13Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Der Punkt $P$ soll um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $\alpha$ gedreht werden.

Um diese Abbildung zu beschreiben, definiert man sich einen Hilfspunkt $Q$ mit folgender Bedingung:

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{ZP}$

Nun wird der Hilfspunkt $Q$ mit dem Winkel $\alpha$ um den Ursprung gedreht:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{OQ'}= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{OQ}

Im letzten Schritt muss man an den Vektor $\overrightarrow{OQ'}$ den Vektor $\overrightarrow{OZ}$ anhängen und erhält somit $\overrightarrow{OP'}$ :

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OQ'}+\overrightarrow{OZ}$

Also zusammenfassend kann gesagt werden:

Man dreht zuerst den Vektor $\overrightarrow{ZP}$ um den Ursprung und führt im Anschluss eine Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{OZ}$ durch:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} =\left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{ZP} + \overrightarrow{OZ}

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