Aufgaben zur Prozentrechnung in komplexeren Anwendungssituationen

1
Du siehst in einem Geschäft folgende Preistafel:
Was meinst du dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben: $100\,€=100\%$
Gesucht: Wert von $25%$ Rabatt= $W$
Dreisatz anwenden.
$100\,€=100\%$
$x=25\%$
$W=\left(100\,€\cdot25\%\right):100\%$
$=25\,€$
Die Lösung von $100\,€$ subtrahieren.
$100\,€-25\,€=75\,€$
Antwort: Die Werbetafel beinhaltet eine falsche Aussage, da der reduzierte Preis 75 € betragen müsste, wenn der Preis um 25% gesenkt wird.
Wahrscheinlicher Fehler: Der Schreiber hat anscheinend die 25% Preisnachlass auf die 80 € bezogen, da 25% von 80 € 20 € sind. Die Summe von 20 € und 80 € ergibt 100 €.
Das ist aber bei dieser Aufgabenstellung der falsche Ansatz!
2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
500 g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 1,75 € angeboten. Beim Kauf von 1,5 kg zahlt der Kunde nur 4,50 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verminderter und vermehrter Grundwert
Bestimme den Grundwert $G$ als Preis von 3 Schalen Erdbeeren a 500 $\, g$ .
$3\cdot500\, g$ Erdbeeren kosten: $3\cdot1{,}75\, €=5{,}25\, €$
Ein Direktkauf von 1,5 kg Erdbeeren kostet 4,50 €.
Ersparnis = $5{,}25\, €-4{,}50\, €=0{,}75\, €$ (Prozentwert $W$ )
prozentuale Ersparnis $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}75\, €}{5{,}25\, €}\cdot100\%=\frac{1}7\cdot100\%\approx14{,}3\%$
$\Rightarrow$ Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%.
3
Ein Baumarkt gewährt den Mitgliedern von Siedlergemeinschaften auf alle Einkäufe 6% Preisnachlass.
Wie viel müsste ein Mitglied für einen Rasenmäher zahlen, der normal 164,50 € kostet?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Verminderten Grundwert berechnen
Überlege dir was gesucht und was gegeben ist.
Gegeben: Grundwert $G = 164{,}50\ €$ ; Prozentsatz $p=6\%$
Gesucht: der Preis nach der Rabattaktion, also der verminderter Grundwert
Berechne zunächst den Prozentwert also wie viel Geld gespart wird mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung:
$W=G \cdot p \\ = 164{,}50\;€ \cdot 6\% =9{,}87\;€$
Dieser Wert wird nun vom Grundwert abgezogen.
Endpreis:
$G^- = 164{,}50\;€-9{,}87\;€=154{,}63\;€$
Antwort:Ein Mitglied der Siedlergemeinschaft muss für den Rasenmäher nur den rabattierten Preis von 154,63 € bezahlen.
4
Für eine Kettensäge zahlt ein Hobbygärtner nach Abzug von 3% Rabatt 184,30 €. Wie hoch war der ursprüngliche Verkaufspreis?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Prozentrechnen mit verminderten Grundwerten
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen zu.
Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei $184{,}30\ €$ um einen verminderten Grundwert.
Gegeben:
Vermindeter Grundwert $G^- = 184{,}30\;€$ , Prozentsatz $p=3\ \%$
Gesucht: Grundwert $G$
Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
$G^- = G\cdot (1 - p)$
Setze die gegebenen Größen ein.
$184{,}30\ €=G\cdot(1-3\ \%)$
$= G\cdot(1 - 0{,}03) = G\cdot0.97$
Vereinfache soweit wie möglich.
Löse die Formel nach $G$ auf.
$G = 184{,}30\ € : 0{,}97 = 190\ €$
Antwort: Die Kettensäge kostete ohne Rabatt $190\ €.$
5
Eine Kundin kauft in einem Sportgeschäft einen Heimtrainer zum Preis von 399,50 €. Als Mitglied eines Sportvereins bekommt sie Ermäßigung und zahlt nur 367,54 €. Wie viel % betrug der Preisnachlass?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Überlege dir zuerst wie viel Geld gespart wurde.
$399{,}50\,€-367{,}54\,€=31{,}96\,€$
Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben: Grundwert $G = 399{,}50\,€$ , der berechnete Wert entspricht dem Prozentwert $W=31{,}96\,€$
Gesucht: Prozentsatz $p$
Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung:
$p=\frac WG \\=\frac{31{,}96\,€}{399{,}50\,€}=0{,}08 =8\%$
Antwort: Der Preisnachlass betrug 8%.
6
Ein Gärtner kauft einen Rasentraktor und erhält einen Rabatt.
Wie viel Prozent Rabatt bekommt er, wenn er statt 1342,50 € nur 1261,95 € bezahlt?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Berechne zunächst, wie viel Geld gespart wurde.
$1342{,}50\;€-1261{,}95\;€=80{,}55\;€$
Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben: Grundwert $G = 1342{,}50\ €$ , der errechnete Wert entspricht dem Prozentwert $W= 80{,}55\;€$
Gesucht: Prozentsatz $p$
Berechne den Prozentsatz mithilfe der Prozentformel.
Lösung:
$p=\frac WG\\=\frac{80{,}55\;€}{1342{,}50\;€}=0{,}06=6\%$
Antwort: Der Gärtner bekommt 6 % Rabatt.
7
Ein Handwerker kauft Werkzeuge für 2300 € ein. Er erhält einen Rabatt von 6% und, da er bar zahlt, noch 2% Skonto. Das Skonto geht vom rabattierten Preis ab.
Welchen Preis muss er zahlen?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc}\mathrm{Bruttopreis}:&2300{,}00\;€\\6\%\;\mathrm{Rabatt}:&\underline{-138{,}00\;€}\\\!&2162{,}00\;€\\2\%\;\mathrm{Skonto}:&\underline{-43{,}24\;€}\\\mathrm{Rechnungsbetrag}:&2118{,}76\;€\end{array}$
Rabatt:
$W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{2300\, €\cdot6\%}{100\%}=138\, €$
Skonto:
$W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{2162\, €\cdot2\%}{100\%}=43{,}24\, €$
Der Handwerker muss 2118,76 € zahlen.
8
Ein Händler kauft ein Gerät ein und verkauft es an den Kunden mit 15% Rabatt. Der Kunde bezahlt 1250 Euro. Für welchen Betrag hat der Händler das Gerät im Laden zum Verkauf angeboten? Zu welchem Preis hat er das Gerät gekauft, wenn er letztendlich 12% Gewinn gemacht hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Der um 15% Rabatt ermäßigte Verkaufspreis beträgt 1250 Euro.
Also entsprechen 1250 Euro gerade 85% des ausgeschriebenen Verkaufspreises.
Der Verkaufspreis beträgt also: $\frac{1250\, €}{85\%}=\frac{1250}{0{,}85}\, €=1470\frac{10}{17}\, €\approx1470{,}59\, €$ .
Nun soll der Ankaufspreis bestimmt werden. Beim Verkauf des Geräts macht der Verkäufer bei einem Verkaufspreis von 1250 Euro einen relativen Gewinn von 12%.
Also entspricht der Verkaufspreis von 1250 Euro gerade 112% des Ankaufspreises.
Der Ankaufspreis beträgt also: $\frac{1250\, €}{112\%}=1116\frac1{14}\, €\approx1116{,}07\, €$ .

