Aufgaben

Wende die Potenzgesetze an, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:

%%4^2 \cdot 4^9 \cdot 4^{-12}%%

%%4^2 \cdot 4^{9} \cdot 4^{-12}%%

Wende zunächst die Potenzgesetze auf %%4^2 \cdot 4^9%% an.

%%=4^{2+9} \cdot 4^{-12}=4^{11} \cdot 4^{-12}%%

Wende nun das Potenzgesetz auf %%4^{11} \cdot 4^{-12}%% an.

%%=4^{-1}%%

Der Term lässt sich sogar noch weitervereinfachen, indem du die Regel des negativen Exponenten verwendest, das bedeutet %%a^{-1}=\frac{1}{a}.%%

%%=\dfrac{1}{4}%%

%%4^8 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 \cdot 5^9%%

%%4^8 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 \cdot 5^9%%

Wende das Potenzgesetz %%a^{x} \cdot a^y = a^{x +y}%% auf %%2^{-3} \cdot 2^5%% an.

%%=4^8\cdot 2^2 \cdot 5^9%%

Schreibe %%2^2=2\cdot 2 =4=4^1%%.

%%=4^8 \cdot 4^1 \cdot 5^9%%

Wende das Potenzgesetz %%a^{x} \cdot a^y = a^{x +y}%% auf %%4^8 \cdot 4^1%% an.

%%=4^9 \cdot 5^9%%

Wende das Potenzgesetz %%a^x \cdot b^x = (a\cdot b)^x%% an.

%%=20^9%%

%%\dfrac{9^2}{9^{-3}}:3^{5}%%

%%\dfrac{9^2}{9^{-3}}:3^{5}%%

Wende das Potenzgesetz %%\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}%% auf %%\frac{9^2}{9^{-3}}%% an.

%%=9^{2-(-3)}:3^{5}%%

Fasse den Exponenten von %%9%% zusammen.

%%=9^5 : 3^{5}%%

Schreibe %%a:b=\frac{a}{b}%%.

%%=\dfrac{9^5}{3^{5}}%%

Verwende die Potenzregel %%\frac{a^x}{b^x}=\left( \frac {a}{b} \right)^x%%.

%%=\left( \dfrac{9}{3} \right)^5%%

Fasse die Basis zusammen.

%%=3^5%%

%%\dfrac{\tfrac{26^2}{26^8}}{\tfrac{13^{-3}}{13^3}}%%

%%\dfrac{\tfrac{26^2}{26^8}}{\tfrac{13^{-3}}{13^3}}%%

Verwende das Potenzgesetz %%\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}%% auf die Basis %%26%% an.

%%=\dfrac{26^{-6}}{\tfrac{13^{-3}}{13^3}}%%

Verwende das Potenzgesetz %%\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}%% auf die Basis %%13%% an.

%%=\dfrac{26^{-6}}{13^{-6}}%%

Verwende das Potenzgesetz %%\frac{a^x}{b^x}=\left( \frac{a}{b} \right)^x%%.

%%=\left( \dfrac{26}{13} \right)^{-6}%%

Fasse die Basis zusammen.

%%=2^{-6}%%

Fasse so weit wie möglich zusammen.

Zu text-exercise-group 5495:
Nish 2018-10-11 15:21:43+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
Nish 2018-11-30 20:45:28+0100
Zusatz: Die Verlinkungen stimmen nicht immer, da statt auf den Artikel Potenzgesetze auf den Artikel zu den Potenzen verlinkt wird. Bitte bei allen Teilaufgaben nochmal checken und die Lösungen könnten noch auführlicher sein. Zum Beispiel kann man das verwendete Potenzgesetz genauer bennen (siehe Lösung Teilaufgae c) )

LG,
Nish
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%%a^3\;:\;a^6%%

1. Darstellung

Artikel zum Thema

$$\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}$$

Kürze die Faktoren die sowohl im Nenner und im Zähler vorkommen.

$$=\frac1{a\cdot a\cdot a}=\frac1{a^3}=a^{-3}$$

2. Darstellung

Artikel zum Thema

%%\begin{array}{l}a^3:a^6\\\end{array}%%

Potenzgesetze anwenden.

$$=a^{3-6}=a^{-3}$$

%%2x^{-2}\;\cdot\;3x^3%%

Potenzgesetze

Hier benötigst du Wissen zu den Potenzgesetzen.

