Gemischte Aufgaben zum Rechnen mit rationalen Zahlen

Berechne

$17{,}17+0{,}3$

$18{,}7-1{,}87$

$1{,}2\cdot0{,}12$

$0{,}8:0{,}32$

$0{,}32:0{,}6$

$0{,}5\overline{3}$
$5,\overline{3}$
1,875

$0{,}0123:1000$

$0{,}0123\cdot100$

$5{,}5\cdot0{,}12:0{,}1$

$\left(2{,}08+9{,}2\right)-6{,}99$

$\left(9\cdot0{,}8-0{,}70\right):\left(0{,}6+0{,}5\right)$

$5,\overline{90}$
$0{,}0\overline{18}$
$0,\overline{81}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalbrüche

$\displaystyle \left(9\cdot0{,}8-0{,}70\right):\left(0{,}6+0{,}5\right)$	$=$
	↓	Achte auf Punkt vor Strich. Berechne zuerst $9\cdot0{,}8$ .
	$=$	$\displaystyle \left(7{,}2-0{,}70\right):\left(0{,}6+0{,}5\right)$
	↓	Addiere bzw. Subtrahiere die Zahlen in den Klammern.
	$=$	$\displaystyle 6{,}5:1{,}1$
	↓	Der Wert ändert sich nicht, wenn Dividend und Divisor mit 10 multipliziert werden. Benutze nun die schriftliche Division.
	$=$	$\displaystyle 65:11$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\hphantom{-}65:11=5{,}9090\ldots=5{,}\overline{90}\\\underline{-55}\\\hphantom{-}100\\\underline{-\hphantom{1}99}\\\hphantom{-10}10\\\hphantom{11}\underline{-\hphantom{1}0}\\\hphantom{-10}100\\\hphantom{11}\underline{-\hphantom{1}99}\\\hphantom{-1000}10\\\hphantom{1111}\underline{-\hphantom{1}0}\\\hphantom{-1000}100\\\hphantom{1000000}\vdots\end{array}$

$\Rightarrow\left(9\cdot0{,}8-0{,}70\right):\left(0{,}6+0{,}5\right)=5{,}\overline{90}$

Alternativer Weg

$\displaystyle \left(9\cdot0{,}8-0{,}70\right):\left(0{,}6+0{,}5\right)$	$=$
	↓	Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{9}{1}\cdot\frac{8}{10}-\frac{70}{100}\right):\left(\frac{6}{10}+\frac{5}{10}\right)$
	↓	Brüche multiplizieren bzw. addieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{72}{10}-\frac{70}{100}\right):\frac{11}{10}$
	↓	Hauptnenner bilden und Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{720-70}{100}\right):\frac{11}{10}$
	↓	Brüche dividieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{650}{100}\cdot\frac{10}{11}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6500}{1100}$
	↓	Bruch kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{65}{11}$
	↓	Du kannst den Bruch eventuell noch in einen periodischen Dezimalbruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle 5,\overline{90}$

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Addition von Brüchen mit Dezimalbrüchen

$\frac{3}{4}+9{,}56$

$\frac23+4+1{,}39$

$0{,}4+\frac{2}{7}$

$\frac{1}{7}+1{,}7$

$\frac{3}{2}+3{,}44$

$\frac{4}{9}+1{,}2+\frac{2}{7}$

$\frac{1}{4}+3{,}2+\frac{3}{8}+1{,}7$

$\frac{5}{7}+0{,}3+\frac{2}{5}$

3
Berechne ein Viertel von $\frac4{100}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Ein Viertel von $\frac4{100}$ : "Von" lässt sich mit "mal" übersetzen
Kürzen
4
Berechne fünf Hundertstel von 0,2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Fünf Hundertstel von $0{,}2$ : "Von" lässt sich mit "mal" übersetzen
Kürzen und ausrechnen:
$\frac{5}{100}\cdot0{,}2=\frac{1}{20}\cdot0{,}2=0{,}2:20=0{,}01$
Fünf Hundertstel von $0{,}2$ ist $0{,}01$ .

Berechne.

\displaystyle -\frac7{10}-\frac1{10}

\displaystyle -\frac7{10}-\frac1{10}

\displaystyle -\frac7{10}-\frac1{10}

\displaystyle -\frac7{10}-\frac1{10}

Berechne den Wert des Terms.

