Aufgaben
Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an. (Das Bild kann mit einem Rechtsklick vergrößert angezeigt werden.)
Satz des Pythagoras

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Benutze den Satz des Pythagoras.
  • a) t2=s2+r2t^2=s^2+r^2
  • b) u2=v2+w2u^2=v^2+w^2
  • c) a2=b2+c2a^2=b^2+c^2
  • d) y2=x2+z2y^2=x^2+z^2
  • e) b2=a2+c2b^2=a^2+c^2
Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen.
Satz des Pythagoras
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Teilaufgabe a)

x2x^2==(8cm)2+(5cm)2\left(8\text{cm}\right)^2+\left(5\text{cm}\right)^2
x2x^2==64cm2+25cm264\text{cm}^2+25\text{cm}^2
x2x^2==89cm289\text{cm}^2|\sqrt{ }
Ziehe die Wurzel.
xx==±89\pm\sqrt{89}
xx±9,43\pm9,43
Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.
Ergebnis: x=89cm9,43cmx=\sqrt{89}\text{cm}\approx9,43\text{cm}

Teilaufgabe b)

y2y^2==(9cm)2+(2cm)2\left(9\text{cm}\right)^2+\left(2\text{cm}\right)^2
y2y^2==81cm2+4cm281\text{cm}^2+4\text{cm}^2
y2y^2==85cm285\text{cm}^2|\sqrt{ }
Ziehe die Wurzel.
yy==±85cm\pm\sqrt{85}\text{cm}
yy9,22 cm9,22\ \text{cm}
Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.
Ergebnis: y=85cm9,22cmy=\sqrt{85}\text{cm}\approx9,22\text{cm}

Teilaufgabe c)

(15cm)2\left(15\text{cm}\right)^2==z2+(10cm)2z^2+\left(10\text{cm}\right)^2
225cm2225\text{cm}^2==z2+100cm2z^2+100\text{cm}^2|100 cm2-100\ \text{cm}^2
125cm2125\text{cm}^2==z2z^2|\sqrt{ }
Ziehe die Wurzel.
±125cm\pm\sqrt{125}\text{cm}==zz
11,18 cm11,18\ \text{cm}zz
Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.
Ergebnis: z=125cm11,18cmz=\sqrt{125}\text{cm}\approx11,18\text{cm}

Teilaufgabe d)

(45cm)2\left(45\text{cm}\right)^2==u2+(28cm)2u^2+\left(28\text{cm}\right)^2
2025cm22025\text{cm}^2==u2+784cm2u^2+784\text{cm}^2|784cm2-784\text{cm}^2
1241cm21241\text{cm}^2==u2u^2|\sqrt{ }
Ziehe die Wurzel.
±1241cm \pm\sqrt{1241}\text{cm}\ ==uu
35,23cm 35,23\text{cm}\ ==uu
Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.
Ergebnis: u=1241cm35,23cmu=\sqrt{1241}\text{cm}\approx35,23\text{cm}

Teilaufgabe e)

(12cm)2\left(12\text{cm}\right)^2==v2+(8cm)2v^2+\left(8\text{cm}\right)^2
144cm2144\text{cm}^2==v2+64cm2v^2+64\text{cm}^2|64cm2-64\text{cm}^2
80cm280\text{cm}^2==v2v^2|\sqrt{ }
Ziehe den Wurzel.
±80cm \pm\sqrt{80}\text{cm}\ ==vv
8,94cm 8,94\text{cm}\ vv
Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.
Ergebnis: v=80cm8,94cmv=\sqrt{80}\text{cm}\approx8,94\text{cm}
Berechne die fehlenden Längen! (alle Maße in mm)
1.
02a_des
2.
02b_des
**

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Teilaufgabe 1

Gesucht ist nicht die Diagonale, sondern eine der Seiten!
xx==(781mm)2(500mm)2\sqrt{\left(781\,\mathrm{mm}\right)^2 - \left(500\,\mathrm{mm}\right)^2}
Berechnung der Gleichung
xx==599,967mm599,967\,\mathrm{mm}
Runden auf gültige Ziffern
xx0,6m0,6\,\mathrm{m}

Teilaufgabe 2

xx==(800mm)2+(700mm)2\sqrt{\left(800\,\mathrm{mm}\right)^2 + \left(700\,\mathrm{mm}\right)^2}
Berechnung der Gleichung
xx==1063,015mm1063,015\,\mathrm{mm}
Runden auf gültige Ziffern
xx1,06m1,06\,\mathrm{m}

Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks %%ABCD%%.