"Mehrwertsteuer geschenkt!" - Das ließt man des Öfteren in Geschäften oder Werbeanzeigen.

Du möchtest ein Möbelstück für 100 € kaufen.

Wenn du die Wahl hättest zwischen "Mehrwertsteuer geschenkt" oder "19% Rabatt", was würdest du auswählen? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Mehrwertsteuer geschenkt
19% Rabatt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen mit vermindertem/vermehrtem Grundwert

19% Rabatt:

Als erstes überlegst du dir wie viel du bezahlst, wenn du 19% Rabatt bekommst. Daher sind 100 € unser Grundwert, der reduziert wird.

Gegeben: G = 100 € ; p = 19%

Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.

Gesucht: G $^-$

Berechne mit der Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
	$=$	$\displaystyle 100€\cdot\left(1-19\%\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 100€\cdot\left(1-0{,}19\right)$
	$=$	$\displaystyle 100€\cdot0{,}81$
	$=$	$\displaystyle 81€$

Antwort: Bei einem Rabatt von 19% zahlst du nur noch 81 €.

Mehrwertsteuert geschenkt:

Als zweites überlegst du dir wie viel du zahlen musst, wenn dir die Mehrwertsteuer geschenkt wird. Die Mehrwertsteuer bezieht sich immer auf einen Grundwert, der nicht dem Verkaufspreis entspricht (Nettopreis). Der Verkaufswert entspricht also einem um die Mehrwertsteuer vermehrten Grundwert (Bruttopreis).

Gegeben: G $^+$ = 100 € ; p = 19%

Gesucht wird der Preis ohne Steuer, also der Grundwert auf den die Steuer draufgerechnet wurde.

Gesucht: G

Berechne mit der Formel für den vermehrten Grundwert.

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
$\displaystyle 100€$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+19\%\right)$
	$=$	$\displaystyle G\cdot1{,}19$
	↓	Teile durch 0,81 und runde auf zwei Nachkommastellen.
$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 100€:1{,}19$
	$≈$	$\displaystyle 84{,}03€$

Antwort: Bei der Aktion "Mehrwertsteuer geschenkt" zahlst du nur noch ca. 84,03 €.

$\Rightarrow$ Du erkennst, dass beide Aktionen zu einem unterschiedlichen Verkauspreis führen, obwohl sie auf den ersten Blick gleich scheinen. Dies liegt daran, dass sich die Prozentzahlen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

Antwort insgesamt: Bei der Rabattaktion von 19% kostet dein Möbelstück weniger als bei "Mehrwertsteuer geschenkt"-Aktion. Du entscheidest dich deshalb für die Rabattaktion.

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Maya verschickt ein Paket, das insgesamt 1 kg wiegt. Die Verpackung macht 15 % des Gewichts aus. Berechne die Tara und das Nettogewicht in kg.

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Max verkauft sein Bobby Car. Dieses will er seinem Käufer in einem Paket schicken. Das Bobby Car wiegt $4{,}5~\text{kg}$ . Das Paket macht $10\%$ vom Bruttogewicht aus. Berechne das Gewicht des Kartons. Das nennt man Tara.
Wenn das Paket unter $5{,}1~\text{kg}$ wiegt, kann Max es für $5~\text{€}$ verschicken. Kann Max das Paket für $5€$ verschicken?
Ja, Max kann das Paket für $5€$ aufgeben.
Nein, Max muss mehr bezahlen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Lösung mit Formel:
Überlege Dir, was gegeben ist: Prozentsatz $\text{p}=100\%-10\%=90\%=0{,}90$ (da du hier mit dem Prozentwert von $4{,}5~\text{kg}$ rechnen musst und das sind $90\%$ ) und Prozentwert $\text{W}=4{,}5~\text{kg}$ .
Stelle die Formel $\text{W}=\text{p}\cdot \text{G}$ so um, dass du den Grundwert G als Ergebnis erhälst (Prozentformel):
$G=\frac{W}{p}=\frac{4{,}5~\text{kg}}{90\%}=\frac{4{,}5~\text{kg}}{0{,}9}=5~\text{kg}$
Nun ziehst Du das Gewicht des Bobby Cars (W) vom Gesamtgewicht (G) ab:
$5~\text{kg}-4{,}5~\text{kg}=0{,}5~\text{kg}$
Die Tara bzw. das Gewicht des Kartons beträgt also $0{,}5~\text{kg}$ .
Das Gesamtgewicht beträgt $5~\text{kg}$ (siehe obere Berechnung). Da $5~\text{kg}<5{,}1~\text{kg}$ kann das Paket für $5~\text{€}$ Versandkosten verschickt werden.
Lösung mit Dreisatz:
Überlege Dir, was gegeben ist: Prozentsatz $\text{p}=100\%-10\%=90\%=0{,}90$ (da du hier mit dem Prozentwert von $4{,}5~\text{kg}$ rechnen musst und das sind $90\%$ ) und Prozentwert $\text{W}=4{,}5~\text{kg}$ . Daraus folgt:
$90\%\ \widehat{=}\ 4{,}5~\text{kg}$
Diese Gleichung teilst Du durch den Wert des Prozentsatzes: $90$ .
$1\%\ \widehat{=}\ 0{,}05~\text{kg}$
Diese Gleichung multiplizierst Du mit $100$ , um auf den Grundwert zu gelangen.
$100\%\ \widehat{=}\ 5~\text{kg}$
Nun ziehst Du das Gewicht des Bobbycars (W) vom Gesamtgewicht (G) ab:
$5~\text{kg}-4{,}5~\text{kg}=0{,}5~\text{kg}$
Die Tara bzw. das Gewicht des Kartons beträgt also $0{,}5~\text{kg}$ .
Das Gesamtgewicht beträgt $5~\text{}$ (siehe obere Berechnung). Da $5~\text{kg}<5{,}1~\text{kg}$ kann das Paket für $5~\text{€}$ Versandkosten verschickt werden.
Die Aufgabe kann mittels Formel oder des Dreisatzes gelöst werden.
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Eine Packung Äpfel wiegt 800g (Bruttogewicht).
Der Anteil des Verpackungsgewichts am Gesamtgewicht beträgt 14% (Tara in %).
Berechne das Verpackungsgewicht (Tara in Gramm) und das Gewicht der Äpfel ohne Verpackung (Nettogewicht).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben:
Bruttogewicht (in Gramm) = Gesamtgewicht der Äpfel mit Verpackung = $800\,g$
Tara (in $\%$ ) = Anteil der Verpackung am Gesamtgewicht = $14\%$
Gesucht:
Tara (in Gramm) = Verpackungsgewicht
Nettogewicht (in Gramm) = Gewicht der Äpfel
Zuerst machst Du dir den Zusammenhang zwischen Netto, Brutto und Tara klar.
Eine Packung Äpfel besteht aus den Äpfeln und der Verpackung.
Also: Äpfel mit Verpackung = Äpfel + Verpackung
So kommt man auf die Formel $\bf{Bruttogewicht = Nettogewicht + Tara}$ .
Berechnung mit Formel:
Um die Aufgabe zu lösen kannst du die Formeln für die Prozentrechnung verwenden.
In diesem Fall ist
der Grundwert G = Bruttogewicht = $800\,g$
der Prozentsatz p = Tara (in $\%$ ) = $14\%$
und der Prozentwert W = Tara (in Gramm) = Verpackungsgewicht
Da das Gewicht der Verpackung gesucht ist, lautet die Formel:
Also:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}W &=& 800\,g \cdot 14\% \\ &=& 800\,g \cdot \frac{14}{100} \\&=& (800 \div 100)g \cdot 14 \\&=& 8\,g \cdot 14 \\&=& 112\,g\end{array}$
Das Gewicht der Verpackung beträgt also $112\,g.$
Berechnung mit Dreisatz:
Ein alternativer Lösungsweg ist die Berechnung mit dem Dreisatz.
Wie viel Gramm sind $14\%$ von $800\,g$ ?
$100 \%$ entsprechen $800\,g$
$1\%$ entspricht also $800\,g\div100 = 8\,g$
$14 \%$ entsprechen somit $8\,g \cdot 14 = 112\,g$
Das Gewicht der Verpackung = Tara (in Gramm) = $112\,g$
Gewicht der Äpfel
Das Gewicht der Äpfel entspricht also nun:
Nettogewicht (in Gramm) $= 800\,g - 112\,g = 688\,g$
Die Aufgabe kann mit den Formeln für die Prozentrechnung oder mit dem Dreisatz gelöst werden.