%%2x^{-2}\cdot3x^3%%

Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.

%%=2\cdot 3\cdot x^{-2} \cdot x^3%%

Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.

%%=2\cdot3\cdot x^{-2+3}%%

Verrechne im Exponenten.

%%=6x%%

%%10^{-12}\;:\;10^{-3}%%

Potenzgesetze

In dieser Aufgabe geht es um die Anwendung der Potenzgesetze.

%%10^{-12}:10^{-3}%%

Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.

%%=10^{-12-\left(-3\right)}%%

Fasse den Exponenten zusammen.

%%=10^{-9}%%

%%x^{-n}\;\cdot\;x%%

Potenzgesetze

Thema der Aufgabe sind die Potenzgesetze

%%x^{-n}\;\cdot\;x=%%

%%x%% entspricht %%x^1%% .

%%=x^{-n}\cdot x^1%%

Wende die Potenzgesetze an.

%%=x^{-n+1}%%

Alternativer Lösungsweg

$$x^{-n}\;\cdot\;x=$$

Negative Potenzen werden als Bruch mit %%1%% im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.

$$=\frac{1}{x^{n}}\;\cdot\;x^{1}$$

Multiplizieren.

$$=\frac{x^{1}}{x^{n}}$$

Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

$$=x^{1-n}$$

%%0,5x^2+1,5x^3%%

%%\left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}%%

Potenzgesetze

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}%%

Potenzgesetz anwenden . Das Minus im Exponent in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird. %%x^{-2}=\frac1{x^2}%%

%%=\left(\frac{y^{-5}y^2}{x^3y^{-4}}\right)^2%%

Potenzgesetz anwenden . Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren .

%%=\left(\frac{y^{-5+2}}{x^3y^{-4}}\right)^2%%

%%=\left(\frac{y^{-3}}{x^3y^{-4}}\right)^2%%

Kürzen mit %%y^{-3}%%

%%=\left(\frac1{x^3y^{-1}}\right)^2%%

Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.

%%=\left(\frac y{x^3}\right)^2%%

 

%%=\frac{y^2}{x^6}%%

 

%%\left(2x^3\right)^2%%

%%\left(2x^3\right)^2%%

Potenzgesetz : %%\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x%%

%%=2^2\cdot\left(x^3\right)^2%%

Potenzgesetz : %%\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}%%

%%=2^2\cdot x^{3\cdot2}%%

%%=4\cdot x^6%%

Finde alle zueinander äquivalenten Terme:   
  • Term 1: x10  x^{10}\;
  • Term 2: x6x^{-6}
  • Term 3: (x2)4\left(x^{-2}\right)^4
  • Term 4: x5+x5x^5+x^5
  • Term 5: (x)6\left(-x\right)^6
  • Term 6: x8x^{-8}
  • Term 7: x15:x5x^{15}:x^5
  • Term 8: x22x16x^{-22}\cdot x^{16}
  • Term 9: x6-x^6

Potenzgesetze

Thema dieser Aufgabe sind die Potenzgesetze.
1.Term:
x10  x^{10}\;
2. Term
x6x^{-6}
3. Term:
(x2)4=x24=x8\left(x^{-2}\right)^4=x^{-2\cdot4}=x^{-8}
Potenzgesetze anwenden.
4. Term:
x5+x5=2x5x^5+x^5=2x^5
5. Term:
(x)6=x6\left(-x\right)^6=x^6
Das Minus fällt hier weg, da die Potenz eine gerade Zahl ist und man somit eine positive Zahl als Ergebnis erhält.
6. Term:
x8x^{-8}
7. Term:
x15:x5=x155=x10x^{15}:x^5=x^{15-5}=x^{10}
Potenzgesetze anwenden.
8. Term:
x22x16=x22+16=x6x^{-22}\cdot x^{16}=x^{-22+16}=x^{-6}
Potenzgesetze anwenden.
9. Term:
x6=(x)6=x6-x^6=-(x)^6=-x^6