Satz des Pythagoras

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

d2=(12cm)2+(5cm)2d^2=(12\,\mathrm{cm})^2+(5\,\mathrm{cm})^2
d2=144cm2+25cm2d^2=144\,\mathrm{cm}^2+25\,\mathrm{cm}^2
d2=169cm2d^2=169\,\mathrm{cm}^2
Ziehe die Wurzel aus 169
d=13cmd=13\,\mathrm{cm}

Die Diagonale dd ist 13cm13\,\mathrm{cm}.
Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Doppeltor gebaut werden. Die Maße sind hier jeweils in mm\text{mm} angegeben. Der Querschnitt der Stäbe ist ein Quadrat mit Kantenlänge 50mm50\text{mm}.
Berechne die Gesamtlänge an Stäben, die mindestens benötigt wird.
Beachte, wie die Profile zusammengebaut werden.
03_des

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Anwendung des Satz des Pythagoras

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Textaufgabe, bei der der Satz des Pythagoras verwendet wird.
Die benötigte Gesamtlänge der Stabe ergibt sich aus der Stablänge der beiden Diagonalen, der Stablänge des Umfangs des Doppeltors und der Länge der beiden mittleren Stäbe.

Gesamtlänge der mittleren Stäbe

Beide Stäbe sind laut Skizze 2570mm2570\text{mm} lang. Somit ist die Gesamtlänge:
%%\begin{array}{lcl}L_1 & = & 2\cdot 2570\text{mm} \\& = & 5140\text{mm} \\\end{array}%%

Umfang des Doppeltors

Beim Doppeltor handelt es sich um ein Rechteck. Dessen Umfang kannst du wie folgt berechnen:
%%\begin{array}{lclcl}L_2 & = & 2\cdot 3100\text{mm} & + & 2 \cdot 2570\text{mm} \\& = & 6200\text{mm} & + & 5140\text{mm} \\& = & 11340 \text{mm} \\\end{array}%%

Stablänge der Diagonalen

Beide Stäbe sind die Diagonalen der inneren, rechteckigen Flächen. Um die Stäblänge auszurechnen benötigst du die Länge und Breite der Innenflächen.Mit Hilfe der Skizze ergibt sich:
La¨nge=(Doppeltorla¨nge:2)(2Stabbreite)\text{Länge} = (\text{Doppeltorlänge} : 2) - (2 \cdot \text{Stabbreite})
Breite=Doppeltorho¨he(2Stabbreite)\text{Breite} = \text{Doppeltorhöhe} - (2 \cdot \text{Stabbreite})
Somit ist die Länge:
%%\begin{array}{lclcl}l & = & (3100\text{mm} : 2) & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 1550\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 1450\text{mm} \\\end{array}%%
Und die Breite:
%%\begin{array}{lclcl}b & = & 2570\text{mm} & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 2570\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 2470\text{mm} \\\end{array}%%
Um die Stablänge einer Diagonalen zu berechnen, wenden wir den Satz des Pythagoras an:
%%\begin{array}{lcl}d & = & \sqrt{l^2 + b^2} \\& = & \sqrt{(1450\text{mm})^2 + (2470\text{mm})^2} \\& = & 2864,15…\text{mm} \\& \approx & 2864\text{mm} \\\end{array}%%
Die Länge beider Stäbe entspricht also:
%%\begin{array}{lcl}L_3 & = & 2 \cdot d \\& \approx & 2 \cdot 2864\text{mm} \\& = & 5728\text{mm} \\\end{array}%%