Der Inhalt einer Kiste wiegt 4,5 kg. Die Tara beträgt 0,5 kg. Berechne die Tara in Prozent, sowie das Bruttogewicht.

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Merlin hat sich ein Skateboard über einen Online-Versandhändler gekauft.
Das Gewicht des Skateboards ist mit 2,4 kg angegeben.
Die Verpackung wiegt 0,6 kg.
Berechne das Bruttogewicht und den Prozentsatz der Verpackung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben:
Nettogewicht = Gewicht des Skateboards = $2{,}4\,kg$
Taragewicht = Gewicht der Verpackung = $0{,}6\,kg$
Gesucht:
Bruttogewicht = Gesamtgewicht
Tara (in $\%$ ) = Anteil der Verpackung am Gesamtgewicht
Als Erstes solltest Du das Bruttogewicht ausrechnen.
Dazu machst Du dir den Zusammenhang zwischen Netto, Brutto und Tara klar.
Die Verpackung mit dem Skateboard besteht aus dem Skateboard und der Verpackung.
Also: Verpackung mit dem Skateboard = Skateboard + Verpackung
So kommt man auf die Formel:
Bruttogewicht = Nettogewicht + Taragewicht
Bruttogewicht = $2{,}4\,kg + 0{,}6\,kg = 3\,kg$
Jetzt fehlt nur noch Tara in $\%$ .
Berechnung mit Formel:
Um die Aufgabe zu lösen kannst du die Formeln für die Prozentrechnung verwenden.In diesem Fall ist
der Grundwert G = Bruttogewicht = $3\,kg$
der Prozentwert W = Taragewicht = $0{,}6\,kg$
und der gesuchte der Prozentsatz p = Tara (in $\%$ )
Die Formel für den Prozentwert lautet $\bf{W = p \cdot G}$
Da hier der Prozentsatz gesucht ist muss die Formel noch umgeschrieben werden:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \bf{p} &=& \bf{\frac{W}{G}} \\ \\&=& \bf{\frac{0{,}6}{3}} \\ \\ &=& 0{,}2 \\ \\ &=& 20\% \end{array}$
Tara (in $\%$ ) = $20\%$
Berechnung mit Dreisatz:
Ein alternativer Lösungsweg ist die Berechnung mit dem Dreisatz.
Wie viel Prozent sind $0{,}6\,kg$ von $3\,kg$ ?
$\ 3\,kg\,\hat=\,100\%$
$\ 1\,kg\,\hat=\,\dfrac{100\%}{3}$
$\ 0{,}6\,kg\,\hat=\,0{,}6\cdot\dfrac{100\%}{3}\,=\,\dfrac{60\%}{3}\Rightarrow0{,}6\,kg\ =\ 20\%$
Tara (in $\%$ ) = $20\%$
Die Aufgabe kann mit den Formeln für die Prozentrechnung oder mit dem Dreisatz gelöst werden.
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Tina möchte nächste Woche eine Wanderung machen. Dafür muss sie ihren Rucksack möglichst leicht packen. Insgesamt soll ihr Rucksack mit Inhalt maximal 10kg wiegen. Ihre Kleidung und ihr Essen wiegen insgesamt 9kg. Der Rucksack ohne Inhalt macht 10% des Gewichts aus. Berechne die Tara und das Bruttogewicht. Zeige, ob Tina ihr Ziel erreicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Lösung mit Formel
Eine Methode ist das Lösen der Aufgabe mit Formel.
Bestimme zuerst, was in der Aufgabenstellung gegeben ist und was gesucht wird:
$\text{Prozentwert\ W\ =\ Nettogewicht\ =\ 9\ kg}$
$\text{Prozentsatz}\ p=\ 100\ \%-10\ \%=90\ \%$
$\text{Grundwert\ G\ =\ Bruttogewicht\ =\ ?}$
$\text{Tara\ =\ ?}$
Nun kannst Du die Formel $W=p\cdot G$ nach $G$ umformen, indem Du die Gleichung durch $p$ teilst. Daraus ergibt sich die Formel:
$G=\frac{W}{p}=\frac{9\ kg}{90\%}=\frac{9\ kg}{0{,}9}=10\ kg$
Das Bruttogewicht beträgt also $10\ kg$ . Tina hat damit ihr Ziel erreicht.
Nun ist in der Aufgabenstellung noch die Tara gesucht. Diese lässt sich durch Umformung der Formel $\text{Bruttogewicht\ =\ Nettogewicht+Tara}$ berechnen. Daraus folgt:
$\begin {array} {rcl} \text{Tara}&=&\text{Bruttogewicht}&-&\text{Nettogewicht}\\&=&10\ kg&-&9\ kg\\&=&1\ kg \end {array}$
Die Tara bzw. das Gewicht des Rucksacks ohne Inhalt beträgt $1\ kg$ .
Lösung mit Dreisatz
Du kannst die Aufgabe auch mit dem Dreisatz lösen.
Bestimme zuerst, was in der Aufgabenstellung gegeben ist und was gesucht wird:
$\text{Prozentwert\ W\ =\ Nettogewicht=9\ kg}$
$\text{Prozentsatz}\ p=\ 100\ \%-10\ \%=90\ \%$
$\text{Grundwert\ G=Bruttogewicht=\ ?}$
$\text{Tara=\ ?}$
Nun wendest Du den Dreisatz an:
$\begin {array} {rcl} 90\ \%&\widehat{=}&9\ kg \end{array}$ (Als erstes dividierst Du die Gleichung mit $90$ )
$\begin {array} {rcl} 1\ \%&\widehat{=}&0{,}1\ kg \end {array}$ (Nun multiplizierst Du die Gleichung mit $100$ )
$\begin {array} {rcl} 100\ \%&\widehat{=}& 10\ kg \end{array}$
Das Bruttogewicht beträgt also $10\ kg$ . Tina hat damit ihr Ziel erreicht.
Nun ist in der Aufgabenstellung noch die Tara gesucht. Diese lässt sich durch Umformung der Formel $\text{Bruttogewicht=Nettogewicht+Tara}$ berechnen. Daraus folgt:
$\begin {array} {rcl} \text{Tara}&=&\text{Bruttogewicht}&-&\text{Nettogewicht}\\&=&10\ kg&-&9\ kg\\&=&1\ kg \end {array}$
Die Tara bzw. das Gewicht des Rucksacks ohne Inhalt beträgt $1\ kg$ .
Diese Aufgaben kannst Du auf zwei verschiedene Arten lösen:
16
Lisa kauft sich ein Paar Schuhe. Diese bekommt sie in einem Schuhkarton. Die Schuhe wiegen 2kg. Der Schuhkarton macht 20% des Gesamtgewichts aus. Kreuze die richtigen Antworten an. Rechne gegebenfalls nach.
1. Das Bruttogewicht beträgt 2kg.
