Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren , müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht werden .

Daraufhin werden lediglich die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner wird beibehalten.

Addition

Bei reinen Brüchen

%%\frac34+\frac25%%

Zuerst muss man das kleinste gemeinsame Vielfache von den Nennern (also von 4 und von 5) suchen.

$$\mathrm{kgV}(4;5)=20$$

Nun erweitert man die Brüche  auf den Nenner 20.

%%\frac34=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}%%

und %%\frac25=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac8{20}%%

Nun addiert man die Zähler der beiden Brüche.

%%15+8=23%%

Damit erhält man den gesuchten Zähler, der Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).

%%\;\;\Rightarrow\;\;\frac34+\frac25=\frac{15}{20}+\frac8{20}=\frac{23}{20}%%

Bei gemischten Brüchen

%%4\frac8{10}+3\frac25=%%

Zuerst vereinfacht man die Darstellung des Terms, indem man die gemischten Brüche als Summe schreibt.

%%4+\frac8{10}+3+\frac25=7+\frac8{10}+\frac25%%

Die natürlichen Zahlen kann man jetzt addieren, die Brüche betrachtet man gesondert. Für dieses muss nun wie im Beispiel oben das kleinste gemeinsame Vielfache gefunden werden.

$$\mathrm{kgV}(10;5)=10$$

Da 5 ein Teiler von 10 ist, ist das kgV 10.

%%\frac25=\frac{2\cdot2}{2\cdot5}=\frac4{10}%%

Nun muss der eine Bruch um den Faktor 2 erweitert werden.

%%7+\frac8{10}+\frac4{10}%%

Damit erhalten wir zwei Brüche mit gleichem Nenner und eine natürliche Zahl. Jetzt müssen nur noch die Zähler der Brüche addiert werden. Der Term besteht aus einer natürlichen Zahl und einem Bruch, dessen Zähler größer als sein Nenner ist. Der reine Bruch kann also noch als gemischter Bruch geschrieben werden und mit der natürlichen Zahl addiert werden.

%%7+\frac{12}{10}=7+1\frac2{10}=7+1+\frac2{10}=8+\frac2{10}=8\frac2{10}%%

Subtraktion

Bei reinen Brüchen

%%\frac34-\frac25%%

Zuerst muss man das kleinste gemeinsame Vielfache von den Nennern (also von 4 und von 5) suchen.

kgV(4;5) = 20

Nun erweitert man die Brüche  auf den Nenner 20.

%%\frac34=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}%%

und %%\frac25=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac8{20}%%

Dann subtrahiert man die Zähler der beiden Brüche.

%%15-8=7%%

Damit erhält man den gesuchten Zähler, der Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\frac34-\frac25=\frac{15}{20}-\frac8{20}=\frac7{20}%%

Bei gemischten Brüchen

Das Subtrahieren von gemischten Brüchen setzt Vorwissen zum  Distributivgesetz voraus, da dieses beim Ausschreiben des  gemischten Bruchs mit negativen Vorzeichen angewandt werden muss.

%%8\frac16-4\frac14%%

Wie bei der Additon ändert man erstmal die Darstellung in eine Summe. Hier ist jedoch zu beachten, dass das negative Vorzeichen nach dem Distributivgesetz vor der natürlichen Zahl und vor dem Bruch stehen bleibt.

%%8+\frac16-(4+\frac14)=8+\frac16-4-\frac14%%

Nun kann man die natürlichen Zahlen voneinander subtrahieren.

%%4+\frac16-\frac14%%

Übrig bleibt ein Term, der aus einer natürlichen Zahl und zwei Brüchen besteht. Um die Subtraktion der Brüche zu lösen muss das  kleinste gemeinsame Vielfache gefunden werden.

$$\mathrm{kgV}(6;4)=12$$

Damit können nun die Brüche mit gleichen Nennern geschrieben werden.

%%\frac16=\frac2{12}\;\;\mathrm{und}\;\;\;\;\frac14=\frac3{12}%%

Diese setzen wir in den Term ein und lösen die Subtraktion der Brüche.

%%4+\frac2{12}-\frac3{12}=4-\frac1{12}%%

Der Bruch ist negativ, während die natürliche Zahl positiv ist. Hier nutzt man einen kleinen Trick: Man spaltet eine 1 von der Natürlichen Zahl ab. Diese stellt man als Bruch da, der den gleichen Nenner wie der negative Bruch hat und zieht diesen dann ab. Damit erhält man eine positive Zahl als Bruch und kann den Term wieder gemischt darstellen.

%%3+1-\frac1{12}=3+\frac{12}{12}-\frac1{12}=3+\frac{11}{12}=3\frac{11}{12}%%

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