Aufgaben
Blickwinkel
Eine Sehne [AB][AB] zerlege einen Kreis in zwei unterschiedlich lange Bogen.
Klicke an was stimmt!
Vom Inneren des kürzeren Bogens aus erscheint die Sehne unter einem stumpfen Winkel.
Vom Inneren des kürzeren Bogens aus erscheint die Sehne unter einem spitzen Winkel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

Randwinkel innen
Je näher ein Punkt bei der Sehne liegt, desto größer wird der Blickwinkel zur Sehne.
Schon vom kürzeren Randbogen aus ist der Blickwinkel zur Sehne ein stumpfer Winkel. Vom Inneren des kürzeren Randbogen aus also erst recht.
Klicke an was stimmt!
Im Inneren des längeren Bogens gibt es mehr als einen Punkt, von dem aus die Sehne unter einem rechten Winkel erscheint.
Im Inneren des längeren Bogens gibt es keinen Punkt, von dem aus die Sehne unter einem rechten Winkel erscheint.
Im Inneren des längeren Bogens gibt es genau einen Punkt, von dem aus die Sehne unter einem rechten Winkel erscheint.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

Randwinkel und Thaleskreis
Das Innere des längeren Bogens enthält den oberen Thaleshalbkreis der Sehne und somit unendlich viele Punkte, von denen aus die Sehne unter einem rechten Winkel erscheint.
Klicke an was stimmt!
Der Randwinkel des längeren Bogens ist ein spitzer Winkel.
Der Randwinkel des längeren Bogens ist ein rechter Winkel.
Der Randwinkel des längeren Bogens ist ein stumpfer Winkel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

Randwinkel am längeren Bogen
Die Randwinkel auf den beiden Seiten der Sehne ergeben zusammen 180°180°.
Nur wenn die Sehne ein Durchmesser ist, wäre auf jeder Seite der Randwinkel ein rechter Winkel.
Je weiter ein Punkt von der Sehne entfernt ist, desto kleiner ist der Blickwinkel auf die Sehne. Also ist der Randwinkel auf dem längeren Bogen ein spitzer Winkel.
Randwinkel und zugehörige Mittelpunktswinkel
Randwinkel und Mittelpunktswinkel
Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) besagt, dass ein Randwinkel gerade halb so groß ist, wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
Klicke an was stimmt!
Zum Randwinkel φ1\varphi_1 gehört der Mittelpunktswinkel β\beta.
Zum Randwinkel φ1\varphi_1 gehört der Mittelpunktswinkel α\alpha.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

Zu einem Randwinkel gehört stets der "gegenüberliegende" Mittelpunktswinkel, d.h. derjenige, in dessen Winkelfeld der Randpunkt nicht liegt.
Zum Punkt P1P_1 gehört also der Mittelpunktswinkel β\beta.
Klicke an was stimmt!
Zum Randwinkel φ2\varphi_2 gehört der Mittelpunktswinkel α\alpha.
Zum Randwinkel φ2\varphi_2 gehört der Mittelpunktswinkel β\beta.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

φ2\varphi_2 liegt nicht im Winkelfeld von α\alpha. Also ist α\alpha der zu φ2\varphi_2 gehörende Mittelpunktswinkel und doppelt so groß wie φ2\varphi_2.
Randwinkelsumme
Die beiden Randwinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°.
Zeige, dass hier also gilt:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