2. Das Bruttogewicht lässt sich durch die Formel $Bruttogewicht=Nettogewicht+Tara$ berechnen.
3. Das Nettogewicht ist das Gewicht des Schuhkartons.
4. Das Bruttogewicht ist das Gesamtgewicht.
5. Die Tara beträgt 0,5kg.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Zu 1. und 5.:
Das Bruttogewicht und die Tara müssen erst berechnet werden.
Das Bruttogewicht kannst du auf zwei verschiedene Weisen berechnen:
Bruttogewicht durch Formel
Du kannst das Bruttogewicht zum einen durch Umformen der Formel $W= p\cdot G$ berechnen. Diese sieht dann wie folgt aus:
$G= {W\over p} = {2kg\over 80\%}={2kg\over 0{,}8}=2{,}5kg$
Das Bruttogewicht beträgt demnach 2,5kg. Deswegen ist Antwort 1. auch falsch.
Bruttogewicht durch Dreisatz
Du kannst das Bruttogewicht auch mit dem Dreisatz berechnen
$80\%=2kg$ (Dividiere diese Gleichung durch 80)
$1\%=0{,}025kg$ (Multipliziere die Gleichung mit 100)
$100\%=2{,}5kg$
Das Bruttogewicht beträgt demnach 2,5kg. Deswegen ist Antwort 1. falsch.
Tara
Du kannst die Tara durch Umformung der Formel $Bruttogewicht=Nettogewicht+Tara$ herausfinden. Da das Bruttogewicht wie oben ausgerechnet werden kann, brauchst du nur noch in folgende Formel einsetzen. Demnach ist:
$\begin {array} {rcl} Tara&=&Bruttogewicht-Nettogewicht\\&=&2{,}5kg-2kg\\&=&0{,}5kg \end {array}$
Die Tara beträgt 0,5kg. Deswegen ist Antort 5. richtig.
Überlege Dir vorher, welche Angaben Du aus dem Text entnehmen kannst und welche Du erst berechnen musst:
$\begin {array} {rcl} Nettogewicht&=&Prozentwert\ W\\&=&Gewicht\ der\ Schuhe\\&=&2kg \end {array}$
$\begin {array} {rcl}Bruttogewicht&=&Grundwert\ G\\&=&Nettogewicht+Tara\\&=&Gewicht\ der\ Schuhe+Gewicht\ des\ Schuhkartons\\&=&\ ? \end {array}$
$\begin {array} {rcl}Tara&=&Gewicht\ des\ Schuhkartons\\&=&\ ? \end{array}$
$\begin {array} {rcl}Prozentsatz\ p&=& 100\%-20\% \\&=&80\% \end {array}$
Die Aufgaben 2., 3. und 4. kannst du mit diesen Informationen lösen.
17
In einem Kaufhaus mit einer Fotoabteilung werden Poster der Größe 20 x 30 cm vom Negativ im Sonderangebot für 0,57 € angeboten. Normal kosten solche Vergrößerungen 0,95 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ermäßigung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert: $G$ = $0{,}95\,€$
Prozentwert: $W$ = $0{,}95\,€-0{,}57\,€=0{,}38\,€$
Ermäßigung: $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}38\,€}{0{,}95\,€}\cdot100\%=40\%$
Die Ermäßigung beträgt $40\%$ .
18
Von einer Hypothek von 250.000 Euro muss jedes Jahr 3% der verbleibenden Schuld zurückbezahlt werden. Dies wird als Amortisation bezeichnet. Wie viel Prozent der ursprünglichen Schuld sind nach 3 Jahren noch vorhanden?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gesucht ist die verbleibende relative Schuld nach drei Jahren.
Jedes Jahr werden 3% der zu diesem Zeitpunkt bestehenden Schuld bezahlt. Berechne zunächst die nach einem Jahr verbleibende relative Schuld.
$(100-3)\%=97\%$
Zum Ende jeden Jahres werden $3\%\$ auf die geminderte Restschuld gezahlt. Berechne die relative Restschuld nach drei Jahren.
$97\%\cdot97\%\cdot97\%=(97\%)^3=(0{,}97)^3 =0{,}912673 = 91{,}2673\%$
$\Rightarrow$ Die relative Restschuld nach 3 Jahren beträgt noch ca. $91{,}27\%\$ der Anfangsschuld von $250.000\ €$ .
19
Der Stundenlohn eines Maurers wird auf 11, 76 € erhöht. Um wie viel Prozent ist sein Lohn gestiegen, wenn er vorher bei 11,20 € lag?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Protzentsatz berechnen
Grundwert $G = 11{,}20\,€$
Prozentwert $W = 11{,}76\,€-11{,}20\,€=0{,}56\,€$
Gesucht wird der Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{0{,}56€}{11{,}20€}\cdot100\%=5\%$
$\Rightarrow$ Der neue Lohn liegt $5\%$ über dem vorherigen.
20
Der Stundenlohn eines Industriemechanikers von 11,20 € soll um 2,5% erhöht werden. Wie hoch ist der neue Stundenlohn?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert $G = 11{,}20\,€$
Prozentsatz $p = 2{,}5\%$
Gesucht ist der Prozentwert $W$ .
$W=\frac G{100\%}\cdot p$
$=\frac{11{,}20\,€}{100\%}\cdot2{,}5\%=0{,}28\,€$ (Lohnerhöhung)
Neuer Lohn:
$11{,}20\,€+0{,}28\,€=11{,}48\,€$
Der neue Stundenlohn des Industriemechanikers beträgt 11,48 €.
21
Auf dem Preisschild eines Pullovers liest du einen Betrag von 40 €. Auf das komplette Regal gibt es 50% Rabatt. Im Schaufenster steht ein Schild mit der Aufschrift "Auf alle reduzierten Artikel noch einmal 50% Rabatt!" Ist der Pullover jetzt kostenlos?
Ja, der Pullover ist jetzt kostenlos.
Nein, er ist nicht kostenlos.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 40 € ; $\text{p}_1$ = 50% ; $\text{p}_2$ = 50%
Gesucht: G $^-$
Es handelt sich um einen Rabatt, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
G $^-$ = G $\cdot$ (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein.
G $^-$ = 40 € $\cdot$ (1 - 50%)
= 40 € $\cdot$ (1 - 0,5) = 40 € $\cdot$ 0,5 = 20 €
Vereinfache.
$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert
