+c=1\left(1\right)\quad a+ b+ c=1

(2)9a+3b+c=4\left(2\right)\quad 9 a+3 b+ c=4

(3)25a+5b+c=1\left(3\right)\quad 25 a+5 b+ c=-1

Wende das Additionsverfahren an.

(2)+(1)(1)\left(2\right)+\left(1\right)\cdot(-1) :   (1)8a+2b=3\left(1\right)'\quad 8a+2b=3

(3)+(2)(1)\left(3\right)+\left(2\right)\cdot\left(-1\right):   (2)16a+2b=5\left(2\right)'\quad 16 a+2 b=-5

(2)+(1)(1)\left(2\right)'+\left(1\right)'\cdot\left(-1\right)8a=88 a=-8

:8\left|:8\right.

a=1a=-1

Setze aa in (1)\left(1\right)'   ein.

8+2b=3-8+2 b=3

+8\left|+8\right.

2b=112 b=11

:2\left|:2\right.

b=112b=\frac{11}2

Setze aa und bb in  (1)\left(1\right)  ein.

1+5,5+c=1-1+5,5+ c=1

4,5\left|-4,5\right.

c=3,5c=-3,5

        f(x)=x2+5,5x3,5\;\;\Rightarrow\;\; f\left( x\right)=- x^2+5,5 x-3,5

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei x=3  und geht durch den Punkt P(2|0,3).

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Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Da die gesuchte Funktion quadratisch ist, handelt es sich bei der doppelten Nullstelle bei x=3x=3 um den Scheitel der Parabel. Damit ist ff von der Form f(x)=a(x3)2f(x)=a\cdot(x-3)^2. Der Parameter aa lässt sich nun durch Einsetzen des Punktes PP bestimmen:

0,3=a(23)2=a0,3=a\cdot(2-3)^2=a

f(x)=0,3(x3)2\Rightarrow f(x)=0,3\cdot(x-3)^2

Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(2|6).

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Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Die Normalparabel ist um zwei Einheiten nach rechts und um sechs Einheiten nach oben verschoben. Zudem ist sie nach unten geöffnet. Damit gilt:

Die Funktion hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(1,5|2).

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Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

f(x)=a(xb)2+cf\left(x\right)=a\left(x-b\right)^2+c

Bestimme bb und cc durch den Scheitel S(03)S\left(0|-3\right) .

f(x)=ax23f\left(\mathrm x\right)=ax^2-3

Setze P in die Funktion ein.

2=a(1,5)232=a\left(1,5\right)^2-3

+3\left|+3\right.

a(1,5)2=5a\left(1,5\right)^2=5

Quadriere 1,51,5

a=51,52=549=209a=\frac5{1,5^2}=\frac{5\cdot4}9=\frac{20}9

Setze aa in die Funktion ein.

        f(x)=209x23\;\;\Rightarrow\;\;f\left(x\right)=\frac{20}9x^2-3

Die Funktion geht durch die Punkte A(2|4), B(3|5), C(-1|13).

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Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Hier solltest du wissen, wie du eine Parabel durch drei gegebene Punkte legst. Außerdem brauchst du das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

A(24),  B(35),  C(113)A(2\vert4),\;B(3\vert5),\;C(-1\vert13)

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

Als erstes solltest du die Potenzen ausrechnen.

Löse das Gleichungssystem. Hier wird die Lösung mittels Einsetzungsverfahren verwendet.

Löse als erstes zum Beispiel Gleichung (I)(I) nach cc auf.

(I)  c=44a2b(I') \;c=4-4a-2b

Setze dieses Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein.

(II)  5=9a+3b+(44a2b)(II')\; 5=9a+3b+(4-4a-2b)

(III)  13=ab+(44a2b)(III')\; 13=a-b+(4-4a-2b)

Vereinfache die beiden Gleichungen.

(II)  1=5a+b(II')\; 1=5a+b

(III)  9=3a3b(III')\; 9=-3a-3b

Löse beispielsweise Gleichung (III)(III') nach aa auf.

(III)  3a=9+3b:(3)(III'')\; -3a=9+3b\qquad |:(-3)

(III)  a=3b(III'')\; a=-3-b

Setze aa in Gleichung (II)(II') ein und vereinfache.