Gesamte Stablänge

Die benötigte Gesamtlänge ist somit:
%%\begin{array}{lclclcl}L & = & L_1 & + & L_2 & L_3 \\& \approx & 5140\text{mm} & + & 11340\text{mm} & + & 5728\text{mm} \\& = & 22208\text{mm} \\\end{array}%%
Es wird also eine Gesamtlänge von etwa 22208mm=22,208m22208\text{mm} = 22,208\text{m} an Stäben benötigt.
In der Mitte zwischen zwei Häusern soll an einem Spannseil eine Straßenlaterne aufgehängt werden. Das Spannseil hat genau eine Länge von l=6,4ml = 6,4 \,\mathrm{m}.
Nachdem die Lampe angebracht wurde, hängt das Seil, wie aus nebenstehender Zeichnung zu sehen ist, etwas durch.
04_des
  1. Um welche Länge wurde das Seil durch die Belastung gedehnt?
  2. Wie viel % wird das Seil gedehnt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz von Pythagoras

Teilaufgabe 1

5048_v9bgP8bqxk.png
x=6400mm2x = \frac{6400\,\mathrm{mm}}2
x=3200mmx = 3200\,\mathrm{mm}
y=4000mm3200mmy = 4000 \mathrm{mm}- 3200 \mathrm{mm}
y=800my = 800 \mathrm{m}
Für die weitere Berechnung wird der Satz von Pythagoras benötigt:
Länge des gedehnten Seils Sg=2x2+y2S_g = 2\cdot\sqrt{x^2 + y^2}
Sg=6,597mS_g = 6,597\,\mathrm{m}
Längenänderung =Sg6400mm= S_g - 6400 \mathrm{mm}
Längenänderung =196,969mm= 196,969 \mathrm{mm}

Teilaufgabe 2

Für die prozentuale Längenänderung wird die Berechnung des Prozentwertes benötigt.
GG ==6400mm6400\mathrm{mm}
WW==196,969mm196,969 \mathrm{mm}
Längenänderung aus Teilaufgabe 1
WW==GPG\cdot P
Umstellen der Gleichung
PP==WG\frac{W}{G}
Einsetzen und ausrechnen
PP==0,030780,03078
Umformen der Dezimalzahl in eine Prozentzahl
PP==3,078%3,078\%
  1. Ermittle die Formel für den Abstand %%\overline{PQ}%% der Punkte  %%P(x_p \mid y_p)%% und %%Q(x_q \mid y_q)%%. Mache dir die Formel anhand einer Skizze klar.

  2. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks %%ABC%% mit %%A(3 \mid 2)%%, %%B(1 \mid 1)%%, %%C(5 \mid -2)%% .

  3. Vom Satz des Pythagoras gilt auch die Umkehrung, d. h., gilt %%a^2+b^2=c^2%%, so hat das Dreieck bei %%C%% einen rechten Winkel. Zeige damit, dass das Dreieck aus Teilaufgabe 2 bei %%A%% rechtwinklig ist.

Teilaufgabe 1

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9a)

Die Punkte %%P%% und %%Q%% sind zwei Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Punkte %%P%% und %%Q%% sind weiterhin die Endpunkte der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks werden aus der Abständen der Punkte %%P%% und %%Q%% voneinander in horizontaler (%%\Delta x%%) und vertikaler Richtung (%%\Delta y%%) gebildet. 

Der Abstand %%\overline{PQ}%% zwischen den Punkten %%P%% und %%Q%% ergibt sich somit aus der Wurzel der Quadrate der Differenzen %%\Delta x=x_Q-x_P%% und %%\Delta y=y_Q-y_P%%.

$$\overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\;\Delta x=x_Q-x_P,\;\Delta y=y_Q-y_P$$

Teilaufgabe 2

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9b)

%%\overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\Delta x=x_q-x_p,\Delta y=y_q-y_p%%

Übernehmene die Lösung aus Teilaufgabe 1.