Rechne nun den Preis nach der zweiten Reduzierung aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.
G $^-$ = G $\cdot$ (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
G $^-$ = 20 € $\cdot$ (1 - 50%) = 20 € $\cdot$ 0,5 = 10 €
Antwort: Nein, der Pullover ist nicht kostenlos. Er kostet jetzt 10 €.
22
Wie viel Prozent Preisnachlass gewährt ein Fliesenleger seinem Auftraggeber, wenn er statt 13700 € nur 12604 € berechnet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Grundwert $G = 13700\,€$
Prozentwert $W = 13700\,€-12604\,€=1096\,€$
$p=\frac WG\cdot100\%=\frac{1096\,€}{13700\,€}\cdot100\%=8\%$
Der Fliesenleger gewährt seinem Auftraggeber einen Preisnachlass von 8%.
23
Da die Besucherzahl in einem Freibad zurückgegangen war, wurde der Eintrittspreis um 15% gesenkt. Im nächsten Jahr liest du in der Zeitung, dass der Preis wieder um 15% gestiegen ist. Thomas sagt: "Jetzt kostet der Eintritt wieder so viel wie früher!"
Was meinst du dazu?
Der Preis ist jetzt wieder so wie vor der Veränderung.
Der Preis wurde günstiger.
Der Preis wurde teurer.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert
Thomas hat nicht Recht. Die beiden Prozentsätze von jeweils 15% beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte. Die Reduzierung um 15% bezieht sich auf den ursprünglichen Preis und die Preiserhöhung um 15% bezieht sich auf den dann reduzierten Eintrittspreis.
15% des reduzierten Eintrittspreises bilden einen kleineren Prozentwert als die 15% des ursprünglichen Preises. Dadurch ist der aktuelle Preis immer noch niedriger als der Anfangspreis.
Du kannst dir das auch anhand eines selbstgewählten Beispiels überlegen:
Angenommen der Eintrittspreis kostet 5 €.
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 5 € ; p $_1$ = 15% ; p $_2$ = 15%
Im ersten Schritt handelt es sich um eine Reduzierung also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Gesucht: G $^-$
Berechne mit der Fomel für G $^-$ .
G $^-$ = G - W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p $_1\cdot$ G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% $\cdot$ 5 € = 0,15 $\cdot$ 5 € = 0,75 €
Jetzt kannst du den verminderten Grundwert berechnen.
G $^-$ = 5 € - 0,75 € = 4,25 €
$\Rightarrow$ Nach der Preisreduzierung von 15% kostet der Eintritt 4,25 €. Das ist nun der neue Grundwert mit dem du weiterrechnest.
Gegeben: G = 4,25 €
Im zweiten Schritt handelt es sich um eine Preiserhöhung also bei der gesuchten Größe um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: G $^+$
Berechne mit der Formel für G $^+$
G $^+$ = G + W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p $_2\cdot$ G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% $\cdot$ 4,25 € = 0,15 $\cdot$ 4,25 € = 0.6375 €
Jetzt kannst du den vermehrten Grundwert berechnen.
G $^+$ = 4,25 € + 0.6375 € = 4,8875 € $\approx$ 4,89 €
$\Rightarrow$ Nach der Preiserhöhung kostet der Eintritt ungefähr 4,89 €.
Antwort: Nach der Reduzierung und der Erhöhung ist der Preis immer noch niedriger als der ursprüngliche Preis.
24
Die Miete einer Wohnung beträgt 473,50 €. Nachdem in der Nähe eine Parkanlage angelegt wurde, steigt die Miete dieser Wohnung für neue Mieter auf 492,44 €. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentsatz
Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffe zu. Es handelt sich um eine Preiserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert.
Gegeben: $G = 473{,}50\; €\; ; \; G^+ = 492{,}44\;€$
Es ist nach der prozentualen Steigerung des Mietpreises gefragt, also dem Prozentsatz.
Gesucht: $p$
Du kannst die Aufgabe mit der Prozentformel für den Prozentsatz berechnen.
$p = \frac W G$
Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von vermehrtem Grundwert und Grundwert.
$W = G^+ - G$
Setze die gegebenen Größen ein und berechne.
$W = 492{,}44\; € - 473{,}50\;€= 18{,}94\;€$
Berechne jetzt den Prozentsatz.
$p = \frac{18{,}94\;€}{473{,}50\;€} = 0{,}04 = 4\%$
Antwort: Die Miete wurde um $4\%$ erhöht.
Du kannst die Aufgabe mit der Formel für vermehrten Grundwert berechnen.
$G^+= G \cdot (1 + p)$
Setze die gegeben Größen ein.
$492{,}44\;€ = 473{,}50\;€ \cdot (1 + p)$
Dividiere durch $473{,}50 \;€.$
$492{,}44\;€ : 473{,}50\;€ = 1 + p$
Führe die Division durch.
$1{,}04 = 1 + p$
Subtrahiere 1 und vereinfache.
$1{,}04 - 1 = p$
$\Rightarrow p = 0{,}04 = 4\%$
Antwort: Die Miete wurde um $4 \%$ erhöht.
25
Ein Reihenhaus sollte für 244.750 € gebaut werden. Die Kosten stiegen während der Bauzeit jedoch auf 259.435 €. Wie viel Prozent betrug die Preissteigerung?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Prozentrechnung
Grundwert $G = 244.750\, €$
Prozentwert $W = 259.435\, €-244.750\, €=14.685\, €$
Gesucht wird der Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{14685\, €}{244750\, €}\cdot100\%=6\%$
$\Rightarrow$ Die Preissteigerung betrug also $6\%$ .