(II)  1=5(3b)+b)(II'')\; 1=5(-3-b)+b)

(II)  1=155b+b+15(II'')\; 1=-15-5b+b\qquad |+15

(II)  16=4b:(4)(II'')\; 16=-4b\qquad|:(-4)

b=4b=-4

Setze das Ergebnis für bb in Gleichung (III)(III'') ein, also die Gleichung für aa ein.

a=3(4)=3+4=1a=-3-(-4)=-3+4=1

Setze dein Ergebnis für aa und bb in die Gleichung für cc (I') ein.

c=4412(4)=44+8=8c=4-4\cdot 1-2\cdot(-4)=4-4+8=8

Deine Ergebnisse sind:

a=1,  b=4,  c=8a=1,\;b=-4,\;c=8

Setze in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalte die Lösung.

  f(x)=x24x+8\Rightarrow\;f(x)=x^2-4x+8

7

Bestimme jeweils die Scheitelform der unten abgebildeten Parabeln.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterme aufstellen

Funktionsterme angeben

Mittels der Graphen kannst du die jeweiligen Funktionsterme aufstellen.

Lese dafür zunächst die Scheitelpunkte der drei Funktionen aus dem Koordinatensystem ab.

SGf(13)S_{G_f}(-1\vert-3)

SGg(0,51)S_{G_g}(0{,}5\vert-1)

SGh(23)S_{G_h}(2\vert-3)

Gib mithilfe der Scheitelpunkte die allgemeine Scheitelform der jeweiligen Funktion an.

f(x)=a(x+1)23\Rightarrow{f(x)=a(x+1)^2-3}

g(x)=a(x0,5)21\Rightarrow{g(x)=a(x-0,5)^2-1}

h(x)=a(x2)23\Rightarrow{h(x)=a(x-2)^2-3}

  • f(x)=a(x+1)23f(x)=a(x+1)^2-3

Setzte nun einen weiteren Punkt ein um aa zu berechnen. Hier wurde der Punkt (0,50)(-0,5\vert0) gewählt.

0fffff0=a(12)23\hphantom{*0fffff} 0=a(\frac12)^2-3 +3,:14|+3,:\frac{1}{4}

Löse nun nach aa auf.

0fffff314=a\hphantom{*0fffff} \dfrac{3}{\frac{1}{4}}=a

Löse nun den Doppelbruch, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst.

0fffff12=a\hphantom{*0fffff} 12=a

f(x)=12(x+1)23\Rightarrow f(x)=12(x+1)^2-3

  • g(x)=a(x0,5)21g(x)=a(x-0,5)^2-1

Setze nun einen weiteren Punkt ein um aa zu berechnen. Hier wurde der Punkt (03)(0\vert-3) verwendet.

0fffff3=a(12)21\hphantom{*0fffff}-3=a(\frac{-1}2)^2-1 +1,:14|+1,:\frac{1}{4}

Löse nun nach aa auf.

0fffff214=a\hphantom{*0fffff}\dfrac{-2}{\frac14}=a

0fffff8=a\hphantom{*0fffff} -8=a

g(x)=8(x0,5)21\Rightarrow g(x)=-8(x-0,5)^2-1

  • h(x)=a(x2)23h(x)=a(x-2)^2-3

Setzte nun einen weiteren Punkt ein um aa zu berechnen. Hier wurde der Punkt (01)(0\vert-1) gewählt.

0fffff1=a(2)23\hphantom{*0fffff}-1=a(-2)^2-3 +3,:4|+3,:4

Löse nun nach aa auf.

0fffff24=12=a\hphantom{*0fffff}\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}=a

h(x)=0,5(x2)23\Rightarrow h(x)=0,5(x-2)^2-3

8

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades f(x)f(x) schneidet die Koordinatenachsen in Px1(k0);  Px2(20)P_{x_1}\left(k|0\right);\;P_{x_2}(-2|0) und in Py(0k)P_y\left(0|-k\right) mit k0k\neq0.

Bestimme die Funktionsgleichung f(x)f(x).