Somit ergibt sich für die Länge der Seite %%\overline{AB}%% mit %%x_A=3%%%%x_B=1%% und  %%y_A=2%%%%y_B=1%%

%%\overline{AB}=\sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(1-2\right)^2}%%

%%\overline{AB}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2} \approx 2,24%%

und für die Länge der Seite %%\overline{AC}%% entsprechend zu oben eingesetzt

%%\overline{AC}=\sqrt{\left(5-3\right)^2+\left(-2-2\right)^2}%%

%%\overline{AC}=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(-4\right)^2} \approx 4,47%%

und für die Länge der Seite %%\overline{BC}%%.

%%\overline{BC}=\sqrt{\left(4\right)^2+\left(-3\right)^2}=5%%

Teilaufgabe 3

Skizze zu Lösung Aufgabe Pythagoras 9c)

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite die Hypotenuse. Dieses wäre dann die Seite %%\overline{BC}%%. Die Seiten %%\overline{AB}%%  und %%\overline{AC}%%  wären die Kathen. Es ist zu überprüfen, ob: $$\overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}.$$

Die Ergebnisse für die Seitenlängen können aus der Lösung der Teilaufgabe 2 übernommen werden.

%%\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}=\sqrt{2,24^2+4,47^2}\approx 5%%

Rechnung, Die Werte werden aus der Lösung von Teilaufgabe 2 übernommen.

Das Dreieck ist bei %%A%% rechtwinklig

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in %%\mathrm m%%):

  1. Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

  2. Wie viel %%\mathrm m^2%% Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben (auf zwei Nachkommastellen) mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

7663_gwzK51bI4S.xml

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%
    (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%
    (denn um von %%\mathrm E%% zu %%\mathrm F%% zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu %%\mathrm T%% webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Möglichen längste Strecken im Holzhäuschen

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne zuerst die Längen der beiden Strecken %%\left[\mathrm{ET}\right]%% und %%\left[\mathrm{EF}\right]%%,
  • und prüfe dann, welche von beiden die längere ist.

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%

Skizze: Dreieck EHT im Holzhäuschen

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm H%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{ET}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{HT}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EH}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHG am Boden des Holzhäuschens

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EH}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EGH}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm G%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2%%

%%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm{GH}}=2,50\,\mathrm m%% sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3,40\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

und rechne aus.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=17,81\mathrm m^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EH}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EH}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EH}}\approx4,22\;\mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{ET}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHT zur endgültigen Berechnung der Strecke von E nach T

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\left( \sqrt{17,81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=21,9309\, \mathrm m ^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{ET}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{ET}}=\sqrt{21,9309}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{21,9309}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{ET}}\approx4,68 \, \mathrm m%%

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%

Skizze: Dreieck ENF

Die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm N%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{NF}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{MD}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EN}}%% musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EN}}%%:

Skizze: Dreieck EMN

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EN}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EMN}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm M%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{MN}}=2,50\,\mathrm m%% ist angegeben und du kannst sie einsetzen
(denn die Strecke %%\left[\mathrm{MN}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{GH}\right]%%).

%%\left[\mathrm{EM}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\left(\dfrac{3,40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=9,14\, \mathrm m ^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EN}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\, \mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EN}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EN}}\approx3,02\, \mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{EF}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EN}}%%:

Dreieck ENF

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\left(\sqrt{9,14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=15,6425 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{EF}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{EF}}=\sqrt{15,6425}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{15,6425}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{EF}}\approx3,96 \, \mathrm m%%

Ergebnis

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% mit einer Streckenlänge von ca. %%4,68\,\mathrm m%% ist größer als die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

Damit ist die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne die Fläche des Rechtecks %%\mathrm {DSTF}%% und

  • multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Holzhäuschen-Dachflächen

Berechnung der Fläche der Dachhälfte %%\mathrm {DSTF}%%

%%A_\mathrm {DSTF}=?%%

Das Viereck %%\mathrm {DSFT}%% ist ein Rechteck.
Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

%%A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite%%

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ist angegeben, aber %%\overline{\mathrm {DS}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{DS}}%%:

Seitenkante mit Pythagoras berechnen

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{DS}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{KSD}%% auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm K%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{DS}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\left[\mathrm{KS}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\overline{\mathrm {DK}}%% kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken %%\left[\mathrm{DM}\right]%% und %%\left[\mathrm{KM}\right]%%:

%%\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}%%

%%\overline{\mathrm{DM}}=2,55 \, \mathrm m%% ist angegeben.