Ein Fahrrad, das 400 € kostet, wird um 20% reduziert. Um noch mehr Käufer anzulocken gibt es nach einer Woche noch einmal 10% Rabatt. Würdest du mehr, weniger oder gleich viel bezahlen, wenn das Fahrrad gleich um 30% billiger wird? Begründe deine Antwort!

Man würde mehr bezahlen.
Man würde weniger bezahlen.
Man würde gleich viel bezahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert und Prozentsatz

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 400 € ; p $_1$ = 20% ; p $_2$ = 10% ; p $_3$ = 30%

Gesucht: G $^-$

Der Preis wird reduziert, also ist ein verminderter Grundwert gesucht.

Zweimalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem ersten Rabatt von 20%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p_1\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle 400€\ \cdot\ \left(1-20\%\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot\left(1-0{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 400€\ \cdot0{,}8$
	$=$	$\displaystyle 320€$

$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert G $_2$

Berechne den verminderten Grundwert nach dem zweiten Rabatt von 10%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G_2^-$	$=$	$\displaystyle G_2\cdot\left(1-p_2\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 320€\cdot\left(1-10\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 320€\ \cdot0{,}9$
	$=$	$\displaystyle 288€$

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 30%.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p_3\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot\left(1-30\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 400€\cdot0{,}7$
	$=$	$\displaystyle 280€$

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

$\Rightarrow$ Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Preisreduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Alternative Lösung zweischrittige Lösung mittels Prozentwertberechnung

Rechne mit der Formel G $^-$ = G - W. Bestimme dazu zuerst W mit Hilfe der Prozentformel.

Zweimalige Preissenkung

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p_1\cdot G$
	$=$	$\displaystyle 20\%\ \cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 80€$

Berechne den verminderten Grundwert.

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G-W$
	$=$	$\displaystyle 400€-80€$
	$=$	$\displaystyle 320€$

$\rightarrow$ G $^-$ ist der neue Grundwert G $_2$

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 10% aus. Berechne hierzu den Prozentwert W $_2$ .

$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle p_2\cdot G_2$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle 10\%\cdot320€$
$\displaystyle W_2$	$=$	$\displaystyle 32€$

Berechne den verminderten Grundwert G $^-_2$ .

G $_2^-$ = G $_2$ - W $_2$ = 320 € - 32 € = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p_3\cdot G$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 30\%\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3\cdot400€$
	$=$	$\displaystyle 120€$

Berechne den verminderten Grundwert.

G $_2^-$ = G - W = 400 € - 120 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

$\Rightarrow$ Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Preisreduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

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27
Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Rudi kauft ein Rennrad, das jetzt nur 460 € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Wie viel kostete das Rad ursprünglich? Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass also in Wirklichkeit?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Gegeben: $460\ €=80\%$
Gesucht: ursprünglicher Preis $P$ , also Preis nach der Steigerung des Preises um 15 %.
Dreisatz anwenden.
$x=100\%$
$460\ €=80\%$
$P=\left(100\%\cdot460\ €\right):80\%$
$=575\ €$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Preis nach der 15 %-Steigerung des Preises betrug 575 €.
Gegeben: $575\ €=115\%$
Da der Preis um $15\%$ erhöht wurde, entsprechen die $575\ €$ gleich $115\%$ . Nun muss der Wert von einem Prozent ausgerechnet werden.
$\frac{575\ €}{115\%}=\frac{5\ €}{1\%}=500\ €$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der ursprüngliche Preis betrug 500 €.
Nun rechne die eigentliche Preissenkung aus.
$100\%\widehat=500\ €$
$1\%\widehat=5\ €$
Die $460\ €$ durch die $5\ €$ teilen, um den prozentualen Wert der $460\ €$ von den $500\ €$ auszurechnen.
$\frac{460€}{5€}=92$
$92\%\widehat=460\ €$
Die Preissenkung in Prozent ausrechnen.
$100\%-92\%=8\%$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die tatsächliche Preissenkung beträgt $8\%$ .
$\hspace{8mm}$ Der Preis wurde von 500 € auf 460 € gesenkt.
28
Der Listenpreis eines Autos beträgt 23.925 €. Der Kunde bekommt den Wagen für 21.054 €. Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben:
Listenpreis: $23925 \,€$
Kaufpreis: $21054 \,€$
Gesucht: Prozentsatz $p$
$\mathrm{Vergünstigung}\;\mathrm p=\frac{\mathrm{tatsächlicher}\;\mathrm{Wert}\;\mathrm W}{\mathrm{Ausgangswert}\;\mathrm G}\cdot100\%$
Der Listenpreis ist hier der Grundwert $G$ .
Also gilt: $G=23.925\,€$ .
Die Differenz von Listen- und Kaufpreis ist hier der Prozentwert $W$ .
Also gilt: $W = 23925 \,€ - 21054 \,€ = 2871 \,€$ .
Mit obiger Formel für den Prozentsatz gilt: $p=\frac{2871\,€}{23925\,€}\cdot100\%=12\%$
Antwort: Der Kaufpreis liegt also $12\%$ unter dem Listenpreis.
29
Der Preis für ein Mofa stieg zuerst um 15%, sank dann wieder um 10% und beträgt nun 1449 Euro. Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Sei $x$ der Anfangspreis.
Zunächst steigt der Preis um 15%:
$x\cdot115\%=x\cdot1{,}15$
Dann sinkt er jedoch wieder um 10%:
$x\cdot115\%\cdot90\%\;=\;x\cdot1{,}15\cdot0{,}9=x_0$
$x_0$ ist der Endpreis. Es gilt: $x_0=1{,}15\cdot0{,}9\cdot x=1{,}035\cdot x$ .
$\Rightarrow$ Insgesamt wurde der Anfangspreis also um $3{,}5\%$ erhöht.
30
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Unternehmer muss für eine Materiallieferung 8229 € bezahlen, da die Preise um 5,5% angehoben wurden.
Wie viel hätte er vor dieser Verteuerung bezahlen müssen?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Der Preisanstieg um 5,5% auf 8229 € lässt sich also erhöhter Grundwert $G$ auffassen.
Ansatz: Preisanstieg um 5,5% entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor $1+\frac{5{,}5}{100}$ .
$1{,}055\cdot G=8229\,€$
Teile durch $1{,}055$ .
$G=\frac{8229\,€}{1{,}055}=7800\,€$
Vor der Verteuerung hätte der Unternehmer 7800 € zahlen müssen.
31
Eine Verkäuferin bekommt nach Abzug von 32,8% Abgaben 1428 € Nettogehalt ausgezahlt. Wie hoch ist das Bruttogehalt?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Prozentsatz $p = 32{,}8\%$
Gesucht wird der verminderte Grundwert.
Das Nettogehalt beträgt 67,2% vom Grundwert.
$0{,}672\cdot G=1428€$
Dividiere durch $0{,}672$
$\Rightarrow\;G=\frac{1428€}{0{,}672}=2125€$
$\Rightarrow$ Das Bruttogehalt der Fachverkäuferin beträgt $2125 €$ .

