Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2$

$x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_1=2$ und $x_2=-3$ , so kannst du entweder " $2;-3$ " oder " $-3;2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^2+6x-16=0$

$x^2+10x+9=0$

$0{,}5x^2-1{,}5x-14=0$

$-\frac12x^2+7x+7{,}5=0$

$2x^2+2x-\frac89=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$\displaystyle 2x^2+2x-\frac{9}{8}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle 2\left(x^2+x\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $\left(\frac12\right)^2$ .
$\displaystyle 2\left(x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$\displaystyle 2\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)-\frac{8}{9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{18}-\frac{16}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{18}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac{25}{18}$
$\displaystyle 2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{18}$	$\displaystyle \cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{36}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{6}-\frac{3}{6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{4}{3};\frac{1}{3}\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$2x^2=x+1$

3

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Gib die Lösung in der Form " $x_1,x_2$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5;-2{,}5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $-2{,}5$ ".

$11=2x+\frac{12}x$

$3\left(x+2\right)+\frac3x=0$

4

Löse die angegebenen Gleichungen.

Gib die Lösungen in der Form " $x_1;x_2$ " an. Zum Beispiel: " $4;-1$ "

$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss einer der beiden Faktoren gleich $0$ sein. Also entweder:
Dann erhältst du die Lösung $x_1 = 3$ . Oder:
Dann erhältst du die Lösung $x_2 = -1$
Insgesamt hast du also die Lösungsmenge $L=\left\{3;-1\right\}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$0{,}5\left(x-2\right)^2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$0{,}5\left(x-2\right)^2=0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss der Faktor $(x-2)$ gleich $0$ sein. Mit:
kommst du auf das Ergebnis $x=2$ .
Diese Lösung ist eine zweifache Lösung!
Die Lösungsmenge ist $L=\left\{2\right\}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$0{,}5x^2-2x+2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen quadratischer Gleichungen
$0{,}5x^2-2x+2=0$
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
Unter der Wurzel ergibt sich der Wert $0$ , damit gibt es nur genau eine Lösung und zwar: $x=2$ .
Die Lösungsmenge ist $L=\left\{2\right\}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

5

Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.

$2x^2+16=12x$

$2=\left(3+x\right)^2$

$-x^2-2=0{,}25+9x$

$2x+x+16=0$

$x^2+\sqrt2x-1=0$

$x^2-x=x-x^2$

6

Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_1;x_2$ an, zum Beispiel "4;-1"

$\left(x-2\right)^2=16$

$\left(x+3\right)^2=25$

$\left(x+8\right)^2=36$

$\left(x-1\right)^2=10$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{4\cdot41}}{2}=\frac{-14\pm2\sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle -7\pm\sqrt{41}$

$\displaystyle 11$	$=$	$\displaystyle 2x+\frac{12}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 11x$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12$	$\displaystyle -11x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2+12-11x$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 121-4\cdot2\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 25$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{2\cdot3}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{6}$
	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle 2x^2+16$	$=$	$\displaystyle 12x$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2-12x+16$
	↓	Diskriminante berechnen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot16$
	$=$	$\displaystyle 144-128$
	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;16$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	daher 2 Lösungen
$\displaystyle 2x^2+16$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{12\pm\sqrt{16}}{2\cdot2}$
	↓	$x_1\$ berechnen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{12+4}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{4}=4$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{12-4}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{4}=2$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{4;2\right\}$

$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{81}}{2\sqrt{7}}=\frac{-5\pm9}{2\sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-5+9}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-5-9}{2\sqrt{7}}=\frac{-14}{2\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt7$ .
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\sqrt{7}}=\frac{-14\sqrt{7}}{2\cdot7}=\frac{-14\sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{7}$

$\displaystyle x^2+6x-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^2$ .
$\displaystyle x^2+6x+3^2-3^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-9-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \left(x+3\right)^2-25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +25$
$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle \pm5$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm5-3$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-8;2\}$

$\displaystyle x^2+10x+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^2$ .
$\displaystyle x^2+2\cdot5x+5^2-5^2+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(x^2+2\cdot5x+5^2\right)-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle \left(x+5\right)^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle \left(x+5\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+5$	$=$	$\displaystyle \pm4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4-5\ =-1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -4-5=-9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;-9\}$