Äquivalente Terme:

  • Term 1 und Term 7 sind zueinander äquivalent: x10x^{10}
  • Term 2 und Term 8 sind zueinander äquivalent: xx⁶
  • Term 3 und Term 6 sind zueinander äquivalent: x8x^{-8}


Vereinfach die folgenden Terme.

%%10\;\cdot\;10^{-2}\;:\;10^4+10^0%%

Potenzgesetze

Artikel zum Thema

%%10\cdot10^{-2}:10^4+10^0%%

Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.

%%=10^{1-2}:10^4+10^0%%

Berechne die Differenz der ersten Potenz .

%%=10^{-1}:10^4+1%%

Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen.

%%=10^{-1-4}+1%%

Berechne die Differenz der Potenz .

%%=10^{-5}+1%%

%%=1,00001%%

 

Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze

 

$$a^4\cdot d^{-2}\cdot c^9\cdot a^2\cdot b^6\cdot d^{-9}\cdot c^5$$

Potenzgesetze

Artikel zum Thema

%%a^4\cdot d^{-2}\cdot c^9\cdot a^2\cdot b^6\cdot d^{-9}\cdot c^5=%%

Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz , bei gleichen Basen, immer anwenden.

%%=a^{4+2}\cdot b^6\cdot c^{9+5}\cdot d^{\left(-2\right)+\left(-9\right)}%%

Berechne durch Addition nun die jeweiligen Potenzen .

%%=a^6\cdot b^6\cdot c^{14}\cdot d^{-11}%%

Die Basen sind zwar unteschiedlich, aber da die Potenzen die gleichen sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(ab\right)^6\cdot c^{14}\cdot d^{-11}%%

 

Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.

Zu text-exercise-group 4487:
Nish 2018-10-04 12:59:24+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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%%\left(z^{2k-5}:z^3\right)\;:\;z^k%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(z^{2k-5}:z^3\right)\;:\;z^{k\;}%%

%%=\left(z^{2k-5-3}\right):z^k%%

Exponenten berechnen.

%%=z^{2k-8}:z^k%%

%%=z^{2k-8-k}%%

Exponenten berechnen.

%%=z^{k-8}%%

 

903n23n90\cdot3^{n-2}-3^n

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

903n23n90\cdot3^{n-2}-3^n
9090 aufspalten damit 323^2 wegfällt.
=10323n23n=10\cdot3^2\cdot3^{n-2}-3^n
Potenzgesetze anwenden.
=1032+n23n=10\cdot3^{2+n-2}-3^n
=103n3n=10\cdot3^n-3^n
3n3^n ausklammern.
=3n(101)=3^n \cdot (10-1)
=93n=9\cdot3^n
In Potenz umschreiben.
=3n32=3^n\cdot3^2
Potenzgesetze anwenden.
=3  n+2=3^{\;n+2}

%%\left[\left(\frac x4\right)^3\right]^5:\;\left(\frac x2\right)^6%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left[\left(\frac x4\right)^3\right]^5:\;\left(\frac x2\right)^6%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\left(\frac x4\right)^{3\cdot5}:\left(\frac{x^6}{2^6}\right)%%

 

%%=\left(\frac x4\right)^{15}:\left(\frac{x^6}{2^6}\right)%%

 

%%=\left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right):\left(\frac{x^6}{2^6}\right)%%

 

%%=\left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right)\cdot\left(\frac{2^6}{x^6}\right)%%

%%2^6%% in %%4^3%% umwandeln damit kürzen möglich ist.