$0{,}25\cdot\left(3{,}5-1{,}9\right)$

$\left(-3{,}56+6{,}7-9{,}84\right)\cdot100$

Gegeben ist der Term $\left(-0{,}3\right)\cdot\frac23-\frac23\cdot0{,}7$ .

Berechne den Wert des Terms.

Setze eine Klammer so, dass der Wert des neuen Terms Null ist.

Gegeben ist der Term $\left(0{,}8-2{,}8\cdot \frac{3}{4}\right):\left(1-3{,}6\right)$ .

Berechne den Wert des Terms.

Peter behauptet: „Die erste Klammer kann man weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert!“ Hat Peter Recht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Nein, er hat nicht Recht. Dadurch würde man das Ergebnis erst am Schluss von $0{,}8$ subtrahieren und dies führt zu einem anderen Ergebnis.
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$\displaystyle 17{,}17+0{,}3$	$=$	$\displaystyle \frac{1717}{100}+\frac{30}{100}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1747}{100}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 17{,}47$

	$\displaystyle \frac{3}{2}+3{,}44$
	↓ Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.
$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{344}{100}$
	↓ Erweitere auf den gemeinsamen Nenner (hier: 100)
$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot50}{2\cdot50}+\frac{344}{100}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{150}{100}+\frac{344}{100}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich
$=$	$\displaystyle \frac{150+344}{100}$
	↓ Addiere
$=$	$\displaystyle \frac{494}{100}$
	↓ Wandle in die gemischte Schreibweise um.
$=$	$\displaystyle 4\frac{94}{100}$
	↓ Wandle in einen Dezimalbruch um.
$=$	$\displaystyle 4{,}94$

	$\displaystyle \frac{4}{9}+1{,}2+\frac{2}{7}$
	↓ Schreibe als Bruch
$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{12}{10}+\frac{2}{7}$
	↓ Kürze den Bruch
$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{6}{5}+\frac{2}{7}$
	↓ Addiere zunächst die beiden ersten Brüche. Bringe sie dazu auf den gleichen Nenner (hier: 45)
$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot5}{9\cdot5}+\frac{6\cdot9}{5\cdot9}+\frac{2}{7}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{20}{45}+\frac{54}{45}+\frac{2}{7}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \frac{20+54}{45}+\frac{2}{7}$
	↓ Addiere.
$=$	$\displaystyle \frac{74}{45}+\frac{2}{7}$
	↓ Addiere die beiden Brüche. Bringe sie dazu auf den gleichen Nenner (hier: 90)
$=$	$\displaystyle \frac{74\cdot7}{45\cdot7}+\frac{2\cdot45}{7\cdot45}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{518}{315}+\frac{90}{315}$
	↓ Schreibe auf den gleichen Bruchstrich
$=$	$\displaystyle \frac{608}{315}$
	↓ Schreibe in gemischter Schreibweise.
$=$	$\displaystyle 1\frac{293}{315}$

	$\displaystyle \frac{1}{4}+3{,}2+\frac{3}{8}+1{,}7$
	↓ Schreibe als Bruch
$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{32}{10}+\frac{3}{8}+\frac{17}{10}$
	↓ Sortiere die Terme
$=$	$\displaystyle \frac{32}{10}+\frac{17}{10}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \frac{32+17}{10}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}$
$=$	$\displaystyle \frac{49}{10}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}$
	↓ Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (hier: 40)
$=$	$\displaystyle \frac{49\cdot4}{10\cdot4}+\frac{1\cdot10}{4\cdot10}+\frac{3\cdot5}{8\cdot5}$
$=$	$\displaystyle \frac{196}{40}+\frac{10}{40}+\frac{15}{40}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich
$=$	$\displaystyle \frac{196+10+15}{40}$
	↓ Addiere.
$=$	$\displaystyle \frac{221}{40}$
	↓ Schreibe in gemischter Schreibweise
$=$	$\displaystyle 5\frac{21}{40}$
	↓ Erweitere den Nenner auf 1000.
$=$	$\displaystyle 5\frac{21\cdot25}{40\cdot25}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle 5\frac{525}{1000}$
	↓ Wandle in Dezimalzahl
$=$	$\displaystyle 5{,}525$

