Aufgaben

Blickwinkel

Eine Sehne %%[AB]%% zerlege einen Kreis in zwei unterschiedlich lange Bogen.

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Du hast die Situation richtig erfasst: Je näher ein Punkt an der Sehne liegt, desto größer der Blickwinkel auf sie. Schon vom Fasskreisbogen aus sind hier die Blickwinkel größer als %%90°%%.

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Richtig!

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Richtig!

Die Randwinkel auf den beiden Seiten der Sehne ergeben zusammen %%180°%%.

Nur wenn die Sehne ein Durchmesser ist, wäre auf jeder Seite der Randwinkel ein rechter Winkel.

Je weiter ein Punkt von der Sehne entfernt ist, desto kleiner ist der Blickwinkel auf die Sehne. Also ist der Randwinkel auf dem längeren Bogen ein spitzer Winkel.

%%\;\;\;%%Randwinkel am längeren Bogen

Randwinkel und zugehörige Mittelpunktswinkel

Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) besagt, dass ein Randwinkel gerade halb so groß ist, wie der zugehörige Mittelspunktswinkel.

Randwinkel und Mittelpunktswinkel

Die beiden Randwinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°.

Zeige, dass hier also gilt: $$\varphi_1+\varphi_2=180°$$

Randwinkelsumme

Konstruiere in einem Kreis mit Radius %%r=3\,\mathrm{cm}%% zwei Sehnen, zu denen das Randwinkelpaar 60° und 120° gehört.

Kreis

Konstruktionsschritte:

  1. Zeichne in einem beliebigen Punkt %%A%% des Kreises die Tangente (das ist die Senkrechte auf dem Radius.)

  2. Trage in %%A%% an die Tangente den Winkel 60° an.

  3. Schneide den freien Schenkel des Winkels mit dem Kreis im Punkt %%P%%.

    Die Sehne %%[AP]%% ist die eine der beiden gesuchten Sehnen.

  4. Spiegle den Punkt %%P%% an der Geraden %%AB%%.

    Die Sehne %%[AP']%% ist die zweite gesuchte Sehne.

Die Konstruktionsschritte kannst du im gegebenen Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

Alternative Lösung:

Die zweite Sehne %%[AP']%% erhält man auch, wenn man in %%A%% - wie im nächsten Applet - auf der unteren Seite der Strecke %%[AB]%% einen 60°-Winkel an die Tangente anträgt.

Vertiefung der Aufgabe

In diesem Applet kannst du den Ausgangspunkt %%A%% der Konstruktion beliebig am Kreis verschieben. (Klicke ihn an und verschiebe ihn.)

Du erhältst dann alle Sehnen des Kreises zu denen ein Randwinkelpaar von 60° und 120° gehört.

Du erkennst auch, dass alle diese Sehnen vom Mittelpunkt %%M%% des Kreises gleich weit entfernt sind, da die Mittelpunkte der Sehnen auf einem (kleineren) Kreis liegen.

Ein Randwinkel %%\,\varphi\,%% ist um 40° kleiner als der zugehörige Mittelpunktswinkel %%\,\mu%%.

Wie groß sind %%\varphi%% und %%\mu%%?

Ein Randwinkel %%\,\varphi\,%% und sein zugehöriger Mittelpunktswinkel %%\mu%% betragen zusammen 210°.

Wie groß sind %%\varphi%% und %%\mu%%?

Die Punkte %%A,B,C%% liegen auf einer Geraden (siehe Zeichnung).

Wie viele Punkte in der Zeichenebene gibt es, von denen aus die Strecke %%[AB]%% unter einem Winkel von 50° und gleichzeitig die Strecke %%[BC]%% unter dem Winkel 30° erscheint?

Klicke an, was stimmt!

Textaufgabe zwei Fasskreisbogen

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Richtig. Kannst du sie auch konstruieren?

