Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel
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Vereinfache den Term 169⋅x+169⋅x2 und gib an, für welche Werte von x sich der Termwert 0 ergibt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsmenge bestimmen
169⋅x+169⋅x2
Beim ersten Summand steht x alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für x einsetzen.
Beim zweiten Summanden steht x2 unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das x in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen x nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche x negativ oder positiv war.
Also kann man alle reellen Zahlen für x einsetzen.
D=R
Radizieren
169⋅x+169⋅x2
Schreibe 169 als Quadratzahlen.
169⋅x+169⋅x2 = 132⋅x+132⋅x2 ↓ Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
= 13⋅x+13⋅∣x∣ Betrag auflösen
Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.
1. Fall: Positive x, also x≥0
Wenn man nur positive x-Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.
13⋅x+13⋅∣x∣ = 13x+13x = 26x 26x=0, wenn x=0 gilt.
2. Fall: Negative x, also x≤0
13⋅x+13⋅∣x∣
Wenn man nur negative x-Werte einsetzt, kann man −x anstatt ∣x∣ schreiben
13⋅x+13⋅∣x∣ = 13x+13⋅(−x) = 13x−13x = 0 Für negative x-Werte wird der Ausdruck also immer 0.
Der Term 169⋅x+169⋅x2 wird also 0 für alle x≤0 , also für x=0 und alle negativen Zahlen.
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Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:
x1/2=27−5±52+4⋅7⋅27
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
x1/2 = 27−5±52+4⋅7⋅27 ↓ Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
x1/2 = 27−5±81=27−5±9 ↓ Berechne den Bruch einmal mit + und einmal mit −.
x1 = 27−5+9=274 ↓ x1 = 72 ↓ x1 = 7⋅72⋅7=727 x2 = 27−5−9=27−14 ↓ x2 = 277−147=2⋅7−147=14−147 ↓ x2 = −7 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Vereinfache:
500+398−58−345
64k2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
64k2 ↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
= 82⋅k2 ↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln .
(Vergiss nicht die Betragsstriche um k !)
= 8⋅∣k∣ Hast du eine Frage oder Feedback?
(5ax5y:a2x3y3)⋅a25x(x,y,z>0)
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Vereinfache jeweils so weit wie möglich.
(1−3)⋅(1+3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
(1−3)⋅(1+3) ↓ Binomische Formel anwenden
= (12−32) ↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
= (1−3) = −2 Hast du eine Frage oder Feedback?
(2−32)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
(2−32)2 ↓ In der Klammer subtrahieren
= (−22)2 = (−2)2⋅(2)2 ↓ Beide Teile getrennt quadrieren
= 4⋅2 = 8 Hast du eine Frage oder Feedback?
3⋅(6112−3271)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
3⋅(6112−3271) ↓ 61 und 3 in Wurzel ziehen
= 3⋅(361⋅12−9⋅271) ↓ In den Wurzeln multiplizieren
= 3⋅(31−31) ↓ In der Klammer subtrahieren
= 3⋅0 = 0 Hast du eine Frage oder Feedback?
(2108−754):27
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
(2108−754):27 ↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
= 27(2108−754) ↓ Brüche einzeln schreiben
= 272108−27754 ↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
= 27427−277⋅2⋅27 ↓ = 4−72 Hast du eine Frage oder Feedback?
(2−18)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
= (2−18)2 ↓ 2. Binomische Formel anwenden
= 22−2⋅2⋅18+182 = 2−12+18 = 8 Alternative Lösung
(2−18)2 ↓ teilweise Wurzelziehen
= (2−32)2 ↓ zusammenfassen
= (−22)2 = (−2)2⋅(2)2 = 4⋅2 = 8 Hast du eine Frage oder Feedback?
(27−3)(1−28)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
(27−3)(1−28) ↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: 27=4⋅7
= (28−3)(1−28) ↓ = 28−28−3+328 ↓ Vereinfachen
= 28−31+328 = 428−31 Alternativ kannst du auch zunächst die Vereinfachung 28=4⋅7=27 benutzen.
Es ist oft gut, früh zu vereinfachen, weil du dann mit kleineren Zahlen rechnen kannst.
(87−3)(1−28) ↓ Vereinfache wie oben angegeben
= (27−3)(1−27) ↓ = 27−4⋅7−3+67 ↓ Fasse zusammen
= 87−31 Hast du eine Frage oder Feedback?
363+672−428−178
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
363+672−428−178 ↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
= 37⋅9+62⋅36−47⋅4−172⋅4 ↓ = 3⋅37+6⋅62−4⋅27−342 = 97+362−87−342 ↓ Zusammenfassen
= 7+22 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.
21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
Mit dem Nenner erweitern .
21 = 2⋅21⋅2 = (2)22 ↓ Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
= 22 Hast du eine Frage oder Feedback?
235
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
Mit 3 erweitern .
235 = 2⋅353 = 2⋅35⋅3 ↓ Fasse zusammen
= 653 Hast du eine Frage oder Feedback?
12525
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
12525 = 25⋅525 ↓ Teilweise radizieren.
= 5525 ↓ Mit 5 erweitern.
= 5⋅5⋅525⋅5 = 5⋅525⋅5 ↓ = 5 Hast du eine Frage oder Feedback?
xyx−y
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
Mit dem Nenner erweitern .
xyx−y = xy⋅xy(x−y)⋅xy = xy2x⋅xy−y⋅xy ↓ Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
= xyx2⋅y−y2⋅x = xyxy−yx ↓ Bruch auseinanderziehen.