%%=\left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right)\cdot\left(\frac{4^3}{x^6}\right)%%

Potenzen kürzen.

%%=\left(\frac{x^9}{4^{12}}\right)%%

 

%%\frac{\left(3a-1\right)^{2k-1}}{\left(1-3a\right)^{2k+1}}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{\left(3a-1\right)^{2k-1}}{\left(1-3a\right)^{2k+1}}%%

%%=\frac{\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1}}{\left(-3a+1\right)^{2k+1}}%%

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1-\left(2k+1\right)}%%

Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1-2k-1}%%

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{-2}%%

Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\cdot\frac1{\left(-3a+1\right)^2}%%

 

%%=\frac{\left(-1\right)^{2k-1}}{\left(-3a+1\right)^2}=-\frac1{(-3a+1)^2}%%

 

%%\left(\frac{6\mathrm a^2\mathrm b^{-2}}{\mathrm c^{\mathrm n+1}\mathrm d^{2\mathrm n}}\right)^3:\;\left[\frac{2\left(\mathrm{cd}\right)^\mathrm n}{\mathrm{ab}^{-1}}\;\cdot\;\frac{\mathrm c^\mathrm n\mathrm d^{2\mathrm n}}{3\mathrm{ab}^{-2}}\right]^{-2}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{6\mathrm a^2\mathrm b^{-2}}{\mathrm c^{\mathrm n+1}\mathrm d^{2\mathrm n}}\right)^3:\;\left[\frac{2\left(\mathrm{cd}\right)^\mathrm n}{\mathrm{ab}^{-1}}\;\cdot\;\frac{\mathrm c^\mathrm n\mathrm d^{2\mathrm n}}{3\mathrm{ab}^{-2}}\right]^{-2}%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\left(\frac{6^3a^6b^{-6}}{c^{3n+3}d^{6n}}\right):\left(\frac{\mathrm{ab}^{-1}\cdot3\mathrm{ab}^{-2}}{2\left(\mathrm{cd}\right)^n\cdot c^nd^{2n}}\right)^2%%

 

  %%=\left(\frac{6^3\mathrm a^6}{\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}\cdot\mathrm b^6}\right):\left(\frac{\mathrm a^2\mathrm b^{-2}\cdot3^2\mathrm a^2\mathrm b^{-4}}{2^2\left(\mathrm{cd}\right)^{2\mathrm n}\cdot\mathrm c^{2\mathrm n}\mathrm d^{4\mathrm n}}\right)%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\left(\frac{6^3\mathrm a^6}{\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}\cdot\mathrm b^6}\right)\cdot\left(\frac{2^2\left(\mathrm{cd}\right)^{2\mathrm n}\cdot\mathrm c^{2\mathrm n}\mathrm d^{4\mathrm n}}{\mathrm a^2\mathrm b^{-2}\cdot3^2\mathrm a^2\mathrm b^{-4}}\right)%%

Zusammenfassen.

%%=\frac{216\mathrm a^64\mathrm c^{4\mathrm n}\mathrm d^{6\mathrm n}}{9\mathrm a^4\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}}\;%%

Kürzen.

%%=\frac{216\mathrm a^24\mathrm c^{\mathrm n-3}}9%%

%%=96a^2c^{n-3}%%

$$\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}$$

Annahme: %%x,y,z\;>\;0%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}%%

unter der Annahme, dass  %%x,y,z\;>\;0%%

Mit dem Kehrwert des Bruches multipilzieren.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}{x^{2a}}%%

Potenzen ausmultiplizieren.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left(-z\right)^{4\left(3b+3\right)}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-z\right)^{3\left(2b-1\right)}}{x^{2a}}%%

 

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y\right)^{6b+15}\cdot\;\left(-z\right)^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-z\right)^{6b-3}}{x^{2a}}%%

Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot y^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;\cdot z^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3}}{x^{2a}}%%

Faktorenzerlegung von %%\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}%%.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot y^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;\cdot z^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{y^{6b+10}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3}}{x^{2a}}%%

 

%%=\frac{x^{2a+5-2a}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{6b+10-\left(6b+15\right)}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3-\left(12b+12\right)}%%

Klammern auflösen.