Es gibt zwei Punkte, die die gestellte Forderung erfüllen:

Zunächst den Schnittpunkt %%P_1%% des Fasskreisbogens über %%[AB]%% zum Randwinkel 50° mit dem Fasskreisbogen über %%[BC|%% zum Randwinkel 30°. Dazu dessen Spiegelpunkt %%P_2%% an der Geraden %%AC%%.

So konstruierst du die Punkte:

Zeichne in %%A%% (%%B%%) an die Halbgerade %%[AC%% einen Winkel von %%50°%% (%%30°%%). Errichte %%\;\;%%in %%A%% (%%B%%) auf den angetragenen Schenkel das Lot. Dieses schneidet die Mittelsenkrechte zu %%[AB]%% (%%[BC]%%) im Mittelpunkt %%M_1%% (%%M_2%%) des jeweiligen Fasskreisbogens.

Durch Abspielen der (unteren) Navigationsleiste im gezeichneten Applet kannst du die Konstruktion in einzelnen Schritten nachvollziehen.

Konstruiere den Bereich der Zeichenebene, von dem aus eine gegebene Strecke %%[AB]%% unter einem Winkel %%\varphi%% mit %%60°\leq\varphi\leq100°%% erscheint.

Der gesuchte Bereich besteht aus zwei (sichelförmigen) Kreisbogenfeldern, die zu einem Fasskreisbogenpaar mit Randwinkeln von 60° bzw. 100° gehören.

Die Konstruktionsschritte:

  • Konstruiere die Mittelsenkrechte zu %%[AB]%%.

  • Zeichne an %%[AB]%% in %%A%% einen 60°-Winkel.

  • Errichte auf dem erhaltenen Schenkel dieses Winkels das Lot.

  • Der Schnittpunkt des Lotes mit der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Fasskreises zum Randwinkel 60°.

  • Wiederhole die Konstruktionsschritte für einen Winkel von 100°.

  • Spiegle die Mittelpunkte der beiden bis jetzt erhaltenen Fasskreisbogen an der Geraden %%AB%% und zeichne die unteren Kreisbogenfelder.

Die Konstruktionsschritte kannst du am gegebenen Applet in der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck %%ABC%% mit der Basislänge %%\overline{AB}=6\,cm%% und der Schenkellänge %%\overline{AC}=\overline{BC}=5\,cm%%.

Konstruiere unter Beibehaltung der Basis %%[AB]%% ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel an der Spitze

a) halb so groß ist,

b) doppelt so groß ist,

wie der Winkel %%\gamma%% im Dreieck %%ABC%%.

Hinweis:

Die Konstruktion soll ohne Winkelmessungen oder Winkelkonstruktionen erfolgen.

Anleitung

Mache für a) den Winkel %%\gamma%% zu einem Mittelpunktswinkel und für b) zu einem Randwinkel eines passenden Fasskreisbogens.

Plan zur Konstruktion

Fall a)

Die Spitze %%C_1%% des gesuchten Dreiecks liegt

  1. auf der Mittelsenkrechten zu %%[AB]%% und
  2. auf dem Kreis mit Mittelpunkt C und Radius %%\overline{AC}%%.

%%ABC_1%% ist das gesuchte Dreieck.

Fall b)

Die Spitze %%M_2%% des gesuchten Dreiecks liegt

  1. auf der Mittelsenkrechten zu %%[AB]%% und
  2. auf der Mittelsenkrechten zu %%[AC]%%.

%%ABM_2%% ist das gesuchte Dreieck. %%M_2%% ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks %%ABC%%.

Die Konstruktionsschritte kannst du im gegebenen Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

Berechne für die nebenstehende Figur den Winkel %%\alpha%%, wenn %%\beta=55°%%.

Die Punkte %%A, B, C%% liegen auf dem Halbkreis.

Abbildung Thaleskreis mit Winkel

Thaleskreis

Da %%C%% auf einem Halbkreis auf der Strecke %%[AB]%% liegt, ist dieser Halbkreis ein Thaleskreis. Daher ist %%\gamma=90°%% nach dem Satz des Thales.

Mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck gilt dann:

$$\alpha+\beta+\gamma=180°$$

Stelle nach %%\alpha%% um, indem du von beiden Seiten der Gleichung %%\gamma%% und %%\beta%% subtrahierst.

$$\alpha=180°-\gamma -\beta$$

Setze die bereits gefundenen Werte %%\gamma=90^°%% und %%\beta=55^°%% und berechne %%\alpha%%.

$$\alpha=180°-90° -55°=35°$$

Das gesuchte Maß des Winkels %%\alpha%% beträgt: %%\alpha=35°%%.

Die Punkte %%A, B, C%% liegen auf dem Halbkreis.

Gegeben sind weiter die Winkel %%\alpha=45°%% und %%\delta=75°%%.

Berechne die Winkel %%\varepsilon,\;\lambda,\;\beta%% und %%\mu%%.

Ein Dreieck viele Winkel

Anwenden der Innenwinkelsumme in einem Dreieck.

Betrachte zunächst das Dreieck %%\triangle ACD%%. Da die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer %%180°%% beträgt, kannst du folgende Gleichung aufstellen:

%%\alpha+\varepsilon+\mu=180°%%

Lösbar ist diese Gleichung nur, wenn dir zwei von den drei Winkeln bekannt sind. Den Wert für %%\alpha%% kannst du der Angabe entnehmen. %%\varepsilon%% lässt sich mit Hilfe des Nebenwinkels %%\delta%% bestimmen.

%%\varepsilon+\delta=180°%%

Löse nach %%\varepsilon%% auf und setze für %%\delta%% den gegebenen Wert %%75°%% ein.

%%\varepsilon=180°-75°=105°%%

Setze %%\varepsilon%% in die erste Gleichung ein und stelle nach %%\mu%% um.

%%\mu=180°-105°-45°=30°%%

Satz von Thales

Die Winkel %%\lambda%% und %%\beta%% sind noch zu bestimmen. Wende hierfür den Satz des Thales an und du erhältst folgende Gleichung:

%%\mu+\lambda=90°%%

Da du %%\mu%% schon berechnet hast, kann die Gleichung nach %%\lambda%% umgestellt und ausgerechnet werden.

%%\lambda=90°-30°=60°%%

Zuletzt kann %%\beta%% mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck %%\triangle BCD%% berechnet werden.

%%\lambda+\beta+\delta=180°%%

Setze die Werte ein und du erhältst:

$$\beta=180°-75°-60°=45°$$ Jetzt hast du alle Winkel berechnet, die zu berechnen waren: $$ \beta= 45° \\ \alpha= 45° \\ \delta= 75° \\ \lambda= 60°\\ \mu= 30° \\ \epsilon= 105°\\ $$

Gegeben ist - wie in nebenstehender Abbildung dargestellt - der Kreis %%K_1%% mit Mittelpunkt %%M%% und ein Punkt %%A%%, der außerhalb des Kreises liegt.

Konstruiere eine Tangente des Kreises %%K_1%% durch den Punkt %%A%%.

Konstruktion einer Tangente an einen Kreis

Zur Lösung dieses Problems verwendet man, dass die Strecke von %%M%% zum Berührpunkt einer Tangente und die Tangente einen %%90°%% Winkel einschließen.

Hilfe

Ausgangssituation

Zeichne die Strecke %%[AM]%%.

1

Konstruiere auf %%[AM]%% die Mittelsenkrechte %%m%%.

2

Markiere den Schnittpunkt %%S%%.

3

Zeichne den Kreis um %%S%% mit Radius %%\overline{SM}%%.

Formal: %%K_2=k(S,\overline{SM})%%

4

Markiere die beiden Schnittpunkte %%S_1, S_2%%.