φ1+φ2=12β+12α=12(β+α)=12360°=180°\displaystyle\varphi_1+\varphi_2=\frac{1}{2}\beta+\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}(\beta+\alpha)=\frac{1}{2}\cdot \color{red}{\text{360°}}=180°
Kreis
Konstruiere in einem Kreis mit Radius r=3cmr=3\,\mathrm{cm} zwei Sehnen, zu denen das Randwinkelpaar 60° und 120° gehört.
GeoGebra
Konstruktionsschritte:
  1. Zeichne in einem beliebigen Punkt AA des Kreises die Tangente (das ist die Senkrechte auf dem Radius.)
  2. Trage in AA an die Tangente den Winkel 60° an.
  3. Schneide den freien Schenkel des Winkels mit dem Kreis im Punkt PP.
    Die Sehne [AP][AP] ist die eine der beiden gesuchten Sehnen.
  4. Spiegle den Punkt PP an der Geraden ABAB.
    Die Sehne [AP][AP'] ist die zweite gesuchte Sehne.
Die Konstruktionsschritte kannst du im gegebenen Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.
Alternative Lösung:
Die zweite Sehne [AP][AP'] erhält man auch, wenn man in AA - wie im nächsten Applet - auf der unteren Seite der Strecke [AB][AB] einen 60°-Winkel an die Tangente anträgt.
GeoGebra
Vertiefung der Aufgabe
In diesem Applet kannst du den Ausgangspunkt AA der Konstruktion beliebig am Kreis verschieben. (Klicke ihn an und verschiebe ihn.)
Du erhältst dann alle Sehnen des Kreises zu denen ein Randwinkelpaar von 60° und 120° gehört.
Du erkennst auch, dass alle diese Sehnen vom Mittelpunkt MM des Kreises gleich weit entfernt sind, da die Mittelpunkte der Sehnen auf einem (kleineren) Kreis liegen.
Ein Randwinkel φ\,\varphi\, ist um 40° kleiner als der zugehörige Mittelpunktswinkel μ\,\mu.
Wie groß sind φ\varphi und μ\mu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

(1)      φ=μ40°    \;\;\;\varphi =\mu - 40°\;\; (Textangabe)
(2)      μ=2φ        \;\;\;\mu = 2\cdot\varphi\;\;\;\; (Randwinkelsatz)
(2) in (1) eingesetzt:
φ=2φ40°      φ+40°\varphi = 2\varphi-40°\;\;\;|-\varphi+40°
φ=40°\varphi=40°
μ=80°\mu=80°
Ein Randwinkel φ\,\varphi\, und sein zugehöriger Mittelpunktswinkel μ\mu betragen zusammen 210°.
Wie groß sind φ\varphi und μ\mu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

(1)      φ+μ=210°      \;\;\;\varphi+\mu=210°\;\;\;(Textangabe)
(2)      μ=2φ      \;\;\;\mu=2\varphi\;\;\;(Randwinkelsatz)
(2) in (1) eingesetzt:
3φ=210°    :33\varphi=210°\;\;|:3
φ=70°\varphi=70°
μ=140°\mu=140°
Textaufgabe zwei Fasskreisbogen
Die Punkte A,B,CA,B,C liegen auf einer Geraden (siehe Zeichnung).
Wie viele Punkte in der Zeichenebene gibt es, von denen aus die Strecke [AB][AB] unter einem Winkel von 50° und gleichzeitig die Strecke [BC][BC] unter dem Winkel 30° erscheint?
Klicke an, was stimmt!
Es gibt zwei Punkte.
Es gibt keinen Punkt.
Es gibt genau einen Punkt.
Es gibt unendlich viele Punkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

GeoGebra
Es gibt zwei Punkte, die die gestellte Forderung erfüllen:
Zunächst den Schnittpunkt P1P_1 des Fasskreisbogens über [AB][AB] zum Randwinkel 50° mit dem Fasskreisbogen über [BC[BC| zum Randwinkel 30°. Dazu dessen Spiegelpunkt P2P_2 an der Geraden ACAC.
So konstruierst du die Punkte:
Zeichne in AA (BB) an die Halbgerade [AC[AC einen Winkel von 50°50° (30°30°). Errichte     \;\;in AA (BB) auf den angetragenen Schenkel das Lot. Dieses schneidet die Mittelsenkrechte zu [AB][AB] ([BC][BC]) im Mittelpunkt M1M_1 (M2M_2) des jeweiligen Fasskreisbogens.
Durch Abspielen der (unteren) Navigationsleiste im gezeichneten Applet kannst du die Konstruktion in einzelnen Schritten nachvollziehen.
Konstruiere den Bereich der Zeichenebene, von dem aus eine gegebene Strecke [AB][AB] unter einem Winkel φ\varphi mit 60°φ100°60°\leq\varphi\leq100° erscheint.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

