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10Beispiel: Drehung einer Geraden um den Ursprung

Skizze

Die Gerade gg mit y=0,5x+2y=0{,}5 x +2 soll mit dem Winkel α=50°\alpha=50° um den Ursprung gedreht werden.

Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von gg'.

Man wählt einen allgemeinen Punkt Pn(x0,5x+2)P_n(x|0{,}5x+2) auf der Geraden und dreht diesen um 50°50° um den Ursprung:

(xy)=(cos50°sin50°sin50°cos50°)(x0,5x+2)(0,6x0,8(0,5x+2)0,8x+0,6(0,5x+2))=(0,2x1,61,1x+1,2)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}\cos 50° & -\sin 50° \\ \sin 50°& \cos 50°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x \\0{,}5x+2\end{pmatrix}\\\\&\approx & \begin{pmatrix}0{,}6x-0{,}8\cdot (0{,}5x+2)\\ 0{,}8x+0{,}6\cdot (0{,}5x+2)\end{pmatrix}\\\\&=&\begin{pmatrix}0{,}2x-1{,}6\\1{,}1x+1{,}2\end{pmatrix}\end{array}

x0,2x1,6(1)y1,1x+1,2(2)\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&\approx 0{,}2x & -1{,}6 &(1)\\y'&\approx 1{,}1x & +1{,}2 &(2)\end{array}

Nun haben wir einen Punkt Pn(0,2x1,61,1x+1,2)P_n'(0{,}2x-1{,}6|1{,}1x+1{,}2) erhalten, der auf der Bildgeraden gg' liegt.

Gesucht ist aber die Gleichung der Geraden gg'. Diese ist der Trägergraph der Punkte PnP_n'.

Dazu löst man die Gleichung (1)(1) nach xx auf.

x=x+1,60,2x=\frac{x'+1{,}6}{0{,}2}

Diese Gleichung setzt man nun in (2)(2) ein:

y=1,1x+1,60,2+1,2y'= 1{,}1 \cdot \frac{x'+1{,}6}{0{,}2} +1{,}2

y=5,5x+8,8+1,2\phantom{y'}=5{,}5x'+8{,}8+1{,}2

y=5,5x+10\phantom{y'}= 5{,}5x' +10

Die gedrehte Gerade gg' besitzt also etwa die Gleichung g:y=5,5x+10g': y=5{,}5x +10.


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