Integral

Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion liefert. Die Integralrechnung steht in engem Zusammenhang mit der Differentialrechnung.

Die Integralrechnung ist motiviert durch die Berechnung von Flächeninhalten, die eine krummlinige Grenze haben.

Das bestimmte Integral berechnet nämlich die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der xx-Achse.

Notation und Bezeichnungen

\rightarrow "das Integral über f(x)f(x) im Intervall [a,b]\left[a,b\right] "

  • Das mathematische Zeichen für das Integral ist \int.

  • dx\mathrm dx gibt die Variable an, über die integriert wird.

  • Man kann sich \int und dx\mathrm dx als eine Klammer vorstellen. Ein Integral beginnt immer mit \int und wird mit dx\mathrm dx abgeschlossen.

  • Die Variable xx ist hier austauschbar. Steht am Ende des Integrals dt\mathrm d t, so wird über die Variable tt integriert.

  • Beispiel: Bei abf(t)dt\int_a^b f(t) \mathrm{d} t wird über tt integriert.

  • aa und bb heißen Integrationsgrenzen.

Anschauliche Erklärung

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist f(x)  =  x  f(x)\;=\;x\; mit Definitionsbereich D=R+\mathbb{D}=\mathbb{R}^+.

Es soll die Fläche im Intervall 00 bis 3,53{,}5 bestimmt werden, die der Funktionsgraph mit der xx-Achse einschließt, diese Fläche wird mit aa bezeichnet und ist in der Grafik rot eingefärbt.

Mit Hilfe der Formel für die Flächenberechnung eines Dreiecks erhält man a=123,53,5=6,125a=\frac{1}{2} \cdot 3{,}5 \cdot 3{,}5=6{,}125.

Es wäre also wünschenswert, dass der Integralbegriff 03.5x  dx=6,125\int_0^{3.5}x\;\mathrm{d} x = 6{,}125 erfüllt. Man wird später sehen, dass dies gilt.

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist f(x)  =  12x  f(x)\;=\;-\frac12 x\; mit Definitionsbereich D=RD=\mathbb{R} .

Es soll die Fläche im Intervall von 2 bis 6 bestimmt werden, die der Funktionsgraph mit der xx-Achse einschließt. Diese Fläche wird mit aa bezeichnet und ist in der Grafik rot eingefärbt.

Mit Hilfe der Formel für die Flächenberechnung eines Trapezes erhält man a=12(1+3)(62)=8a=\frac{1}{2} \cdot (1+3) \cdot (6-2)=8.

Da die Fläche AA aber unterhalb der xx-Achse verläuft, soll das Integral einen negativen Wert liefern.

Es wäre also wünschenswert, dass der Integralbegriff 2612x  dx=8=8=a|\int_2^6 - \frac{1}{2} x\;\mathrm{d} x| = |-8|=8=a erfüllt. Man wird später sehen, dass dies gilt.

Falls ff nicht nur positive Werte hat, soll das Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von ff und der xx-Achse sein. Flächen oberhalb der xx-Achse werden dabei positiv gewertet, Flächen unterhalb der xx-Achse negativ.

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist f(x)=sin(x)f(x)=\sin\left(x\right). Es soll über die Funktion von 00 bis 3π3\pi integriert werden.

Das Integral von ff ist dann die Summe der gefärbten Flächeninhalte, wobei die Blauen ein positives und die Roten ein negatives Vorzeichen haben. Das Integral von 00 bis 3π3\pi wäre also z.B.

Herleitung 

Gegeben sei eine stetige Abbildung ff, die auf dem Intervall [a,b][a,b] definiert ist. Man möchte die Fläche zwischen ff und der xx-Koordinate auf dem Intervall [a,b][a,b] bestimmen. Man erhält eine grobe Näherung der Fläche, wenn man das betrachtete Intervall in mehrere Teilintervalle zerlegt. In jedem dieser Teilintervalle lässt sich die Funktion durch ein Rechteck annähern.

Bei der Obersumme bzw. Untersumme wählt man den größten bzw. den kleinsten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des Rechtecks.

Das Integral lässt sich als Grenzwert von Ober- bzw. Untersummen auffassen.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung   

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) oder auch Fundamentalsatz der Analysis stellt einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integration dar.