%%=\frac{x^{2a+5-2a}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{6b+10-6b-15}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3-12b-12}%%

 

%%=\frac{x^5}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{-5}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{-6b-15}%%

Weiter vereinfachen.

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{6b+10-6b-15}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}%%

 

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}%%

Nenner zusammenfassen.

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15+12b+12}\;}%%

 

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{18b+27}\;}%%

Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3-\left(18b+27\right)}}{1\;}%%

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{-12b-30}}{1\;}%%

 

%%=x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{-12b-30}%%

Negative Exponente in einen Bruch umwandeln.

%%=\frac{x^5}{y^5\cdot z^5}\cdot\left(-1\right)^{-12b-30}%%

 

%%\left(\frac{2a^{-1}b^2}{3\mathrm{ac}^{-2}}\right)^{-3}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{2a^{-1}b^2}{3\mathrm{ac}^{-2}}\right)^{-3}%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\frac{2^{-3}a^3b^{-6}}{3^{-3}a^{-3}c^6}%%

%%=\frac{a^33^3a^3}{2^3c^6b^6}%%

 

%%=\frac{a^3\cdot27a^3}{8c^6b^6}%%

Potenzgesetze im Zähler anwenden.

%%=\frac{27a^6}{8b^6c^6}%%

 

%%\left(\frac uv\right)^n\cdot\;\left(\frac vu\right)^{3n+4}:\;\left(\frac{-v}u\right)^{2n+1}%%

Potenzieren

Thema dieser Aufgaben sind Potenzen.

%%\displaystyle \left(\frac uv\right)^n\cdot\;\left(\frac vu\right)^{3n+4}:\;\left(\frac{-v}u\right)^{2n+1}%%

Klammer nach Potenzgesetzen auflösen.

$$\displaystyle =\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}:\;\frac{-v^{2n+1}}{u^{2n+1}}$$

Division in Bruchschreibweise darstellen.

$$\displaystyle =\frac{\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}}{\frac{-v^{2n+1}}{u^{2n+1}}}$$

Die Division zweier Brüche lässt sich auch als das Produkt des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs darstellen.

%%\displaystyle =\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}\cdot\frac{u^{2n+1}}{-v^{2n+1}}%%

Zu einem Bruch zusammenfassen.

%%\displaystyle =\frac{u^n\cdot v^{3n+4}\cdot u^{2n+1}}{v^n\cdot u^{3n+4}\cdot(-v^{2n+1})}%%

Die Exponenten von %%u%% und %%v%% nach Potenzgesetzen zusammenfassen.

%%-v^{2n+1}%% lässt sich zur Erleichterung auch als %%\left(-1\right)\cdot v^{2n+1}%% schreiben.

%%\displaystyle =\frac{u^{n+2n+1}\cdot v^{3n+4}}{u^{3n+4}\cdot\left(-1\right)\cdot v^{n+2n+1}}%%

Exponenten zusammenfassen.

%%\displaystyle =\frac{u^{3n+1}\cdot v^{3n+4}}{u^{3n+4}\cdot\left(-1\right)\cdot v^{3n+1}}%%

%%\displaystyle =u^{3n+1-(3n+4)}\cdot \left(-1\right)\cdot v^{3n+4-(3n+1)}%%

%%\displaystyle =u^{-3}\cdot \left(-1\right)\cdot v^{3}%%

%%u^{-3}=\frac1{u^3}%%

%%\displaystyle =\frac{\left(-1\right)\cdot v^3}{u^3}%%

%%\displaystyle =\frac{-v^3}{u^3}%%

%%\displaystyle =-\left(\frac vu\right)^3%%

%%\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^2-2}{x^m}+\frac{2-x}{x^{m-2}}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^2-2}{x^m}+\frac{2-x}{x^{m-2}}%%

Den zweiten Bruch mit %%x^2%% erweiteren .

