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Kurs

Drehung mittels Matrizen

14Beispiel: Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Der Punkt P(4,5∣1,5)P(4{,}5|1{,}5) soll um das Zentrum Z(2,5∣0,5)Z(2{,}5|0{,}5) mit dem Winkel α=45°\alpha =45° gedreht werden.

Wie in der Herleitung dreht man zuerst den Vektor

 ZP→=(4,5−2,51,5−0,5)=(21)\,\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}4{,}5-2{,}5\\1{,}5-0{,}5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}

um den Ursprung:

OQ′→=(cos⁡α  −sin⁡αsin⁡α      cos⁡α)⋅ZP→=(cos⁡45°  −sin⁡45°sin⁡45°      cos⁡45°)⋅(21)=(12  −1212    12)⋅(21)OQ′→=(1232)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\overrightarrow{OQ'}&= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{ZP}\\&= \left(\begin{array}{rl}\cos45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}2 \\ 1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt2}\ \ -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2} \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}2 \\ 1\end{array}\right)\\\overrightarrow{OQ'} &= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{3}{\sqrt2} \end{pmatrix}\end{array}
Drehung

Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:

(x′y′)=OQ′→+OZ→=(1232)+(2,50,5)(x′y′)=(5+221+322)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}&= \overrightarrow{OQ'}+\overrightarrow{OZ}\\&=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{3}{\sqrt2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \frac{5+\sqrt2}{2} \\ \frac{1+3\sqrt2}{2}\end{pmatrix}\end{array}

Der Punkt P′P' besitzt also die Koordinaten P′(5+22∣1+322)P'\left(\frac{5+\sqrt2}{2}|\frac{1+3\sqrt2}{2}\right).

Verschiebung

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