GeoGebra
Der gesuchte Bereich besteht aus zwei (sichelförmigen) Kreisbogenfeldern, die zu einem Fasskreisbogenpaar mit Randwinkeln von 60° bzw. 100° gehören.
Die Konstruktionsschritte:
  • Konstruiere die Mittelsenkrechte zu [AB][AB].
  • Zeichne an [AB][AB] in AA einen 60°-Winkel.
  • Errichte auf dem erhaltenen Schenkel dieses Winkels das Lot.
  • Der Schnittpunkt des Lotes mit der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Fasskreises zum Randwinkel 60°.
  • Wiederhole die Konstruktionsschritte für einen Winkel von 100°.
  • Spiegle die Mittelpunkte der beiden bis jetzt erhaltenen Fasskreisbogen an der Geraden ABAB und zeichne die unteren Kreisbogenfelder.
Die Konstruktionsschritte kannst du am gegebenen Applet in der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABCABC mit der Basislänge AB=6cm\overline{AB}=6\,cm und der Schenkellänge AC=BC=5cm\overline{AC}=\overline{BC}=5\,cm.
Konstruiere unter Beibehaltung der Basis [AB][AB] ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel an der Spitze
a) halb so groß ist,
b) doppelt so groß ist,
wie der Winkel γ\gamma im Dreieck ABCABC.
Hinweis:
Die Konstruktion soll ohne Winkelmessungen oder Winkelkonstruktionen erfolgen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

Mache für a) den Winkel γ\gamma zu einem Mittelpunktswinkel und für b) zu einem Randwinkel eines passenden Fasskreisbogens.
GeoGebra
Plan zur Konstruktion
Fall a)
Die Spitze C1C_1 des gesuchten Dreiecks liegt
  1. auf der Mittelsenkrechten zu [AB][AB] und
  2. auf dem Kreis mit Mittelpunkt C und Radius AC\overline{AC}.
ABC1ABC_1 ist das gesuchte Dreieck.
Fall b)
Die Spitze M2M_2 des gesuchten Dreiecks liegt
  1. auf der Mittelsenkrechten zu [AB][AB] und
  2. auf der Mittelsenkrechten zu [AC][AC].
ABM2ABM_2 ist das gesuchte Dreieck. M2M_2 ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABCABC.
Die Konstruktionsschritte kannst du im gegebenen Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.
Abbildung Thaleskreis mit Winkel
Berechne für die nebenstehende Figur den Winkel α\alpha, wenn β=55°\beta=55°.
Die Punkte A,B,CA, B, C liegen auf dem Halbkreis.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Thales

Da CC auf einem Halbkreis auf der Strecke [AB][AB] liegt, ist dieser Halbkreis ein Thaleskreis. Daher ist γ=90°\gamma=90° nach dem Satz des Thales.
Mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck gilt dann:
α+β+γ=180°\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180°
Stelle nach α\alpha um, indem du von beiden Seiten der Gleichung γ\gamma und β\beta subtrahierst.
α=180°γβ\displaystyle \alpha=180°-\gamma -\beta
Setze die bereits gefundenen Werte γ=90°\gamma=90^° und β=55°\beta=55^° und berechne α\alpha.
α=180°90°55°=35°\displaystyle \alpha=180°-90° -55°=35°
Das gesuchte Maß des Winkels α\alpha beträgt: α=35°\alpha=35°.
Ein Dreieck viele Winkel
Die Punkte A,B,CA, B, C liegen auf dem Halbkreis.
Gegeben sind weiter die Winkel α=45°\alpha=45° und δ=75°\delta=75°.
Berechne die Winkel ε,  λ,  β\varepsilon,\;\lambda,\;\beta und μ\mu.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Innenwinkelsumme