%%=\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2-x}{x^m\cdot x^{-2}}%%

%%x^{-2}%% mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.

%%=\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2x^2-x^3}{x^m}%%

Den dritten Bruch mit %%x^2%% erweiteren .

%%=\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2x^4-x^5}{x^{m+2}}%%

%%=\frac{x^5+1-2x^4+2x^2+2x^4-x^5}{x^{m+2}}%%

%%=\frac{1+2x^2}{x^{m+2}}%%

 

%%\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}:\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{4p}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}:\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{4p}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1-4p}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}%%

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}%%

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-\left(p+1\right)}%%

Klammer auflösen.

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-p-1}%%

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p+(-p)-1}%%

 

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-3p}=\left(\frac{z+5}{z-3}\right)^{3p}%%

 

%%\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac t2-1\right)^{-1}\right]^{-2}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac t2-1\right)^{-1}\right]^{-2}=%%

Den Bruch in der runden Klammer mit 2 erweitern.  

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac{t-2}2\right)^{-1}\right]^{-2}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac2{t-2}\right)\right]^{-2}%%

Hauptnenner bilden. %%\rightarrow\;t\left(t-2\right)%%

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{1\left(t-2\right)}{t\left(t-2\right)}-\frac{t\cdot2}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}%%

 

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t-2-2t}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}%%

 

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{-t-2}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}%%

  Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2%%

Runde Klammer: Hauptnenner bilden. %%\rightarrow\;\;t%%

%%=\left(\frac tt+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2%%

 

%%=\left(\frac{2+t}t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2%%

  Potenzgesetz anwenden.

  %%=\left(\frac{\left(2+t\right)\cdot t\left(t-2\right)}{t\cdot\left(-t-2\right)}\right)^2%%

%%t%% kürzen.

%%=\left(\frac{\left(2+t\right)\cdot\left(t-2\right)}{\left(-t-2\right)}\right)^2%%

Nenner mit ( -1) erweitern.

%%=\left(\frac{\left(2+t\right)\cdot\left(t-2\right)}{-1\left(t+2\right)}\right)^2%%

mit %%2+t%% kürzen.

%%=\left(\frac{t-2}{-1}\right)^2%%

 

%%=(-(t-2))^2%%

 

%%=\left(t-2\right)^2%%

 

Gib die Lösung so an, dass sie keine negative Exponenten enthält.

%%\frac{4a^{-1}z^2}{\left(x^2y\right)^3}\;:\;\frac{\left(2a\right)^{-3}}{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{4a^{-1}z^2}{\left(x^2y\right)^3}\;:\;\frac{\left(2a\right)^{-3}}{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}:\frac{\frac1{\left(2a\right)^3}}{\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^2}}%%

Wegen Division Bruch umkehren.

%%=\frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac{\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}}{\frac1{\left(2a\right)^3}}%%

Wegen Division Bruch umkehren.

%%=\frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^2}\cdot\frac{\left(2a\right)^3}1%%

Zusammenfassen.

%%=\frac{\frac{4z^2}a}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac{8a^3}{x^2\cdot y^4\cdot z^2}%%

%%=\frac{\frac{4z^2\cdot8a^3}a}{x^{6+2}\cdot y^{3+4}\cdot z^2}%%

%%=\frac{4\cdot8a^2}{x^8y^7}%%

Zusammenfassen.

