Gemischte Aufgaben zur Ableitung

…

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

$\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot (x-1)+1}{x^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler

Vereinfache zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)+1}{x^3}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2-1+1}{x^3}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^3}$
	↓	Kürze den Bruch mit $\displaystyle x^2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}$

Ableiten der Funktion

Bilde nun mit Hilfe der Potenzgesetze für negative Exponenten und der Regeln zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $f(x)$ .

$f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\&= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}$

Nun kannst du den Term wieder als Bruch schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also $f'(x)=-x^{-2}$ bzw. $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler

Vereinfach zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

$\displaystyle g\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(z+3\right)^2-6z-9}{3z^3}$
	↓	Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2+6z+9-6z-9}{3z^3}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2}{3z^3}$
	↓	Kürze den Faktor $z^2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3z}$
	↓	Bringe das $z$ aus dem Nenner durch Anwendung der Potenzgesetze zu negativen Exponenten hinter den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot z^{-1}$

Ableiten der Funktion

Bestimme die Ableitung mit Hilfe der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen.

$\displaystyle g´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)\cdot z^{-2}$
	↓	Multipliziere die Faktoren vor dem $z^{-2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\cdot z^{-2}$
	↓	Nun kannst du das $z$ wieder in den Nenner schreiben.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3z^2}$

Die gesuchte Ableitung ist also $g'(z)=-\dfrac{1}{3} \cdot z^{-2}$ bzw. $g'(z)=-\dfrac{1}{3z^2}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$h(s)=\dfrac{(s+1)^2-s^2}{(2s+1)^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler

In dieser Aufgabe solltest du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, bevor du ableitest.

$\displaystyle h\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(s+1\right)^2-s^2}{\left(2s+1\right)^2}$
	↓	Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Verwende dazu die 1. binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \frac{s^2+2s+1-s^2}{\left(2s+1\right)^2}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{2s+1}{\left(2s+1\right)^2}$
	↓	Kürze mit $(2s+1)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2s+1}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle \left(2s+1\right)^{-1}$

Ableiten der Funktion

Jetzt kannst du $h'(s)$ mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel bestimmen.

$\displaystyle h´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(2s+1\right)^{-2}\cdot2$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left(2s+1\right)^{-2}$

Die Ableitung von $h(s)$ ist $h'(s)=-2\cdot(2s+1)^{-2}$ bzw. $h'(s)=-\dfrac{2}{(2s+1)^2}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$\displaystyle k(t)= \frac{(t+2)\cdot (t-2)}{(t^2-4)^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler

In dieser Aufgabe solltest du als erstes den Zähler vereinfachen, um dann die Ableitung zu bilden.

$\displaystyle k\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{(t+2)\cdot(t-2)}{(t^2-4)^3}$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\displaystyle \frac{t^2-4}{(t^2-4)^3}$
	↓	Vereinfache den Bruch durch Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{(t^2-4)^2}$

Im nächsten Schritt solltest du nun die Potenzgesetze für negative Exponenten anwenden, um dann den Bruch ableiten zu können.

$\displaystyle k(t)=\frac{1}{(t^2-4)^2}$

$\displaystyle \phantom{k(t)}=1 \cdot (t^2-4)^{-2}$

Ableiten der Funktion

Jetzt kannst du durch Anwenden der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen, der Kettenregel und der Summenregel die Ableitung von $\displaystyle k(t)$ berechnen.

$\displaystyle k'(t)=-2\cdot (t^2-4)^{-3}\cdot2t$

$\displaystyle \phantom{k'(t)} = -4t\cdot(t^2-4)^{-3}$

Die gesuchte Ableitung von $\displaystyle k(x)$ ist $\displaystyle k'(t) = -4t\cdot(t^2-4)^{-3}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