Ist ein Bambus von 30 cm, der in der ersten Woche um 100% wächst und in der zweiten Woche wieder um 100% wächst, dann dreimal so groß wie am Anfang?

Ja, er ist dreimal so groß.
Nein, er ist kleiner als das.
Nein, er ist sogar größer.

33
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Sonnenschirme werden in einem Baumarkt von 87,50 € auf 70 € heruntergesetzt.
Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verminderter und vermehrter Grundwert
Wir modellieren die Preisreduzierung von 87,50 € auf 70 €.
Grundwert $G=87{,}50\, €$
Prozentwert $W=87{,}50\, €-70\, €=17{,}50\, €$
Prozentsatz $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{17{,}50\, €}{87{,}50\, €}\cdot100\%=20\%$
Der Preisnachlass beträgt 20%.
34
Der Preis eines Autos erhöht sich durch Teilzahlung von 38.950 € auf 42.650 €. Wie viel Prozent beträgt der Aufschlag?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert $G = 38950 \,€$
Grundwert $G = 38950 \,€$
Prozentwert $W = 42650 \,€ - 38950\, € = 3700 \,€$
Gesucht ist der Prozentsatz: $p=\frac WG\cdot100\%$ .
$p=\frac{3700\,€}{38950\,€}\cdot100\%\approx9{,}5\%$
Antwort: Der Aufschlag bei Teilzahlung beträgt etwa $9{,}5\%$ .

In einer Autowerkstatt werden nach einer Preiserhöhung um 5 % vier Winterreifen zusammen für 327,60 € angeboten. Wie teuer waren die Reifen vorher?

€

Eine Familie möchte sich ein Haus für 250 000 € bauen. Während der Bauzeit fallen aber immer wieder weitere Kosten an und der ursprünglich geplante Preis steigt um insgesamt 7%. Wie viel muss die Familie jetzt für ihr fertiges Haus zahlen?