	$\displaystyle \frac{5}{7}+0{,}3+\frac{2}{5}$
	↓ Schreibe die Dezimalzahl als Bruch
$=$	$\displaystyle \frac{5}{7}+\frac{3}{10}+\frac{2}{5}$
	↓ Erweitere auf einen gemeinsamen Nenner (hier: 70)
$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot10}{7\cdot10}+\frac{3\cdot7}{10\cdot7}+\frac{2\cdot14}{5\cdot14}$
	↓ Multipliziere aus.
$=$	$\displaystyle \frac{50}{70}+\frac{21}{70}+\frac{28}{70}$
	↓ Schreibe auf einen Bruchstrich
$=$	$\displaystyle \frac{50+21+28}{70}$
	↓ Addiere
$=$	$\displaystyle \frac{99}{70}$
	↓ Wandle um in die gemischte Schreibweise.
$=$	$\displaystyle 1\frac{29}{70}$

$\displaystyle 18{,}7-1{,}87$	$=$	$\displaystyle \frac{1870}{100}-\frac{187}{100}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1683}{100}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 16{,}83$

$\displaystyle 1{,}2\cdot0{,}12$	$=$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{10}\cdot\frac{12}{100}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle \frac{144}{1000}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 0{,}144$

$\displaystyle 0{,}8:0{,}32$	$=$
	↓	Brüche bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{8}{10}}{\frac{32}{100}}$
	↓	Durch $\frac{32}{100}$ dividieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{10}\cdot\frac{100}{32}$
	↓	Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{800}{320}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle 0{,}32:0{,}6$	$=$
	$=$	$\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{32}{100}}{\displaystyle\frac{60}{100}}$
	↓	Wandle die Dezimalbrüche in Brüche um.
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{100}\cdot\frac{100}{60}$
	↓	Mit Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3200}{6000}$
	↓	Mit 100 kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{15}$
	↓	Du kannst den Bruch eventuell noch in einen periodischen Dezimalbruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\overline{3}$

$\displaystyle 0{,}0123:1000$	$=$
	↓	In Brüche umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{123}{10000}}{\displaystyle\frac{1000}1}$
	↓	Durch $\frac{1000}1$ dividieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{123}{10000}\cdot\frac1{1000}$
	↓	Mit Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{123}{10000000}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 0{,}0000123$

$\displaystyle 0{,}0123\cdot100$	$=$
	↓	Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{123}{10000}\cdot\frac{100}{1}$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{12300}{10000}$
	↓	Bruch kürzen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}23$

$\displaystyle 5{,}5\cdot0{,}12:0{,}1$	$=$
	↓	In Brüche umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{550}{100}\cdot\frac{12}{100}}{\frac{10}{100}}$
	↓	Durch den Bruch $\frac{10}{100}$ dividieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{550}{100}\cdot\frac{12}{100}\cdot\frac{100}{10}$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{660000}{100000}$
	↓	Bruch kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{66}{10}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 6{,}6$

$\displaystyle \left(2{,}08+9{,}2\right)-6{,}99$	$=$
	↓	Berechne zuerst $2{,}08+9{,}2$ .
	$=$	$\displaystyle 11{,}28-6{,}99$
	$=$	$\displaystyle 4{,}29$

$\displaystyle \left(2{,}08+9{,}2\right)-6{,}99$	$=$
	↓	Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{208}{100}+\frac{92}{10}-\frac{699}{100}$
	↓	Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{208}{100}+\frac{920}{100}-\frac{699}{100}$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle \frac{429}{100}$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 4{,}29$

$\displaystyle \frac{3}{4}+9{,}65$	$=$
	↓	Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{956}{100}$
	↓	Berechne den Hauptnenner (100).
	$=$	$\displaystyle \frac{75}{100}+\frac{956}{100}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{1031}{100}$
	$=$	$\displaystyle 10\ \frac{31}{100}$
	$=$	$\displaystyle 10{,}31$

$\displaystyle \frac{3}{4}+9{,}56$	$=$
	↓	Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
	$=$	$\displaystyle 0{,}75+9{,}56$
	↓	Addiere die Dezimalbrüche.
	$=$	$\displaystyle 10{,}31$
	$=$	$\displaystyle 10\ \frac{31}{100}$