%%\overline{\mathrm{KM}}=2,03 \, \mathrm m%% kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke %%\left[\mathrm{KM}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{DK}}=2,55\, \mathrm m - 2,03 \,\mathrm m = 0,52 \,\mathrm m%%

Setze dies nun ein.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0,52\, \mathrm m\right)^2%%

Das kannst du jetzt ausrechnen.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=3,1604 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{DS}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{DS}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{DS}}=\sqrt{3,1604}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{3,1604}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%%

Diesen gerundeten Wert für %%\overline{\mathrm{DS}}%% kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Hier setzt du nun %%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ein.

%%A=2\cdot2,5\,\mathrm m\cdot 1,78\,\mathrm m=8,9\,\mathrm m^2%%

Der Flächeninhalt des Daches beträgt %%8,9 \ m^2%%.

Anwendung in der Physik:

Geschwindigkeitspfeile werden oft zerlegt in Horizontalgeschwidigkeit vxv_x und Vertikalgeschwindigkeit vyv_y .
Dabei können vxv_x und vyv_y je nach Richtung (rechts/links bzw. oben/unten) positiv oder negativ sein.
Beim Vektor vv betrachten wir hier die Pfeillänge v\left|v\right| .
Ergänze die folgende Tabelle

%%v_x%%

5

6

3

7

%%v_y%%

12

-8

0,8

15

%%\vert v \vert%%

1

17

5

25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

%%v_x%%

5

6

0,6

8

3

7

%%v_y%%

12

-8

0,8

15

4

24

%%\vert v \vert%%

13

10

1

17

5

25

  1. Stelle für die nebenstehende Figur drei Pythagoras-Formeln auf.

  2. Im rechtwinkligen Dreieck gilt auch der Kathetensatz  %%a^2=pc%% (ebenso  %%b^2=qc%%), der z. B. mithilfe ähnlicher Dreiecke bewiesen werden kann. Setze damit (und mit Hilfe von Teilaufgabe 1) den hier vorgegebenen Ansatz fort und folgere damit den sogenannten Hohensatz: %%pq = p(c-p) = \dots%%

Teilaufgabe 1

$$p^2+h^2=a^2;\;q^2+h^2=b^2;\;a^2+b^2=c^2$$

Teilaufgabe 2

$$pq=p\left(c-p\right)$$

Wende das Distributivgesetz an.

%%pq=pc-p^2%%

Setze %%a^2%% für %%pc%% ein (siehe Kathetensatz).

$$pq=a^2-p^2=h^2$$

siehe Teilaufgabe 1

01_des
Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Gartentor aus Vierkantprofil (40x40) gefertigt werden.
Bestimme die Gesamtlänge der benötigten Profilstäbe, wenn mit einem Verschnitt von 5% zu rechnen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Berechnung der Länge der Diagonalen

Verwende den Satz von Pythagoras, um die Länge der Diagonale SS zu bestimmen.
S=(800mm)2+(600mm)2S = \sqrt{\left(800\,\mathrm{mm}\right)^2+\left(600\,\mathrm{mm}\right)^2}
S=1000mm\phantom{S} = 1000\,\mathrm{mm}
S=1m\phantom{S} = 1m

Berechnung des Umfangs des Rechtecks

Berechne den Umfang der Seitenteile STS_T
ST=2880mm+2680mmS_T = 2 \cdot 880\,\mathrm{mm} + 2 \cdot 680\,\mathrm{mm}
ST=3120mm\phantom{S_T} =3120\,\mathrm{mm}
ST=3,12m\phantom{S_T}= 3,12\,\mathrm{m}