€

37
Der Kauf eines Autos verteuert sich um 1920,45 €, da die Bezahlung in Raten erfolgt. Wie hoch war der ursprüngliche Preis des Autos, wenn die Verteuerung 10,5% beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln
Ordne die gegebenen Größen den entsprechenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Prozentsatz $p=10{,}5\,\%\;$ , Prozentwert $W=1920{,}45\,\text{€}\;$
Gesucht: Grundwert $G$
Stelle die Formel auf.
Lösung:
$G=\frac{W}{p}$
Setze die Werte ein und rechne das Ergebnis aus.
$G=\frac{1920{,}45\,€}{10{,}5\%}=18.290\,€$
Antwort: Der ursprüngliche Preis des Autos betrug $18.290\, €.$
38
Maria möchte sich von ihren Ersparnissen ein Mountain-Bike kaufen, dessen Preis von $640\ €$ auf $480\ €$ reduziert wurde.
1. Um wie viel Prozent wurde der Preis gesenkt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Gegeben: Ursprungspreis: 640 €; Reduzierter Preis $x=480\,€$
  Gesucht: Prozentsatz $p$
  Dreisatz anwenden.
  $640\,€=100\%$ und $480\,€=x$
  $p=\frac{480\,€}{640\,€}\cdot100\%$
  $=75\%$
  Den Prozentsatz von $100\ \%$ subtrahieren.
  $100\%-75\%=25\%$
  Antwort: Der ursprüngliche Preis ist um $25\ \%$ gesunken.
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2. Wenn Maria das Rad bar bezahlt, bekommt sie sogar noch $2\ \%$ Skonto, d. h., sie erhält einen Preisnachlass von $2\ \%$ . Wie viel muss Maria in diesem Fall für das Rad bezahlen?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Gegeben: reduzierter Preis: $480$ $€$ ( $100\ \%$ ); zusätzlicher Rabatt: $2\ \%$
  Gesucht: Geldwert $G$
  Dreisatz anwenden.
  $480\,€=100\ \%$ und $x=2\ \%$
  $G=\dfrac{480\,€\cdot2\%}{100\%}=9{,}60\,€$
  Die Lösung von dem reduzierten Preis subtrahieren .
  $480\ €-9{,}60\ €=470{,}40\ €$
  Antwort: Mit der zusätzlichen Ermäßigung würde das Fahrrad jetzt noch $470{,}40\ €$ kosten.
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3. Das Geschäft bietet auch einen so genannten „Finanzkauf“ an. Dabei kann das Rad in 12 gleichen Monatsraten abbezahlt werden. Nach einer kurzen Rechnung stellt Maria fest, dass der Preis des Rades in diesem Fall um 5% höher ist als angegeben. Wie hoch ist demnach eine Monatsrate?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: reduzierter Preis: 480 € (100%); Aufpreis $x$ =5%.
  Gesucht: Preis einer Monatsrate $PM$
  Dreisatz anwenden.
  Neuer Preis $NP$ : $480\,€\cdot1{,}05=504\,€.$
  $PM=\frac{NP}{12}=\frac{504\,€}{12}=42\,€$
  Antwort: Eine Monatsrate würde 42 € kosten.
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4. Die Eltern ermahnen Maria: „Wenn du für das Rad 480 € bezahlst, dann hast du 80% deiner Ersparnisse ausgegeben.“ Wie viel hat Maria gespart?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Gegeben: Preis des Fahrrads von 480 €
  Anteil des Kaufpreises an der Gesamtersparnis entspricht 80%.
  Gesucht: Summe des Ersparten $SE$
  $SE=\frac{480\,€}{80\%}=600\,€$
  Antwort: Ihr gesamtes Erspartes beträgt $600 €$ .
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39
Herr G. Wicht ist $120\ kg$ schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmagerungskur.
1. Am 1. November hat er $15\ \%$ seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?
  kg
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  Gegeben: altes Gewicht: $120\ kg$ ,
  Info: Er wiegt nun $15\ \%$ weniger.
  Gesucht: neues Gewicht
  Dreisatz anwenden.
  Sei $x$ der Gewichtsverlust.
  $x=15\%$
  $120\, \mathrm{kg}=100\%$
  $x=\left(120\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=18\, \mathrm{kg}$
  Nun subtrahiere den Gewichtsverlust $x$ von dem ursprünglichen Gewicht.
  $120\, \mathrm{kg}-18\, \mathrm{kg}=102\, \mathrm{kg}$
  $\;\Rightarrow\;$ Am 1. November wiegt er noch $102\ kg$ .
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2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut $15\ \%$ an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?
  kg
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: altes Gewicht: $102\ kg$ ,
  Info: Er wiegt bis zum 1. Dezember $15\ \%$ weniger.
  Gesucht: neues Gewicht
  Dreisatz anwenden.
  Sei $x$ der Gewichtsverlust.
  $x=15\%$
  $102\, \mathrm{kg}=100\%$
  $x=\left(102\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=15{,}3\, \mathrm{kg}$
  Nun subtrahiere den Gewichtsverlust $x$ vom vorherigen Gewicht.
  $102\, \mathrm{kg}-15{,}3\, \mathrm{kg}=86{,}7\, \mathrm{kg}$
  $\Rightarrow\;$ Am 1.Dezember wiegt er noch $86{,}7\ kg$ .
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3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder $120\ kg$ an!
  Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
  Gegeben: altes Gewicht: $86{,}7\ kg$ , neues Gewicht: $120\ kg$
  Gesucht: prozentuale Gewichtssteigerung $g$
  Dreisatz anwenden.
  $100\%=86{,}7\, \mathrm{kg}$
  $x=120\, \mathrm{kg}$
  $x$ Steigerungsfaktor.
  Bestimme die absolute Gewichtssteigerung, indem du die Differenz von $120$ und $86{,}7$ bildest.
  $120\, \text{kg}-86{,}7\, \text{kg}=33{,}3\, \text{kg}$
  Bestimme die prozentuale Gewichtssteigerung als Anteil der absoluten Gewichtssteigerung am Gesamtgewicht von $86{,}7\, \text{kg}$ .
  $g=\frac{33{,}3\, \text{kg}}{86{,}7\, \text{kg}}=\frac{111}{289}\approx38{,}4\%$
  $\Rightarrow$ In den vergangenen beiden Monaten hat er wieder um $38{,}4\ \%$ zugenommen.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \text{Nettogewicht}$	$=$	$\displaystyle \text{Bruttogewicht - Tara} (kg)$
$\displaystyle \text{Nettogewicht}$	$=$	$\displaystyle 1\ kg - 0{,}15\ kg = 0{,}85\ kg$

$\displaystyle \text{Nettogewicht}$	$=$	$\displaystyle \text{Bruttogewicht - Tara (kg)}$
$\displaystyle \text{Nettogewicht}$	$=$	$\displaystyle 1\ kg - 0{,}15\ kg = 0{,}85\ kg$

$\displaystyle \text{Bruttogewicht}$	$=$	$\displaystyle \text{Nettogewicht + Tara} (kg)$
$\displaystyle \text{Bruttogewicht}$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\,kg + 0{,}5\,kg$
$\displaystyle \text{Bruttogewicht}$	$=$	$\displaystyle 5\,kg$

$\displaystyle \text{Bruttogewicht}$	$=$	$\displaystyle \text{Nettogewicht + Tara} (kg)$
$\displaystyle \text{Bruttogewicht}$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\,kg + 0{,}5\,kg$
$\displaystyle \text{Bruttogewicht}$	$=$	$\displaystyle 5\,kg$

Aufgaben zur Prozentrechnung in komplexeren Anwendungssituationen

Verminderten Grundwert berechnen

Prozentrechnen mit verminderten Grundwerten

19% Rabatt:

Mehrwertsteuert geschenkt:

Lösung mittels Dreisatz

Lösung mittels Formel

Berechnung mit Formel:

Berechnung mit Dreisatz:

Gewicht der Äpfel

Lösung mit Dreisatz

Lösung mit Formel

Berechnung mit Formel:

Berechnung mit Dreisatz:

Lösung mit Formel

Lösung mit Dreisatz

Bruttogewicht durch Formel

Bruttogewicht durch Dreisatz

Tara

Prozentrechnung

Zweimalige Preissenkung

Einmalige Preissenkung

Alternative Lösung zweischrittige Lösung mittels Prozentwertberechnung

Zweimalige Preissenkung

Einmalige Preissenkung

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$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle G\cdot p$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1\ kg\cdot 15\%$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1\ kg\cdot0{,}15$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 0{,}15\ kg$

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1\cdot p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
	$=$	$\displaystyle 30\ cm\cdot\left(1+100\%\right)$
	$=$	$\displaystyle 30cm\cdot\left(1+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 30\ cm\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 60\ cm$

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot(1+p)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
$\displaystyle 327{,}60€$	$=$	$\displaystyle G\cdot(1+5\%)$
	↓	Wandle die 5% in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 327{,}60€$	$=$	$\displaystyle G\cdot(1+0{,}05)$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 327{,}60 €$	$=$	$\displaystyle G \cdot 1{,}05$	$\displaystyle :1{,}05$
$\displaystyle 312 €$	$=$	$\displaystyle G$

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p\cdot G$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 7\%\cdot250\ 000\ €$
	$=$	$\displaystyle 17\ 500\ €$
	↓	Berechne den vermehrten Grundwert.

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G+W$
	$=$	$\displaystyle 250\ 000\ €\ +\ 17\ 500\ €$
	$=$	$\displaystyle 267\ 500\ €$