%%=\frac{32a^2}{x^8y^7}%%

 

Schreibe als Dezimalzahl.
31073\cdot10^7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

3107 = 310 000 000 = 30 000 0003\cdot10^7\ =\ 3\cdot10\ 000\ 000\ =\ 30\ 000\ 000
6,41046,4\cdot10^{-4}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

6,4104 = 6,4 0,0001 = 0,000646,4\cdot10^{-4}\ =\ 6,4\ \cdot0,0001\ =\ 0,00064
1,61061,6\cdot10^{-6}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

1,6106 = 1,6 0,000001 = 0,00000161,6\cdot10^{-6}\ =\ 1,6\ \cdot0,000001\ =\ 0,0000016
7,41097,4\cdot10^9

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

7,4109 = 7,41 000 000 000 = 7 400 000 0007,4\cdot10^9\ =\ 7,4\cdot1\ 000\ 000\ 000\ =\ 7\ 400\ 000\ 000
Gesucht sind Potenzen mit negativen oder positiven Exponenten. Kreuze jeweils alle richigen Antworten an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

35 000 000 000 = 35 1 000 000 000 = 35 109 = 3,5 101035\ 000\ 000\ 000\ =\ 35\ \cdot1\ 000\ 000\ 000\ =\ 35\ \cdot10^9\ =\ 3,5\ \cdot10^{10}
470 000 000470\ 000\ 000
4710647\cdot10^6
4710747\cdot10^7
4710847\cdot10^8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

470 000 000 = 47 10 000 000 = 47 107470\ 000\ 000\ =\ 47\ \cdot10\ 000\ 000\ =\ 47\ \cdot10^7
0,00000010,0000001
10610^{-6}
10710^{-7}
10710^7
10610^6
0,00000540,0000054
5,41055,4\cdot10^{-5}
5,41065,4\cdot10^{-6}
5,41075,4\cdot10^{-7}
5410754\cdot10^{-7}

Atome sind überall

Ein Heliumatom besitzt einen Durchmesser von etwa 610116⋅10^{-11} Meter, ein Wasserstoffatom wiegt etwa 1,710271,7⋅10^{-27} Kilogramm.

Die Masse des Jupiters beträgt etwa 1,89910271,899⋅10^{27}kg , wovon etwa 1,710271,7⋅10^{27}kg Wasserstoff sind.
Zu text-exercise-group 162181:
Nish 2020-05-20 13:58:49+0200
@community:

Es wäre schön, wenn jdn. mal nochmal über die Lösung drüberschauen und mehr Begriffe (z.B. Zehnerpotenzen, Masse, Atom) verlinken und somit die Interdisziplinaritätsmöglichkeiten von Serlo bei Bedarf ausschöpfen könnte :) Leider habe ich gerade keine Zeit dafür. Habe diese Aufgabe eben nur schnell konvertiert.

LG,
Nish
Karin 2020-06-05 09:08:01+0200
Hallo Nish,
ich habe die Links ergänzt.
Viele Grüße
Karin
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Welche Vorstellung kann man sich von der Größe der Atome und ihrer Masse machen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Ein Wasserstoffatom hat ungefähr den Durchmesser von 6 1011m6\ \cdot10^{-11}m.
Die Zehnerpotenz kann man auch als Bruch schreiben. Das sieht dann so aus:
1011 =1100 000 000 00010^{-11\ }=\frac{1}{100\ 000\ 000\ 000} also sind 6 1011m6\ \cdot10^{-11}m sechs einhundert Milliardstel Meter.
Stell dir vor, du würdest einen Millimeter auf dem Lineal nochmal in 100100 Millionen Teile teilen. Davon nimmt man 66 Teile. Dann ist man bei der Größe eines Atoms.

Die Masse des Atoms beträgt 1,7 1027kg1,7\ \cdot10^{-27}kg.
Jetzt steht im Nenner des Bruchs eine 11 mit 2727 Nullen. Diese Zahl nennt man auch Quadrilliarde. Ein Atom wiegt also ungefähr ein quadrilliardstel Kilogramm. Stell dir vor du nimmst einen gestrichenen Teelöffel mit Backpulver.
Dieser wiegt etwa 33 g, also wiegt ein halber Teelöffel etwa 1,51,5 g. Dieses kleine Häufchen Backpulver teilst du in eine Billionen Häufchen. Aber damit nicht getan. Eines dieser Häufchen teilst du nochmals in eine Billionen kleinere Häufchen. Die Masse eines dieser zwei Mal geteilten entspricht in etwa der Masse eines Wasserstoffatoms. Das ist eine unvorstellbar kleine Zahl!