Betrachte zunächst das Dreieck ACD\triangle ACD. Da die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer 180°180° beträgt, kannst du folgende Gleichung aufstellen:
α+ε+μ=180°\alpha+\varepsilon+\mu=180°
Lösbar ist diese Gleichung nur, wenn dir zwei von den drei Winkeln bekannt sind. Den Wert für α\alpha kannst du der Angabe entnehmen. ε\varepsilon lässt sich mit Hilfe des Nebenwinkels δ\delta bestimmen.
ε+δ=180°\varepsilon+\delta=180°
Löse nach ε\varepsilon auf und setze für δ\delta den gegebenen Wert 75°75° ein.
ε=180°75°=105°\varepsilon=180°-75°=105°
Setze ε\varepsilon in die erste Gleichung ein und stelle nach μ\mu um.
μ=180°105°45°=30°\mu=180°-105°-45°=30°

Satz von Thales

Die Winkel λ\lambda und β\beta sind noch zu bestimmen. Wende hierfür den Satz des Thales an und du erhältst folgende Gleichung:
μ+λ=90°\mu+\lambda=90°
Da du μ\mu schon berechnet hast, kann die Gleichung nach λ\lambda umgestellt und ausgerechnet werden.
λ=90°30°=60°\lambda=90°-30°=60°
Zuletzt kann β\beta mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck BCD\triangle BCD berechnet werden.
λ+β+δ=180°\lambda+\beta+\delta=180°
Setze die Werte ein und du erhältst:
β=180°75°60°=45°\displaystyle \beta=180°-75°-60°=45°
Jetzt hast du alle Winkel berechnet, die zu berechnen waren: $$\beta= 45° \\\alpha= 45° \\\delta= 75° \\\lambda= 60°\\\mu= 30° \\\epsilon= 105°\\$$
Gegeben ist - wie in nebenstehender Abbildung dargestellt - der Kreis K1K_1 mit Mittelpunkt MM und ein Punkt AA, der außerhalb des Kreises liegt.
Konstruiere eine Tangente des Kreises K1K_1 durch den Punkt AA.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Tipp: Zur Lösung dieses Problems verwendet man, dass die Strecke von MM zum Berührpunkt einer Tangente und die Tangente einen 90°90° Winkel einschließen.
Kreis mit Tangente

Konstruktion einer Tangente an einen Kreis

Zur Lösung dieses Problems verwendet man, dass die Strecke von MM zum Berührpunkt einer Tangente und die Tangente einen 90°90° Winkel einschließen.
Kreis mit Tangente
Ausgangssituation
Zeichne die Strecke [AM][AM].
Verbindung Punkt M und Punkt A
Konstruiere auf [AM][AM] die Mittelsenkrechte mm.
Lot fällen
Markiere den Schnittpunkt SS.
Schnittpunkt S
Zeichne den Kreis um SS mit Radius SM\overline{SM}.
Formal: K2=k(S,SM)K_2=k(S,\overline{SM})
Konstruktion zweiter Kreis
Markiere die beiden Schnittpunkte S1,S2S_1, S_2.
Formal: K1    K2={S1,S2}K_1\;\cap\; K_2 = \{S_1,S_2\}
Beim Kreis K2K_2 handelt es sich bei genauerem Hinsehen um einen Thaleskreis. Die Schnittpunkte S1S_1 und S2S_2 liegen auf diesem Kreis, was nach dem Satz des Thales bedeutet, dass das Maß des Winkels MS1A=AS2M=90°\sphericalangle MS_1A=\sphericalangle AS_2M=90°.
Deshalb ist die obenstehende Bedingung für eine Tangente erfüllt.
Schnittpunkte beider Kreise
Zeichne als letztes eine Gerade durch AA und einen der Schnittpunkte S1S_1 oder S2S_2.
Hier ist es egal, für welchen Schnittpunkt du dich entscheidest, denn beide Geraden AS1AS_1 und AS2AS_2 ergeben eine Tangente an den Kreis.
Wir zeichnen exemplarisch die Gerade AS1AS_1.
Tangente einzeichnen