Berechnung der Gesamtlänge

Addiere nun die beiden Teilergebnisse um die Gesamtlänge der benötigten Profilstäbe zu bestimmen. Den Verschnitt beachtest du erstmal nicht.
Sohne Verschnitt=ST+S=1m+3,12m=4,12mS_{\text{ohne Verschnitt}} = S_T + S = 1\,\mathrm{m} + 3,12\,\mathrm{m} = 4,12\,\mathrm{m}
5 %5\ \% Verschnitt wird anfallen. Das heißt Sohne VerschnittS_\text{ohne Verschnitt} sind 95 % 95\ \%\ der benötigten Holzlänge SGesamtS_\text{Gesamt}.
p  =  0,05p\;=\;0,05
Berechnung des Grundwerts
SGesamt=Sohne Verschnitt1p Smit Verschnitt=4,12m0,95Smit Verschnitt4,337mS_{\text{Gesamt}}=\dfrac{S_{\text{ohne Verschnitt}}}{1-p}\ \\\phantom{S_{\text{mit Verschnitt}}} =\dfrac{4,12\text{m} }{0,95}\\\phantom{S_{\text{mit Verschnitt}}}\approx 4,337 \text{m} 
Die benötigte Gesamtlänge beträgt SGesamt=4,337mS_{\text{Gesamt}} = 4,337\,\mathrm{m}.
Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge 7? Gib das Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge a=7a=7?
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4584_GMA9UCoCkE.xml
In grüner Farbe eingezeichnet ist die Diagonale AC\overline{AC} der unteren Fläche des Würfels, eines Quadrats, die nach dem Satz des Pythagoras die Länge =a2=a\sqrt2 besitzt.
In roter Farbe ist die Raumdiagonale des Würfels mit Länge dd eingezeichnet.
In gelber Farbe ist die Kante CG\overline{CG} des Würfels eingezeichnet, deren Länge aa ist. Der Trick besteht nun darin, dass das Dreieck ACGACG rectwinklig ist - mit rechtem Winkel in CC. Daher lässt sich erneut der Satz des Phthygoras anwenden:
(2a)2+a2=(La¨nge  Raumdiagonale)2\left(\sqrt2a\right)^2+a^2=\left(Länge\;Raumdiagonale\right)^2
Längen sind immer nichtnegativ.
3a2=d\Rightarrow\sqrt{3a^2}=d
Für  a=7a=7 gilt:
d=372=73d=\sqrt{3\cdot7^2}=7\cdot\sqrt3
12,1LE\approx12,1\,LE
\Rightarrow Die Länge dd der Raumdiagonalen beträgt etwa 12,112,1 Längeneinheiten.
Ist das Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c rechtwinklig?
a= 3 cm, b=4 cm, c= 5 cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kehrsatz zum Satz des Pythagoras

Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn für seine Seiten die Beziehung a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 gilt, wobei c die längste Seite des Dreiecks und die potentielle Hypotenuse ist.
Setze die Seitenlängen ein:
32+423^2+4^2==525^2
Berechne auf beiden Seiten.
9+169+16==2525
2525==2525
Die Beziehung gilt, also ist das Dreieck rechtwinklig mit Hypothenuse c.
a= 5 cm, b=13 cm, c=12 cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kehrsatz zum Satz des Pythagoras

  • Die längste Seite ist die Seite b.
  • Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn für seine Seiten die Beziehung a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 gilt, wobei c die längste Seite des Dreiecks ist.
Beachte, dass die Seite b die längste Seite ist. Deshalb ist b die einzig mögliche Hypotenuse und steht auf der rechten Seite der Gleichung.
Setze ein.
52+1225^2+12^2==13213^2
Berechne auf beiden Seiten
25 + 14425\ +\ 144==169169
169169==169169
Die Beziehung gilt, also ist das Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse b.
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