Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

1
Vereinfache den Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ und gib an, für welche Werte von $x$ sich der Termwert $0$ ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsmenge bestimmen
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$
Beim ersten Summand steht $x$ alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.
Beim zweiten Summanden steht $x^{2}$ unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das $x$ in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen $x$ nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche $x$ negativ oder positiv war.
Also kann man alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.
$D = ℝ$
Radizieren
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$
Schreibe $169$ als Quadratzahlen.
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ $=$ $\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
↓
Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
$=$ $13 \cdot x + 13 \cdot | x |$
Betrag auflösen
Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.
1. Fall: Positive $x$ , also $x \geq 0$
Wenn man nur positive $x$ -Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$ $=$ $13 x + 13 x$
$=$ $26 x$
$26 x = 0$ , wenn $x = 0$ gilt.
2. Fall: Negative $x$ , also $x \leq 0$
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$
Wenn man nur negative $x$ -Werte einsetzt, kann man $- x$ anstatt $| x |$ schreiben
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$ $=$ $13 x + 13 \cdot (- x)$
$=$ $13 x - 13 x$
$=$ $0$
Für negative $x$ -Werte wird der Ausdruck also immer 0.
Der Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ wird also $0$ für alle $x \leq 0$ , also für $x = 0$ und alle negativen Zahlen.

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1 / 2} = \frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
↓
Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
↓
Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
↓
Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$ $=$ $- 7 \pm \sqrt{41}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$x_{1 / 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$

Vereinfache:

$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
↓
Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
↓
Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$ $10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$ $10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$ $\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\sqrt{64 k^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{64 k^{2}}$
↓
Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
↓
Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln .
(Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$ $8 \cdot | k |$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}} (x, y, z > 0)$