= xyxy−xyyx ↓ = yy−xx Hast du eine Frage oder Feedback?
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Mache den Nenner rational:
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Gib den Definitionsbereich an.
x−36
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf x−36 nicht negativ sein. x−36 ist negativ, wenn x kleiner ist als 36.Deswegen muss x entweder größer als 36 sein oder 36 gleichen, damit in der Wurzel kein negativer Wert steht. x gehört außerdem zu den Reellen Zahlen. Nun kannst du den Definitionsbereich bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
36+x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
Unter der Wurzel dürfen keine negativen Ausdrücke stehen, deswegen darf hier 36+x2 nicht negativ sein. Eine quadrierte Zahl ist nie negativ, da das Produkt aus zwei negativen oder zwei positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann. x kann also jede beliebige Zahl aus der reellen Zahlenmenge sein, ohne dass x2+36 kleiner als null wird.
Hast du eine Frage oder Feedback?
x+361
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen. Außerdem darf der Nenner eines Bruches nicht null gleichen. Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, muss x+36 größer als null sein. Dazu muss x größer −36 sein. Außerdem gehört x zur reellen Zahlenmenge. Nun kannst du von x+361 den Definitionsbereich bestimmen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
x2−36
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen, deshalb darf x2−36 nicht kleiner sein als null. Um diese Angaben einzuhalten, muss x2 also größer gleich 36 sein. x2 ist nicht größer gleich 36, wenn x irgendeine Zahl im Bereich zwischen -6 und 6, ausgeschlossen -6 und ausgeschlossen 6, ist. Allgemein gehört x zu den reellen Zahlen. Damit kannst du nun den Definitionsbereich von x2−36 angeben.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.
49a4b2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
49a4b2
Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
Da die Exponenten von a und b gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da x2n immer positiv ist.
Dmax=R
49a4b2=7⋅a2⋅∣b∣
Betragsstriche, da b negativ sein könnte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
(−b)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
(−b)2
Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
Der Exponent von b ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da (−x)ngerade immer positiv ist.
Dmax=R
−b quadrieren.
Hast du eine Frage oder Feedback?
−b2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
−b2
Die Zahl unter der Wurzel darf nicht negativ sein. ⇒ Nur negative Zahlen oder 0 sind für b möglich.
Dmax=R0−
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(1−2x)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
(1−2x)2
Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
Dmax=R
(1−2x)2=∣1−2x∣
Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
(x−y)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
(x−y)2
Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
Dmax=R
(x−y)2=∣x−y∣
Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.
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x2+y2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
x2+y2
Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von x und y gerade sind, darf für x und y alles eingesetzt werden.
Dmax=R
x2+y2=x2+y2
Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.
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x2⋅y2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
x2⋅y2
Das x steht unter der Wurzel im Quadrat. Deshalb kann man für x alle Werte einsetzen.
→D=R
Es gilt x2⋅y2=(x⋅y)2. Ziehe dann die Wurzel, dabei heben sich Wurzel und Quadrat auf. Vergiss nicht, die Betragsstriche zu setzen!
=∣x⋅y∣
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Begründe, dass für positive a gilt: a1=aa
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
a1
Erweitern mit a
=a⋅a1⋅a
Benutze die Rechenregeln für das Produkt von Wurzeln.
=a⋅a1⋅a
Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.
=aa
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Für welche Werte von x ist die „Aussage“ jeweils wahr?
x2=−x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
Für welche x ist x2=−x?
Allgemein ist x2=∣x∣. Überlege daher:
Für welche x ist ∣x∣=−x?
Antwort: Für alle Werte von x, die kleiner oder gleich 0 sind.
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(x−1)2=x−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
Für alle Werte x≥1 , weil (x−1)2=∣x−1∣ und die Betragsfunktion nur für x−1≥0 gleich der rechten Seite ist.
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Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.
5⋅2x⋅18x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme zuerst den Definitionsbereich.
5⋅2x⋅18x
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf man für x nur positive Werte oder die 0 einsetzen.
D=R0+
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.
5⋅2x⋅18x = 5⋅2x⋅18x ↓ Alles unter der Wurzel zusammenfassen.
= 5⋅36x2 ↓ Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
= 5⋅6⋅∣x∣ ↓ Zusammenfassen und überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
= 30x Hast du eine Frage oder Feedback?
8a2a2⋅12a
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
8a2a2⋅12a
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Die erste Wurzel im Zähler ist immer positiv, da die Variable a quadratisch vorkommt. Aber in der zweiten Wurzel des Zählers darf man nur positive Werte oder 0 einsetzen. Genauso verhält es sich bei der Wurzel im Nenner, hier muss aber a größer Null sein.
D=R+, also a>0
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.
8a2a2⋅12a = 8a2a2⋅12a ↓ Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
= 3a2 ↓ Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
= 3⋅∣a∣ ↓ Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
= 3⋅a Hast du eine Frage oder Feedback?
(d−2)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
(d−2)2
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Setze daher den Radikand größer gleich 0.
d−2≥0
d≥2
D=[2;∞[
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Die Wurzel quadrieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
(d−2)2 = ∣d−2∣ = d−2 Hast du eine Frage oder Feedback?
(d−2)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
(d−2)2
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Da der Term der unter der Wurzel steht noch quadriert wird, wird dieser immer positiv sein, egal welche Werte man für d einsetzt.
D=R