Damit hast du eine Tangente an den Kreis K1K_1 durch den Punkt AA gezeichnet.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge AB=6cm\overline{AB}=6\,\mathrm{cm} und der zugehörigen Höhe h=1,5cmh=1{,}5\,\mathrm{cm}. Gibt es mehrere Lösungen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Thales



Konstruktion des Thaleskreises

Zeichne eine Strecke [AB][AB] mit der Länge 6cm6\,\mathrm{cm}.
Strecke A B
Konstruiere die Mittelsenkrechte gg zu den Punkten AA und BB. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke [AB][AB] ist der Mittelpunkt MM von AA und BB.
Ermittlung des Mittelpunktes
Zeichne den Thaleskreis, indem du einen Kreis mit Mittelpunkt MM durch AA und BB ziehst.
Thaleskreis

Konstruktion einer Parallelen

Nun musst du eine Parallele mit 1,5cm1{,}5\,\mathrm{cm} Abstand zur Strecke [AB][AB] konstruieren. Zeichne dafür zuerst einen Punkt PP auf der Mittelsenkrechten gg, sodass der Abstand vom Mittelpunkt MM zu PP 1,5cm1{,}5\,\mathrm{cm} beträgt.
Punkt P
Ziehe nun einen Kreis mit Kreismittelpunkt PP und beliebigem Radius. Finde die Schnittpunkte RR und SS des Kreises mit der Mittelsenkrechten gg.
Kreis um P
Wie oben kannst du nun die Mittelsenkrechte zu RR und SS konstruieren. Dadurch erhältst du eine zu [AB][AB] parallele Gerade mit Abstand 1,5cm1{,}5\,\mathrm{cm}.
Parallele

Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks

Der Schnittpunkt der parallelen Geraden mit dem Thaleskreis liefert die gesuchte Ecke CC des Dreiecks ABCABC. Durch Verbinden des Punktes CC mit den Punkten AA und BB erhältst du das gesuchte rechtwinklige Dreieck mit Seitenlänge AB=6cm\overline{AB}=6\,\mathrm{cm} und Höhe h=1,5cmh=1{,}5\,\mathrm{cm}.
Dreieck
Wie du oben siehst, gibt es einen zweiten Schnittpunkt der parallelen Geraden mit dem Thaleskreis. Dadurch erhältst du eine zweite Lösung (orange).
Lösungen 33 (lila) und 44 (blau) erhältst du durch Spiegelung der Eckpunkte an der Strecke [AB][AB].
Alle Lösungen
Alle 4 rechtwinkligen Dreiecke erfüllen die Anforderungen der Aufgabenstellung, da sie die Höhe h=1,5cmh=1{,}5\,\mathrm{cm} und Seitenlänge AB=6cm\overline{AB}=6\,\mathrm{cm} haben.
Beweiskunst
Der Punkt P liege auf dem Fasskreis der Sehne [AB][AB] so, dass die Strecke [PA][PA] Durchmesser ist.
Beweise für diese Lage von P den Randwinkelsatz, indem du zeigst, dass gilt:
      μ=2φ  und  τ=φ\displaystyle \;\;\;\mu = 2\varphi\;\text{und}\;\tau = \varphi
.
Erkenne in der Figur zwei gleichschenklige Dreiecke und benutze deren Basiswinkel zu Winkelberechnungen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

