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Kurs

Drehung mittels Matrizen

13Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Der Punkt PP soll um das Zentrum ZZ mit dem Winkel α\alpha gedreht werden.

Um diese Abbildung zu beschreiben, definiert man sich einen Hilfspunkt QQ mit folgender Bedingung:

OQ→=ZP→\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{ZP}

Nun wird der Hilfspunkt QQ mit dem Winkel α\alpha um den Ursprung gedreht:

OQ′→=(cos⁡α  −sin⁡αsin⁡α      cos⁡α)⋅OQ→\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{OQ'}= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{OQ}
Drehung

Im letzten Schritt muss man an den Vektor OQ′→\overrightarrow{OQ'} den Vektor OZ→\overrightarrow{OZ} anhängen und erhält somit OP′→\overrightarrow{OP'}:

OP′→=OQ′→+OZ→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OQ'}+\overrightarrow{OZ}

Also zusammenfassend kann gesagt werden:

Man dreht zuerst den Vektor ZP→\overrightarrow{ZP} um den Ursprung und führt im Anschluss eine Parallelverschiebung mit dem Vektor OZ→\overrightarrow{OZ} durch:

Verschiebung
(x′y′)=(cos⁡α  −sin⁡αsin⁡α      cos⁡α)⋅ZP→+OZ→\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} =\left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{ZP} + \overrightarrow{OZ}

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