4
Vereinfache jeweils so weit wie möglich.
1. $(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
  ↓
  Binomische Formel anwenden
  $=$ $(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2})$
  ↓
  Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
  $=$ $(1 - 3)$
  $=$ $- 2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
  ↓
  In der Klammer subtrahieren
  $=$ ${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
  $=$ ${(- 2)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2}$
  ↓
  Beide Teile getrennt quadrieren
  $=$ $4 \cdot 2$
  $=$ $8$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
  ↓
  $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
  $=$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{36} \cdot 12} - \sqrt{9 \cdot \frac{1}{27}})$
  ↓
  In den Wurzeln multiplizieren
  $=$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$
  ↓
  In der Klammer subtrahieren
  $=$ $\sqrt{3} \cdot 0$
  $=$ $0$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
  ↓
  Division in Bruchschreibweise umwandeln
  $=$ $\frac{(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54})}{\sqrt{27}}$
  ↓
  Brüche einzeln schreiben
  $=$ $\frac{2 \sqrt{108}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
  ↓
  Den 1. Bruch teilweise radizieren.
  $=$ $\frac{4 \sqrt{27}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
  ↓
  Brüche kürzen.
  $=$ $4 - 7 \sqrt{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $=$ ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
  ↓
  2. Binomische Formel anwenden
  $=$ ${\sqrt{2}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + {\sqrt{18}}^{2}$
  $=$ $2 - 12 + 18$
  $=$ $8$
  Alternative Lösung
  ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
  ↓
  teilweise Wurzelziehen
  $=$ ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
  ↓
  zusammenfassen
  $=$ ${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
  $=$ $(- 2)^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2}$
  $=$ $4 \cdot 2$
  $=$ $8$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  ↓
  Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2 \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7}$
  $=$ $(\sqrt{28} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  ↓
  Klammer ausmultiplizieren.
  $=$ $\sqrt{28} - 28 - 3 + 3 \sqrt{28}$
  ↓
  Vereinfachen
  $=$ $\sqrt{28} - 31 + 3 \sqrt{28}$
  $=$ $4 \sqrt{28} - 31$
  Alternativ kannst du auch zunächst die Vereinfachung $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2 \sqrt{7}$ benutzen.
  Es ist oft gut, früh zu vereinfachen, weil du dann mit kleineren Zahlen rechnen kannst.
  $(8 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
  ↓
  Vereinfache wie oben angegeben
  $=$ $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - 2 \sqrt{7})$
  ↓
  Klammer ausmultiplizieren
  $=$ $2 \sqrt{7} - 4 \cdot 7 - 3 + 6 \sqrt{7}$
  ↓
  Fasse zusammen
  $=$ $8 \sqrt{7} - 31$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. $3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
  ↓
  Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
  $=$ $3 \sqrt{7 \cdot 9} + 6 \sqrt{2 \cdot 36} - 4 \sqrt{7 \cdot 4} - 17 \sqrt{2 \cdot 4}$
  ↓
  Wurzel ziehen.
  $=$ $3 \cdot 3 \sqrt{7} + 6 \cdot 6 \sqrt{2} - 4 \cdot 2 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
  $=$ $9 \sqrt{7} + 36 \sqrt{2} - 8 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
  ↓
  Zusammenfassen
  $=$ $\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5
Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit dem Nenner erweitern .
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
  ↓
  Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit $\sqrt{3}$ erweitern .
  $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ $=$ $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
  $=$ $\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
  ↓
  Fasse zusammen
  $=$ $\frac{5}{6} \sqrt{3}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\frac{25}{\sqrt{125}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  $\frac{25}{\sqrt{125}}$ $=$ $\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
  ↓
  Teilweise radizieren.
  $=$ $\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
  ↓
  Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
  $=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
  $=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
  ↓
  Kürzen.
  $=$ $\sqrt{5}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit dem Nenner erweitern .
  $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ $=$ $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
  ↓
  Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
  $=$ $\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
  $=$ $\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
  ↓
  Bruch auseinanderziehen.
  $=$ $\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
  ↓
  Kürzen.
  $=$ $\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Mache den Nenner rational:
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  ↓
  Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
  $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
  $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
  ↓
  Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
  $=$ $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
  ↓
  Multipliziere.
  $=$ $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
  ↓
  Ziehe die zweite Wurzel.
  $=$ $\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
  $=$ $\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gib den Definitionsbereich an.
1. $\sqrt{x - 36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf $x - 36$ nicht negativ sein. $x - 36$ ist negativ, wenn $x$ kleiner ist als $36$ .Deswegen muss $x$ entweder größer als $36$ sein oder $36$ gleichen, damit in der Wurzel kein negativer Wert steht. $x$ gehört außerdem zu den Reellen Zahlen. Nun kannst du den Definitionsbereich bestimmen.
  $x \in ℝ, x ⩾ 36$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\sqrt{36 + x^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen keine negativen Ausdrücke stehen, deswegen darf hier $36 + x^{2}$ nicht negativ sein. Eine quadrierte Zahl ist nie negativ, da das Produkt aus zwei negativen oder zwei positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann. $x$ kann also jede beliebige Zahl aus der reellen Zahlenmenge sein, ohne dass $x^{2} + 36$ kleiner als null wird.
  $D = ℝ$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\frac{1}{\sqrt{x + 36}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen. Außerdem darf der Nenner eines Bruches nicht null gleichen. Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, muss $x + 36$ größer als null sein. Dazu muss $x$ größer $- 36$ sein. Außerdem gehört $x$ zur reellen Zahlenmenge. Nun kannst du von $\frac{1}{\sqrt{x + 36}}$ den Definitionsbereich bestimmen.
  $x \in R, x > - 36$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $\sqrt{x^{2} - 36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen, deshalb darf $x^{2} - 36$ nicht kleiner sein als null. Um diese Angaben einzuhalten, muss $x^{2}$ also größer gleich $36$ sein. $x^{2}$ ist nicht größer gleich $36$ , wenn $x$ irgendeine Zahl im Bereich zwischen -6 und 6, ausgeschlossen -6 und ausgeschlossen 6, ist. Allgemein gehört $x$ zu den reellen Zahlen. Damit kannst du nun den Definitionsbereich von $\sqrt{x^{2} - 36}$ angeben.
  $D = ℝ \] - 6; 6 [$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8
Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.
1. $\sqrt{49 a^{4} b^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{49 a^{4} b^{2}}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Da die Exponenten von $a$ und $b$ gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da $x^{2 n}$ immer positiv ist.
  $D_{\max} = ℝ$
  Wurzel ziehen.
  $\sqrt{49 a^{4} b^{2}} = 7 \cdot a^{2} \cdot | b |$
  Betragsstriche, da $b$ negativ sein könnte.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\sqrt{{(- b)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(- b)}^{2}}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Der Exponent von $b$ ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da ${(- x)}^{n_{gerade}}$ immer positiv ist.
  $D_{\max} = ℝ$
  $- b$ quadrieren.
  $\sqrt{{(- b)}^{2}}$ $=$ $\sqrt{b^{2}}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
  $=$ $| b |$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. ${\sqrt{- b}}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${\sqrt{- b}}^{2}$
  Die Zahl unter der Wurzel darf nicht negativ sein. $\Rightarrow$ Nur negative Zahlen oder $0$ sind für $b$ möglich.
  $D_{\max} = ℝ_{0}^{-}$
  ${\sqrt{- b}}^{2}$ $= - b$
  Die Potenz hebt die Wurzel auf.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}} = | 1 - 2 x |$
  Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. $\sqrt{{(x - y)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(x - y)}^{2}}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{{(x - y)}^{2}} = | x - y |$
  Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von $x$ und $y$ gerade sind, darf für $x$ und $y$ alles eingesetzt werden.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}}$
  Das $x$ steht unter der Wurzel im Quadrat. Deshalb kann man für $x$ alle Werte einsetzen.
  $\to 𝔻 = ℝ$
  Es gilt $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}} = \sqrt{{(x \cdot y)}^{2}}$ . Ziehe dann die Wurzel, dabei heben sich Wurzel und Quadrat auf. Vergiss nicht, die Betragsstriche zu setzen!
  $= | x \cdot y |$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9
Begründe, dass für positive $a$ gilt: $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Du willst zeigen, dass $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$
Versuche hierfür den Nenner rational zu machen.
$\frac{1}{\sqrt{a}}$
Erweitern mit $\sqrt{a}$
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}$
Benutze die Rechenregeln für das Produkt von Wurzeln.
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a \cdot a}}$
Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.
$= \frac{\sqrt{a}}{a}$
10
Für welche Werte von $x$ ist die „Aussage“ jeweils wahr?
1. $\sqrt{x^{2}} = - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für welche $x$ ist $\sqrt{x^{2}} = - x$ ?
  Allgemein ist $\sqrt{x^{2}} = | x |$ . Überlege daher:
  Für welche $x$ ist $| x | = - x$ ?
  Antwort: Für alle Werte von $x$ , die kleiner oder gleich 0 sind.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für alle Werte $x \geq 1$ , weil $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = | x - 1 |$ und die Betragsfunktion nur für $x - 1 \geq 0$ gleich der rechten Seite ist.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.