Formal: %%K_1\;\cap\; K_2 = \{S_1,S_2\}%%

Beim Kreis %%K_2%% handelt es sich bei genauerem Hinsehen um einen Thaleskreis. Die Schnittpunkte %%S_1%% und %%S_2%% liegen auf diesem Kreis, was nach dem Satz des Thales bedeutet, dass das Maß des Winkels %%\sphericalangle MS_1A=\sphericalangle AS_2M=90°%%.

Deshalb ist die obenstehende Bedingung für eine Tangente erfüllt.

5

Zeichne als letztes eine Gerade durch %%A%% und einen der Schnittpunkte %%S_1%% oder %%S_2%%.

Hier ist es egal, für welchen Schnittpunkt du dich entscheidest, denn beide Geraden %%AS_1%% und %%AS_2%% ergeben eine Tangente an den Kreis.

Wir zeichnen exemplarisch die Gerade %%AS_1%%.

6

Damit hast du eine Tangente an den Kreis %%K_1%% durch den Punkt %%A%% gezeichnet.

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge %%\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}%% und der zugehörigen Höhe %%h=1{,}5\,\mathrm{cm}%%. Gibt es mehrere Lösungen?

Konstruktion des Thaleskreises

Zeichne eine Strecke %%[AB]%% mit der Länge %%6\,\mathrm{cm}%%.

Strecke

Konstruiere die Mittelsenkrechte %%g%% zu den Punkten %%A%% und %%B%%. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke %%[AB]%% ist der Mittelpunkt %%M%% von %%A%% und %%B%%.

Zeichne den Thaleskreis, indem du einen Kreis mit Mittelpunkt %%M%% durch %%A%% und %%B%% ziehst.

Thaleskreis

Konstruktion einer Parallelen

Nun musst du eine Parallele mit %%1{,}5\,\mathrm{cm}%% Abstand zur Strecke %%[AB]%% konstruieren. Zeichne dafür zuerst einen Punkt %%P%% auf der Mittelsenkrechten %%g%%, sodass der Abstand vom Mittelpunkt %%M%% zu %%P%% %%1{,}5\,\mathrm{cm}%% beträgt.

Punkt P

Ziehe nun einen Kreis mit Kreismittelpunkt %%P%% und beliebigem Radius. Finde die Schnittpunkte %%R%% und %%S%% des Kreises mit der Mittelsenkrechten %%g%%.

Kreis um P

Wie oben kannst du nun die Mittelsenkrechte zu %%R%% und %%S%% konstruieren. Dadurch erhältst du eine zu %%[AB]%% parallele Gerade mit Abstand %%1{,}5\,\mathrm{cm}%%.

Parallele

Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks

Der Schnittpunkt der parallelen Geraden mit dem Thaleskreis liefert die gesuchte Ecke %%C%% des Dreiecks %%ABC%%. Durch Verbinden des Punktes %%C%% mit den Punkten %%A%% und %%B%% erhältst du das gesuchte rechtwinklige Dreieck mit Seitenlänge %%\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}%% und Höhe %%h=1{,}5\,\mathrm{cm}%%.

Dreieck

Wie du oben siehst, gibt es einen zweiten Schnittpunkt der parallelen Geraden mit dem Thaleskreis. Dadurch erhältst du eine zweite Lösung (orange).

Lösungen %%3%% (lila) und %%4%% (blau) erhältst du durch Spiegelung der Eckpunkte an der Strecke %%[AB]%%.

Alle Lösungen

Alle 4 rechtwinkligen Dreiecke erfüllen die Anforderungen der Aufgabenstellung, da sie die Höhe %%h=1{,}5\,\mathrm{cm}%% und Seitenlänge %%\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}%% haben.

Beweiskunst

Der Punkt P liege auf dem Fasskreis der Sehne %%[AB]%% so, dass die Strecke %%[PA]%% Durchmesser ist.

Beweise für diese Lage von P den Randwinkelsatz, indem du zeigst, dass gilt: $$\;\;\;\mu = 2\varphi\;\text{und}\;\tau = \varphi$$.