$\displaystyle \frac{2}{3}+4+1{,}39$	$=$
	↓	Da $\frac23$ einem periodischen Dezimalbruch entspricht, ist die Rechnung wesentlich leichter, wenn du hier den Dezimalbruch in einen Bruch umwandelst.
	$=$	$\displaystyle \frac{200}{300}+\frac{1200}{300}+\frac{417}{300}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{1817}{300}$
	$=$	$\displaystyle 6\ \frac{17}{300}$

$\displaystyle 0{,}4+\frac{2}{7}$	$=$
	↓	Da $\frac{2}{7}$ einem periodischen Dezimalbruch entspricht, ist die Rechnung wesentlich leichter, wenn du hier den Dezimalbruch in einen Bruch umwandelst.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{2}{7}$
	↓	Bilde den Hauptnenner (35).
	$=$	$\displaystyle \frac{14}{35}+\frac{10}{35}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{24}{35}$

$\displaystyle \frac{1}{7}+1{,}7$	$=$
	↓	Da $\frac{1}{7}$ einem periodischen Dezimalbruch entspricht, ist die Rechnung wesentlich leichter, wenn du hier den Dezimalbruch in einen Bruch umwandelst.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{17}{10}$
	↓	Bilde den Hauptnenner (70).
	$=$	$\displaystyle \frac{10}{70}+\frac{119}{70}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{129}{70}$
	$=$	$\displaystyle 1\ \frac{59}{70}$

$\displaystyle -\frac{7}{10}-\frac{1}{10}$	$=$	$\displaystyle \frac{-7-1}{10}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{10}$
	↓	kürze
	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{5}$

$\displaystyle \left(-\frac{7}{10}\right)\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-7\right)}{10}\cdot\frac{\left(-1\right)}{10}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-7\right)\cdot\left(-1\right)}{10\cdot10}$
	↓	Multipliziere die Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{100}$

$\displaystyle -5\frac{1}{4}-2\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{-21}4-\frac52\cdot\left(-1\right)$
	↓	Erweitere auf den gemeinsamen Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \frac{-21}4-\frac{10}4\cdot\left(-1\right)$
	↓	Multipliziere mit -1.
	$=$	$\displaystyle \frac{-21}4+\frac{10}4$
	$=$	$\displaystyle -\frac{11}4$

$\displaystyle \frac{3}{8}\cdot17-\frac{3}{8}\cdot7$	$=$	$\displaystyle \frac38\cdot({17}-7)$
	$=$	$\displaystyle \frac38\cdot(10)$
	$=$	$\displaystyle \frac{30}8$
	↓	Kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{15}4$

$\displaystyle 0{,}25\cdot\left(3{,}5-1{,}9\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}25\cdot1{,}6$
	↓	Zur Multiplikation die Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{100}\cdot\frac{16}{10}$
	↓	Den ersten Bruch mit 25 und den zweiten mit 2 kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot8}{4\cdot5}$
	↓	Mit 4 kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\displaystyle \left(-3{,}56+6{,}7-9{,}84\right)\cdot100$	$=$	$\displaystyle \left(3{,}14-9{,}84\right)\cdot100$
	↓	In der Klammer subtrahieren .
	$=$	$\displaystyle -6{,}7\cdot100$
	↓	Mal 100 bedeutet eine Kommaverschiebung um zwei Stellen nach rechts.
	$=$	$\displaystyle -670$

Gemischte Aufgaben zum Rechnen mit rationalen Zahlen

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$\displaystyle \left(-0{,}3\right)\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\cdot0{,}7$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{3}{10}\right)\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{10}$
	↓	Brüche multiplizieren .
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{6}{30}\right)-\frac{14}{30}$
	↓	Brüche subtrahieren .
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{20}{30}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$

$\displaystyle \left(0{,}8-2{,}8\cdot\frac{3}{4}\right):\left(1-3{,}6\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{5}-\frac{14}{5}\cdot\frac{3}{4}\right):\left(1-\frac{18}{5}\right)$
	↓	Bruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{5}-\frac{21}{10}\right):\left(1-\frac{18}{5}\right)$
	↓	Hauptnenner (10) von $\frac45$ und $\frac{21}{10}$ bilden und auf diesen erweitern . Hauptnenner (5) von $1$ und $\frac{18}5$ bilden und auf diesen erweitern .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{10}-\frac{21}{10}\right):\left(\frac{5}{5}-\frac{18}{5}\right)$
	↓	Bruch subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{13}{10}\right):\left(-\frac{13}{5}\right)$
	↓	Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$