$5 \cdot \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{18 x}$

$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Die erste Wurzel im Zähler ist immer positiv, da die Variable $a$ quadratisch vorkommt. Aber in der zweiten Wurzel des Zählers darf man nur positive Werte oder 0 einsetzen. Genauso verhält es sich bei der Wurzel im Nenner, hier muss aber a größer Null sein.
$D = ℝ_{}^{+}$ , also $a > 0$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.
$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$ $=$ $\sqrt{\frac{2 a^{2} \cdot 12 a}{8 a}}$
↓
Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
$=$ $\sqrt{3 a^{2}}$
↓
Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
$=$ $\sqrt{3} \cdot | a |$
↓
Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
$=$ $\sqrt{3} \cdot a$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Setze daher den Radikand größer gleich 0.
$d - 2 \geq 0$
$d \geq 2$
$D = [2; \infty [$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Die Wurzel quadrieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$ $=$ $| d - 2 |$
$=$ $d - 2$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Da der Term der unter der Wurzel steht noch quadriert wird, wird dieser immer positiv sein, egal welche Werte man für $d$ einsetzt.
$D = ℝ$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$ $=$ $| d - 2 |$
↓
Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
$=$ $| d - 2 |$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}}$
	↓ Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.
$=$	$\frac{\sqrt{x^{5} y} \cdot \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{5 a} \cdot \sqrt{x^{3} y^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 x}}{\sqrt{a}}$
	↓ Fasse die Brüche zusammen.
$=$	$\sqrt{\frac{x^{5} y \cdot a^{2} \cdot 25 x}{5 a x^{3} y^{3} a}}$
	↓ Kürze den Bruch .
$=$	$\sqrt{\frac{5 x^{3}}{y^{2}}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.
$=$	$\frac{x}{y} \sqrt{5 x}$

