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Kurs

Drehung mittels Matrizen

8Beispiel: Drehung eines Punktes um den Ursprung

Drehung des Punktes PP um 45°45°.

Man wendet nun die Matrixformel an, die man gerade hergeleitet bzw. gelernt hat:

(x′y′)=(cos⁡α  −sin⁡αsin⁡α      cos⁡α)⋅(xy)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}x \\ y\end{array}\right)

Jetzt wird der Winkel α=45°\alpha= 45° und der Punkt P(3∣2)P(3|2) eingesetzt.

(x′y′)=(cos⁡45°  −sin⁡45°sin⁡45°      cos⁡45°)⋅(32)=(12  −1212      12)⋅(32)=(3⋅12−2⋅123⋅12+2⋅12)(x′y′)=(12512)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}&= \left(\begin{array}{rcl}\cos 45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rcl}3 \\ 2\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{rcl}\frac{1}{\sqrt{2}}\ \ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} \ \ \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rcl}3 \\ 2\end{array}\right)\\&= \begin{pmatrix} 3\cdot \frac{1}{\sqrt 2} - 2\cdot \frac{1}{\sqrt2}\\ 3 \cdot \frac{1}{\sqrt2} + 2\cdot \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}& = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ 5 \frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\end{array}

Der Bildpunkt P′P' besitzt also die Koordinaten P′(12∣52)P' \left(\frac{1}{\sqrt2}|\frac{5}{\sqrt2}\right).

Drehung

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