Berechne die Anzahl der Wasserstoffatome, die der Jupiter enthält.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Teile die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters durch die Masse eines Atoms um auf die Anzahl der Atome zu kommen.
Die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters beträgt mJ=1,7 1027 kgm_J=1,7\ \cdot10^{27\ }kg und die Masse eines Wasserstoffatoms: mH=1,7 1027kgm_H=1,7\ \cdot10^{-27}kg.
Teilt man nun die Masse des Wasserstoffanteils im Jupiter durch die Masse eines Wasserstoffatoms, so erhält man die Anzahl an Atomen.

mJmH=1,71027 kg1,71027 kg\displaystyle \frac{m_J}{m_H}=\frac{1,7\cdot10^{27}\ kg}{1,7\cdot10^{-27}\ kg}
Aus diesem Bruch kann man die Einheit kg und die 1,71,7 direkt kürzen, da sie als Produkt im Zähler und im Nenner stehen.

mJmH=1,71027kg1,71027kg=10271027\displaystyle \frac{m_J}{m_H}=\frac{1,7\cdot10^{27}kg}{1,7\cdot10^{-27}kg}=\frac{10^{27}}{10^{-27}}
Wende nun das Potenzgesetz zum Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis an

mJmH=1,71027 kg1,71027 kg=10271027=1027(27)=1054\displaystyle \frac{m_J}{m_H}=\frac{1,7\cdot10^{27}\ kg}{1,7\cdot10^{-27}\ kg}=\frac{10^{27}}{10^{-27}}=10^{27-\left(-27\right)}=10^{54}
Der Jupiter enthält also die unglaublich hohe Anzahl von 105410^{54} Wasserstoffatomen!
Diese Zahl nennt man übrigens Nonillion.
Kommentieren Kommentare

cruel 2020-06-13 23:27:20+0200
Ehrenmänner/frauen wer auch immer diese Aufgaben macht , danke :) Schon bei den linearen -und quadratischen Funktionen habt ihr super Aufgaben weiter so
Nish 2020-06-14 21:31:10+0200
Danke dir für das sehr positive Feedback, cruel! Freut micht bzw. uns natürlich zu hören :)

Freuen uns auch über weiteres Feedback deinerseits! Auch gerne, wenn du feststellst, dass etwas fehlt oder noch nicht gut erklärt ist.

LG,
Nish
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Elimar 2018-12-19 00:39:23+0100
Ich kann es kaum glauben, dass ihr durchgängig Divident statt Dividend schreibt... ooops!
Renate 2018-12-19 01:20:00+0100
Hallo Elimar,

wo steht denn das überall falsch?

Ich habe hier auf dieser Seite nur eine einzige Stelle gefunden, wo "Divident" statt "Dividend" geschrieben war, und die habe ich jetzt dank deines Kommentars ausgebessert :) !

Bitte schreib gern nochmal, wenn du sonst noch irgendwo diesen (oder einen anderen) Fehler findest!

Oder noch besser: Verbessere den Fehler dann einfach gleich selbst - das geht auf Serlo ja, wenn man eingeloggt ist ;) .
(Und überprüft wird es dann auch nochmal, bevor es online erscheint, keine Sorge also, da kann nichts passieren!)

Viele Grüße, und danke für den Hinweis!
Renate
Elimar 2018-12-19 01:23:21+0100
Danke für den Hinweis! Du hast recht, es ist auf dieser Seite nur einmal vorgekommen, hatte es nur einmal gesehen und dann falsch geschlussfolgert, dass es durchgängig falsch geschrieben würde. Freundlicher Gruß, Elimar
Renate 2018-12-19 01:28:32+0100
Ok, dann gleichfalls freundliche Grüße und alles Gute weiterhin! Renate
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