$\displaystyle 0{,}5x^2-1{,}5x-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	0,5 ausklammern.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)-14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}-14$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +14+\frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle 0{,}5\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 14+\frac{9}{8}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 28+\frac{9}{4}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{121}{4}}$	$\displaystyle +\frac{3}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\pm\frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-4;7\}$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+7x+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $-\frac12$ vor den x-Termen aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-14x\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^2$ .
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x^2-2\cdot7x+7^2-7^2\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2-49\right)+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left(x-7\right)^2\right)+24{,}5+7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2+32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -32$
$\displaystyle -\frac{1}{2}\left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle -32$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \left(x-7\right)^2$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$\displaystyle x-7$	$=$	$\displaystyle \pm8$
	↓	Forme weiter um.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8+7=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -8+7=-1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-1;15\}$

$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -x+1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$\displaystyle 2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$\displaystyle 2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1+\frac{1}{8}$
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}+1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \left(x-\frac{1}{4}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{16}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x-\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{3}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{-\frac{1}{2};1\}$

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{11+\sqrt{25}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{4}$
	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{11-\sqrt{25}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+2\right)+\frac{3}{x}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 3x+6+\frac{3}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2+6x+3$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 36-4\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(x-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-2\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-2\right\|$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle \left(x+3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+3\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+3\right\|$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle \left(x+8\right)^2$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+8\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x+8\right\|$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\displaystyle \left\|x-1\right\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \left(3+x\right)^2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(3+x\right)^2-2$
	↓	Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+9-2$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	Diskriminante berechnen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 6^2-4\cdot^{\cdot7}$
	$=$	$\displaystyle 36-28\ =8$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;8$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	daher 2 Lösungen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6\pm\sqrt8}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6+2\sqrt2}2=\;-3+\sqrt2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \;\frac{-6-2\sqrt2}2=\;-3-\sqrt2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-3+\sqrt2;\;-3-\sqrt2\right\}$

$\displaystyle -x^2-2$	$=$	$\displaystyle 0{,}25+9x$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+9x+2{,}25$
	↓	Setze in die Mitternachtsformel ein
$\displaystyle \mathrm{x}_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot2{,}25}}{2}$
	↓	$x_{1\ }und\ x_2$ ausrechnen
$\displaystyle x_1$	$≈$	$\displaystyle -0{,}26$
$\displaystyle x_2$	$≈$	$\displaystyle -8{,}74$
$\displaystyle \mathbb{L}$	$=$	$\displaystyle \left\{-0{,}26;-8{,}74\right\}$

$\displaystyle 2x+x+16$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 3x+16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -16$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -16$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-16}{3}$
	$=$	$\displaystyle -5\frac{1}{3}$
	$≈$	$\displaystyle -5{,}3$

$\displaystyle x^2+\sqrt{2}x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Nach der pq-Formel gilt: $x^2+\mathrm{px}+p$ mit $\;\;p=\sqrt2$ und $q=-1$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{q}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
	↓	Einsetzen der Werte
	$=$	$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{2\;}\pm\sqrt{(\frac{\sqrt2}{2\;})^2+1}$
	↓	Vereinfachen der Wurzel
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac12+1}=-\frac{\sqrt2}2\pm\sqrt{\frac32}\end{array}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle x_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\;\;\;\;\;\vee\;\;$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \;\;-\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$

$\displaystyle x^2-x$	$=$	$\displaystyle x-x^2$	$\displaystyle -x\ +x^2$
$\displaystyle x^2-x-x+x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Gleiches zusammenfassen
$\displaystyle 2x^2-2x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	x ausklammern.
$\displaystyle x\left(2x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow\;x_1\;\end{array}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow\;x_2\end{array}$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle +2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle -3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -8$

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle -8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -14$

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Graphen zeichnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gleichung bestimmen

Graphen zeichnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Quadratische Gleichung lösen

Graphische Darstellung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösungen von Gleichungen

Graphen zeichen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung mit Hilfe der pq-Formel:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Quadratische Gleichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Fall

2. Fall

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1+\sqrt{10}$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{10}$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt{10}$