Sei ff eine stetige Funktion und FF ihre Stammfunktion.

Dann gilt:

Integral berechnen     

Um den Wert eines Integrals zu berechnen, bildet man eine Stammfunktion und wertet diese an den Stellen aa und bb, des betrachteten Intervalls [a,b]\left[\mathrm a,\mathrm b\right] aus. Der gesuchte Wert ist dann F(b)F(a)F(b)-F(a).

Beispiele

Diese Rechnungen sind also mit den Beispielen aus dem Abschnitt "Anschauliche Erklärung" konsistent (wobei beim dritten Beispiel die Additivitätseigenschaft benutzt wurde, siehe unten).

Rechenregeln

Von Flächen und Funktionen weißt du vielleicht schon, dass du sie addieren und subtrahieren kannst. Hier sind ein paar wichtige Rechenregeln von Integralen aufgelistet.

Obere Grenze = Untere Grenze

Du integrierst über einem Punkt, also ist die Fläche nur eine Linie. Linien haben Breite 00 und eine Länge ll. Der Flächeninhalt ergibt sich aus 0l=00\cdot l=0, also ist auch das Integral gleich 00.

Beispiel

Umkehren der Grenzen

Beispiel

und 321  dx=[x]32=(23)=1-\int_ 3^21\;\mathrm{d}x=-\left[x\right]^2_3=-\left(2-3\right)=1

Additivitätseigenschaft

Herleitung

Also: abf(x)  dx  +bcf(x)  dx  =acf(x)  dx\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\;\mathrm{d}x\;=\int_a^cf(x)\;\mathrm{d}x

Beispiel

Erste Linearitätseigenschaft

Beispiel

Zweite Linearitätseigenschaft

Beispiel

Monotonieeigenschaft

Für alle x[a;b]x\in\left[a;b\right] gilt: f(x)    g(x)      f\left(x\right)\;\leq\;g\left(x\right)\;\;\Rightarrow\;abf(x)  dx    abg(x)  dx\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;\leq\;\int_a^bg\left(x\right)\;\mathrm{d}x

Beispiel

Für alle  x[0;1]x\in\left[0;1\right] gilt:  x2x\;x^2\leq x \Rightarrow

Also: 

Punktsymmetrische Funktionen

Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion ff, also f(x)=f(x)f(-x)=-f(x), gilt:

Beispiel

f(x)=xf\left(x\right)=x ist eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion. Da f(x)=x=f(x)f(-x)=-x=-f(x)

Achsensymmetrische Funktionen

Für eine zur yy-Achse achsensymmetrische Funktion ff gilt:

Beispiel

f(x)=x2f\left(x\right)=x^2 ist eine zur yy-Achse achsensymmetrische Funktion.

Betrag eines Integrals

Beispiel

Gegeben ist f(x)=sin(x)f(x) = \sin(x) dann ist wegen der Punktsymmetrie von sin(x)\sin(x),

und wegen der Additivität folgt:

mit Auflösen des Betrags folgt:

=0πsin(x)    dx  +0πsin(x)  dx=20πsin(x)  dx=\int_ 0^\pi\sin(x)\;\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\sin(x)\;\mathrm dx\\=2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx.

Bilde die Stammfunktion:

Also ist ππsin(x)dx=0  4=ππsin(x)  dx\left|\int_ {-\pi}^\pi \sin(x)\mathrm dx\right|=0\leq\;4=\int_{-\pi}^{\pi}\left| \sin(x)\right|\;\mathrm dx erfüllt.

Wichtige Begriffe

Bestimmtes und unbestimmtes Integral  

Das unbestimmte Integral besitzt im Vergleich zum bestimmten Integral keine Grenzen.   

Bei einem bestimmten Integral berechnet man das Flächeninhalt zwischen Graph einer Funktion und der xx-Achse. Als Lösung bekommt man eine Zahl.

Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion, eine sogenannte Stammfunktion.

Integralfunktion

Integralfunktionen sind Funktionen der Form F(x)=axf(t)dtF(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt.

Uneigentliche Integrale   

Das uneigentliche Integral ist definiert durch:

af(x)dx:=limbabf(x)dx\int_a^\infty f(x)\mathrm dx:=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\mathrm dx und

Übungsaufgaben

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