Hinweis:
Die einzelnen Beweisschritte kannst du mit der Navigationsleiste im gegebenen Applet (untere Zeile) nachvollziehen.
GeoGebra
  • BPM\triangle BPM ist gleichschenklig (BM=PM=r\overline{BM} = \overline{PM} = r)
  1. PBM=φ\sphericalangle{PBM} = \varphi (Basiswinkel)
  2. BMP=180°2φ\sphericalangle{BMP} = 180°- 2\varphi (Winkelsumme im Dreieck)
  3. μ+BMP=180°\mu + \sphericalangle {BMP}= 180° (Nebenwinkel)μ+180°2φ=180°\mu + \text{180°} - 2\varphi = 180°
  4. μ=2φ\mu = 2\varphi
  5. ABM\triangle{ABM} ist gleichschenklig (AM=BM=r\overline{AM} = \overline{BM} = r) mit Basiswinkel α\alpha
  6. Winkelsumme im Dreieck ABM:α+α+2φ=180°\alpha + \alpha+ 2\varphi =180° \vert:2
              α+φ=90°\;\;\;\;\;\;\;\,\alpha +\varphi = 90° \vert φ-\varphi% 
                          α=90°φ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\alpha=90°-\varphi
  • 90°+α+τ=180°90°+\alpha +\tau =180° (gestreckter Winkel)90°+90°φ+τ=180°90°+90°-\varphi + \tau =180°
  1. τ=φ\tau = \varphi
Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis
Zeige:
Für jeden von AA und BB verschiedenen Punkt PP auf dem Fasskreis der Sehne [AB][AB] gilt:
  • Der Randwinkel φ\varphi bei PP ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel μ\mu.
    φ=12μ\displaystyle \varphi=\frac{1}{2}\mu
  • Der Randwinkel φ\varphi bei PP ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel τ\tau.
    φ=τ\displaystyle \varphi=\tau

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

GeoGebra
  • Die Dreiecke AMPAMP, BMPBMP und AMBAMB sind gleichschenklig und haben somit gleiche Basiswinkel.
    In AMP\triangle{AMP} gilt: δ=δ\delta=\delta. (Zu benutzender Hilfswinkel.)
    In BMP\triangle{BMP} gilt: φδ=φδ\varphi-\delta=\varphi-\delta (Restwinkel an der Spitze PP).
    In AMB\triangle{AMB} gilt: 90°12μ=90°12μ90°-\frac{1}{2}\mu= 90°-\frac{1}{2}\mu. (Aus der Winkelsumme im AMB\triangle{AMB}.)
    Die Ermittlung der Basiswinkel in den drei Dreiecken kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.
  • Winkelsummensatz für ABC\triangle{ABC} und Auflösung der Gleichung nach φ\varphi:
  • [(90°12μ)+δ]BAP+φAPB+[(90°12μ)+(φδ)]PBA=180°\underbrace{[(90°-\frac{1}{2}\mu)+\delta]}_{\sphericalangle {BAP}}+\underbrace{\varphi}_{\sphericalangle{APB}}+\underbrace{[(90° -\frac{1}{2}\mu)+(\varphi-\delta)]}_{\sphericalangle{PBA}}=180°
Zusammenfassen der linken Seite.
Der eingeführte Hilfswinkel δ\delta fällt weg.
  • %%\begin{align}180°-\mu+2\varphi &=180°\;\;|+\mu -180°\\2\varphi&=\mu\;\;|:2\\\varphi&=\frac{1}{2}\mu\end{align}%%
  • Berechnung des Sehnen-Tangentenwinkels τ\tau
    Da die Tangente in AA auf dem Radius senkrecht steht gilt:
    τ=90°(90°φ)          Klammer auflo¨sen\tau=90°-(90°-\varphi)\;\;\;|\;\;\text{Klammer auflösen}
    τ=φ\tau=\varphi
  • Ergänzung zum Beweis:
    Liegt der Scheitel von φ\varphi auf dem kürzeren Kreisbogen über der Sehne [AB][AB], dann verläuft der Beweis - trotz der etwas anderen gegenseitigen Lage der Dreiecke - ganz entsprechend.
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