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgleichung aufstellen

geg.:  Px1(k0);  Px2(20)P_{x_1}\left(k|0\right);\;P_{x_2}(-2|0)Py(0k)P_y\left(0|-k\right)

Die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse, kann man als Linearfaktoren schreiben.

f(0)=a(xk)(x+2)f(0)=a\left(x-k\right)\left(x+2\right)

Der Graph muss die y-Achse im Punkt Py(0k)P_y\left(0|-k\right) schneiden. Daraus folgt:

f(0)=kf(0)=-\mathrm k

f(0)=kf(0)=-\mathrm k  in die erste Funktion einsetzen.

k=a(0k)(0+2)-\mathrm k=\mathrm a\left(0-\mathrm k\right)\left(0+2\right)

k=a(k)2-\mathrm k=\mathrm a\left(-\mathrm k\right)\cdot2

k=a(k)2-\mathrm k=\mathrm a\left(-\mathrm k\right)\cdot2

| : (k)2\left(-\mathrm k\right)\cdot2

(Wegen k0k\neq0 ist dies möglich.)

kk2=a\frac{-\mathrm k}{-\mathrm k\cdot2}=\mathrm a

k-k kürzen.

12=a\frac12=\mathrm a

Einsetzen von a in die Linearfaktorschreibweise:

  f(x)=12(xk)(x+2)\Rightarrow\;f(x)=\frac12\left(x-k\right)\left(x+2\right)

9

Bestimme die Funktionsgleichungen von drei verschiedenen quadratischen Funktionen f1f_1 , f2f_2 und f3f_3 nach folgenden Vorgaben: f1f_1 soll nur die Nullstelle  x=5x=5 haben, f2f_2 und f3f_3 sollen jeweils die beiden Nullstellen x1=1+5x_1=1+\sqrt5 und x2=15x_2=1-\sqrt5 besitzen.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Artikel zum Thema

zu  f1:\mathrm{zu}\;f_1:

Die Funktion hat nur die Nullstelle  x=5x=5.

Zerlegung in Linearfaktoren.

Wähle z.B.: f1(x)=(x5)2f_1\left(x\right)=\left(x-5\right)^2

zu  f2  und  f3:\mathrm{zu}\;f_2\;und\;f_3:

Die Funktionen haben jeweils die Nullstellen x1=1+5x_1=1+\sqrt5 und x2=15x_2=1-\sqrt5.

Zerlegung in Linearfaktoren.

Wähle z.B.:

f2=[x(1+5)][x(15)]f_2=\lbrack x-(1+\sqrt5)\rbrack\cdot\lbrack x-(1-\sqrt5)\rbrack

und

f3(x)=[x(1+5)][x(15)]f_3(x)=-\lbrack x-(1+\sqrt5)\rbrack\cdot\lbrack x-(1-\sqrt5)\rbrack

10

Für eine Schulaufgabe soll eine quadratische Gleichung mit den Lösungen  x1=3x_1=-3 und x2=2x_2=2 entworfen werden; die Gleichung  x2+x6=0x^2+x-6=0 erfüllt diese Vorgabe. Beschreibe, wie man – ausgehend von den Lösungen – auf diese Gleichung kommt.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

Quadratische Gleichung

Die Gleichung hat nur die Lösungen

x1=3x_1=-3 und x2=2x_2=2.

Als Ansatz wählt man eine Darstellung in Linearfaktoren.

a(x(3))(x2)=0a\cdot(x-(-3))\cdot(x-2)=0

aa muss 1 sein, da sonst in der Gleichung, die sich am Schluss ergibt, vor x2x^2 eine Zahl a1a\neq1 stehen würde.

(x(3))(x2)=0(x-(-3))\cdot(x-2)=0

Klammern ausmultiplizieren

x22x+3x6=0x^2-2x+3x-6=0

Zusammenfassen.

  x2+x6=0\Rightarrow\;x^2+x-6=0

11

Gib die Funktionsterme der gezeichneten Graphen an.

Überlege dir alle drei Funktionsterme, bevor du die Lösung öffnest, da dort alle drei Lösungen sofort erscheinen.

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Funktionsterme angeben

Lese die Scheitelpunkte der drei Funktionen aus dem Koordinatensystem ab und gib die allgemeine Scheitelform an:

  • h(x)=a(x2)2h\left(x)= a(x-2\right)^2

Setzte nun einen weiteren Punkt ein um a zu berechnen. Hier wurde der Punkt (0;4) gewählt.

Löse nun nach a auf.

Setzte nun einen weiteren Punkt ein um a zu berechnen. Hier wurde der Punkt (-1.5,1) gewählt.

Setzte nun einen weiteren Punkt ein um a zu berechnen. Hier wurde der Punkt (1,0) gewählt.

|+1

12 Aufgabengruppe

Bestimme den Öffnungsfaktor und den Funktionsterm der folgenden Parabeln!

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für Parabeln

Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.

Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.

Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.

Es bietet sich der Punkt P(22)P(2\,|\,2) an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.

