14Beispiel: Drehung eines Punktes um einen beliebigen Punkt Z

Der Punkt $P(4{,}5|1{,}5)$ soll um das Zentrum $Z(2{,}5|0{,}5)$ mit dem Winkel $\alpha =45°$ gedreht werden.

Wie in der Herleitung dreht man zuerst den Vektor

$\,\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}4{,}5-2{,}5\\1{,}5-0{,}5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$

um den Ursprung:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\overrightarrow{OQ'}&= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{ZP}\\&= \left(\begin{array}{rl}\cos45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}2 \\ 1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt2}\ \ -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2} \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}2 \\ 1\end{array}\right)\\\overrightarrow{OQ'} &= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{3}{\sqrt2} \end{pmatrix}\end{array}

Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\overrightarrow{OQ'}&= \left(\begin{array}{rl}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{array}\right) \cdot\overrightarrow{ZP}\\&= \left(\begin{array}{rl}\cos45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}2 \\ 1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt2}\ \ -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2} \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rl}2 \\ 1\end{array}\right)\\\overrightarrow{OQ'} &= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{3}{\sqrt2} \end{pmatrix}\end{array}

Der Punkt $P'$ besitzt also die Koordinaten $P'\left(\frac{5+\sqrt2}{2}|\frac{1+3\sqrt2}{2}\right)$ .

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