Tipp

Erkenne in der Figur zwei gleichschenklige Dreiecke und benutze deren Basiswinkel zu Winkelberechnungen

Hinweis:

Die einzelnen Beweisschritte kannst du mit der Navigationsleiste im gegebenen Applet (untere Zeile) nachvollziehen.

  • %%\triangle BPM%% ist gleichschenklig (%%\overline{BM} = \overline{PM} = r%%)
  1. %%\sphericalangle{PBM} = \varphi%% (Basiswinkel)

  2. %%\sphericalangle{BMP} = 180°- 2\varphi%% (Winkelsumme im Dreieck)

  3. %%\mu + \sphericalangle {BMP}= 180°%% (Nebenwinkel) %%\mu + \text{180°} - 2\varphi = 180°%%

  4. %%\mu = 2\varphi%%

  5. %%\triangle{ABM}%% ist gleichschenklig (%%\overline{AM} = \overline{BM} = r%%) mit Basiswinkel %%\alpha%%

  6. Winkelsumme im Dreieck ABM: %%\alpha + \alpha+ 2\varphi =180°%% %%\vert%%:2

%%\;\;\;\;\;\;\;\,\alpha +\varphi = 90°%% %%\vert%% %%-\varphi% %%

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\alpha=90°-\varphi%%

  • %%90°+\alpha +\tau =180°%% (gestreckter Winkel) %%90°+90°-\varphi + \tau =180°%%
  1. %%\tau = \varphi%%

Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis

Zeige:

Für jeden von %%A%% und %%B%% verschiedenen Punkt %%P%% auf dem Fasskreis der Sehne %%[AB]%% gilt:

  • Der Randwinkel %%\varphi%% bei %%P%% ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel %%\mu%%.$$\varphi=\frac{1}{2}\mu$$

  • Der Randwinkel %%\varphi%% bei %%P%% ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel %%\tau%%.$$\varphi=\tau$$

  • Die Dreiecke %%AMP%%, %%BMP%% und %%AMB%% sind gleichschenklig und haben somit gleiche Basiswinkel.

    In %%\triangle{AMP}%% gilt: %%\delta=\delta%%. (Zu benutzender Hilfswinkel.)

    In %%\triangle{BMP}%% gilt: %%\varphi-\delta=\varphi-\delta%% (Restwinkel an der Spitze %%P%%).

    In %%\triangle{AMB}%% gilt: %%90°-\frac{1}{2}\mu= 90°-\frac{1}{2}\mu%%. (Aus der Winkelsumme im %%\triangle{AMB}%%.)

    Die Ermittlung der Basiswinkel in den drei Dreiecken kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

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-

-

  • Winkelsummensatz für %%\triangle{ABC}%% und Auflösung der Gleichung nach %%\varphi%%:
  • %%\underbrace{[(90°-\frac{1}{2}\mu)+\delta]}_{\sphericalangle {BAP}}+\underbrace{\varphi}_{\sphericalangle{APB}}+\underbrace{[(90° -\frac{1}{2}\mu)+(\varphi-\delta)]}_{\sphericalangle{PBA}}=180°%%

Zusammenfassen der linken Seite.

Der eingeführte Hilfswinkel %%\delta%% fällt weg.

  • %%\begin{align}180°-\mu+2\varphi &=180°\;\;|+\mu -180°\\ 2\varphi&=\mu\;\;|:2\\ \varphi&=\frac{1}{2}\mu\end{align}%%
  • Berechnung des Sehnen-Tangentenwinkels %%\tau%%

    Da die Tangente in %%A%% auf dem Radius senkrecht steht gilt:

    %%\tau=90°-(90°-\varphi)\;\;\;|\;\;\text{Klammer auflösen}%%

    %%\tau=\varphi%%

  • Ergänzung zum Beweis:

    Liegt der Scheitel von %%\varphi%% auf dem kürzeren Kreisbogen über der Sehne %%[AB]%%, dann verläuft der Beweis - trotz der etwas anderen gegenseitigen Lage der Dreiecke - ganz entsprechend.

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