Setze die Koordinaten des Punktes P(22)P(2\,|\,2) in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0) ein.

y=ax2y = a \cdot x^2

2=a222 = a \cdot 2^2

Löse diese Gleichung nach aa auf!

2=a4:42 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4

24=a\dfrac{2}{4} = a

a=12a = \dfrac{1}{2}

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert a=12a=\dfrac{1}{2}.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung y=ax2y = a \cdot x^2 ein.

y=12x2y = \dfrac{1}{2} x^2

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet y=12x2y=\dfrac{1}{2} x^2.

 Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für Parabeln

Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.

Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.

Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.

Es bietet sich der Punkt P(26)P(2\,|\,6) an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.

Setze die Koordinaten des Punktes P(26)P(2\,|\,6) in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0) ein.

y=ax2y = a \cdot x^2

6=a226 = a \cdot 2^2

Löse diese Gleichung nach aa auf!

6=a4:46 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4

64=a\dfrac{6}{4} = a

a=1,5a = 1,5

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert a=1,5a=1,5.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung y=ax2y = a \cdot x^2 ein.

Damit erhältst du y=1,5x2y = 1,5 x^2.

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also y=1,5x2y=1,5 x^2.

Bestimme den Funktionsterm einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0), die durch den Punkt P(31)P(3\,|-1) geht.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für Parabeln

Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.

Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.

Um den Öffnungsfaktor der Parabel zu bestimmen benötigst du einen Punkt, der nicht der Scheitelpunkt ist. In der Angabe ist schon der Punkt P(31)P(3\,|-1) gegeben.

Setze die Koordinaten des Punktes P(31)P(3\,|-1) in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0) ein.

y=ax2y = a \cdot x^2

1=a32-1 = a \cdot 3^2

Löse diese Gleichung nach aa auf!

1=a9:9-1 = a \cdot 9 \hspace{2cm}|:9

19=a-\dfrac{1}{9} = a

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert a=19a=-\dfrac{1}{9}.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung y=ax2y = a \cdot x^2 ein.

Damit erhältst du y=19x2y = -\dfrac{1}{9} x^2.

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also y=19x2y=-\dfrac{1}{9} x^2.

13

Lies aus nachstehender Abbildung mögliche Funktionsterme der Funktionen ff, gg und hh ab.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung f(x)=g(x)f(x) = g(x).

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Bestimmen der Funktionsgleichung und der Schnittpunkte

Der Scheitel befindet sich bei (-1/3).

Den Scheitel und den Streckfaktor (-1, weil nach unten geöffnet) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.

f(x)=(x+1)2+3f(x)=-(x+1)^2+3

Scheitel befindet sich bei (1/-1).

Den Scheitel und den Streckfaktor (0,5) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.

g(x)=12(x1)21g(x)=\frac12\cdot(x-1)^2-1

Scheitel befindet sich bei (1,5/0).

Den Scheitel und den Streckfaktor (1) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.

h(x)=(x1,5)2h(x)=(x-1,5)^2

Schnittpunkte

f(x)=g(x)f(x)=g(x)

(x+1)2+3=12(x1)21-(x+1)^2+3=\frac12\cdot(x-1)^2-1

Binomische Formel anwenden

(x2+2x+1)+3=12(x22x+1)1-\left(\mathrm x^2+2\mathrm x+1\right)+3=\frac12\left(\mathrm x^2-2\mathrm x+1\right)-1

Klammern auflösen und vereinfachen.

x22x1+3=12x2x+121-\mathrm x^2-2\mathrm x-1+3=\frac12\mathrm x^2-\mathrm x+\frac12-1

Gleichung umstellen.

x212x22x+x+212=0-\mathrm x^2-\frac12\mathrm x^2-2\mathrm x+\mathrm x+2\frac12=0

Vereinfachen.

32x2x+212=0-\frac32\mathrm x^2-\mathrm x+2\frac12=0

Mitternachtsformel anwenden.

x1=114(32)522(32)=143=1x_1=\frac{1-\sqrt{1-4\cdot(-{\displaystyle\frac32})\cdot\displaystyle\frac52}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac32\right)}=\frac{1-4}{-3}=1

x2=1+14(32)522(32)=1+43=53x_2=\frac{1+\sqrt{1-4\cdot(-{\displaystyle\frac32})\cdot\displaystyle\frac52}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac32\right)}=\frac{1+4}{-3}=-\frac53