$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$	$=$	$\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
	↓	Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
	$=$	$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$

$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$	$=$	$13 x + 13 \cdot (- x)$
	$=$	$13 x - 13 x$
	$=$	$0$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$	$=$	$- 7 \pm \sqrt{41}$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 5 + 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 5 - 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7} \sqrt{7}} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{7}$

	$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
	↓ Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$	$10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$	$10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$	$\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$

	$\sqrt{64 k^{2}}$
	↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln . (Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$	$8 \cdot \| k \|$

	$(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2})$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$(1 - 3)$
$=$	$- 2$

	${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$	${(- 2)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2}$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$4 \cdot 2$
$=$	$8$

	$\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{36} \cdot 12} - \sqrt{9 \cdot \frac{1}{27}})$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\sqrt{3} \cdot 0$
$=$	$0$

	$(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\frac{(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54})}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\frac{2 \sqrt{108}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\frac{4 \sqrt{27}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$4 - 7 \sqrt{2}$

$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$	$=$	$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
	$=$	$\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\frac{5}{6} \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$	$=$	$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
	$=$	$\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Bruch auseinanderziehen.
	$=$	$\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

$\sqrt{{(- b)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{b^{2}}$
	↓	Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
	$=$	$\| b \|$

${(\sqrt{d - 2})}^{2}$	$=$	$\| d - 2 \|$
	$=$	$d - 2$

	$=$	${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	${\sqrt{2}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + {\sqrt{18}}^{2}$
	$=$	$2 - 12 + 18$
	$=$	$8$

	${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
	↓ zusammenfassen
$=$	${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$	$(- 2)^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2}$
$=$	$4 \cdot 2$
$=$	$8$

	$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2 \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7}$
$=$	$(\sqrt{28} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\sqrt{28} - 28 - 3 + 3 \sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\sqrt{28} - 31 + 3 \sqrt{28}$
$=$	$4 \sqrt{28} - 31$

	$(8 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - 2 \sqrt{7})$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$2 \sqrt{7} - 4 \cdot 7 - 3 + 6 \sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$8 \sqrt{7} - 31$

	$3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$3 \sqrt{7 \cdot 9} + 6 \sqrt{2 \cdot 36} - 4 \sqrt{7 \cdot 4} - 17 \sqrt{2 \cdot 4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$3 \cdot 3 \sqrt{7} + 6 \cdot 6 \sqrt{2} - 4 \cdot 2 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
$=$	$9 \sqrt{7} + 36 \sqrt{2} - 8 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{25}{\sqrt{125}}$	$=$	$\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
	↓	Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\sqrt{5}$

	$\frac{1}{\sqrt{2}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

	$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
$=$	$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
	↓ Ziehe die zweite Wurzel.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
$=$	$\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$

$5 \cdot \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{18 x}$	$=$	$5 \cdot \sqrt{2 x \cdot 18 x}$
	↓	Alles unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$5 \cdot \sqrt{36 x^{2}}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$5 \cdot 6 \cdot \| x \|$
	↓	Zusammenfassen und überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$30 x$

Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Definitionsmenge bestimmen

Radizieren

Betrag auflösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Alternative Lösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Term ohne Wurzelzeichen schreiben

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Term ohne Wurzelzeichen schreiben

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Term ohne Wurzelzeichen schreiben

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich bestimmen

Term ohne Wurzelzeichen schreiben

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$	$=$	$\sqrt{\frac{2 a^{2} \cdot 12 a}{8 a}}$
	↓	Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
	$=$	$\sqrt{3 a^{2}}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot \| a \|$
	↓	Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot a$

$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$	$=$	$\| d - 2 \|$
	↓	Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
	$=$	$\| d - 2 \|$