123. Lösen mithilfe der Polynomdivision (2|2)

Beispiel

1. Schritt:

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^3-6x^2+5x+12$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.
	$=$	$\displaystyle 1^3-6\cdot1^2+5\cdot1+12=12$
$\displaystyle f(1)$	$≠$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze z.B. $-1$ in $f(x)$ ein.
$\displaystyle f(-1)$	$=$	$\displaystyle (-1)^3-6\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+12$
	$=$	$\displaystyle -1-6-5+12=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=-1$ eine Nullstelle.

2. Schritt:

Da $f(-1)=0$ , wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+1)$ besitzt.

Teile nun $f(x)$ durch $(x+1)$ .

$(x^3-6x^2+5x+12):(x+1)=x^2-7x+12$

3. Schritt:

$f(x)=(x+1)\cdot(x^2-7x+12)$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=-1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-7x+12=0$

Da das Polynom $x^2-7x+12$ die Form einer quadratischen Funktion hat, kannst du die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen.

4. Schritt:

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{7\pm1}{2}$

Fall $1$ : $+$

Fall $2$ : $-$

$x_2=4$

$x_3=3$

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