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Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

  1. 1

    Vereinfache den Term 169x+169x2\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2} und gib an, für welche Werte von xx sich der Termwert 00 ergibt.

  2. 2

    Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

    1. x1/2=14±142482x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2

    2. x1/2=5±52+472727x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt{7}\cdot2\sqrt{7}}}{2\sqrt{7}}

  3. 3

    Vereinfache:

    1. 500+39858345\sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt8-3\sqrt{45}

    2. 64k2\sqrt{64k^2}

    3. (x5y5a:x3y3a2)25xa                (x,  y,  z  >  0)\left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}a}\;\;\;\;\;\;\;\;\left(x,\;y,\;z\;>\;0\right)

  4. 4

    Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

    1. (13)(1+3)\left(1-\sqrt3\right)\cdot\left(1+\sqrt3\right)

    2. (232)2\left(\sqrt2-3\sqrt2\right)^2

    3. 3(16123127)\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)

    4. (2108754):27\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}

    5. (218)2\left(\sqrt2-\sqrt{18}\right)^2

    6. (273)(128)\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)

    7. 363+6724281783\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8

  5. 5

    Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.

    1. 12\frac1{\sqrt2}

    2. 523\frac5{2\sqrt3}

    3. 25125\frac{25}{\sqrt{125}}

    4. xyxy\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt{x y}}

  6. 6

    Mache den Nenner rational:

    1. 12\frac1{\sqrt2}

    2. 21255\frac{\sqrt2-\sqrt{125}}{\sqrt5}

  7. 7

    Gib den Definitionsbereich an.

    1. x36\sqrt{\mathrm x-36}

    2. 36+x2\sqrt{36+\mathrm x^2}

    3. 1x+36\frac1{\sqrt{\mathrm x+36}}

    4. x236\sqrt{\mathrm x^2-36}

  8. 8

    Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.

    1. 49a4b2\sqrt{49a^4b^2}

    2. (b)2\sqrt{\left(-b\right)^2}

    3. b  2\sqrt{-b}^{\;2}

    4. (12x)2\sqrt{\left(1-2x\right)^2}

    5. (xy)2\sqrt{\left(x-y\right)^2}

    6. x2+y2\sqrt{x^2+y^2}

    7. x2y2\sqrt{x^2\cdot y^2}

  9. 9

    Begründe, dass für positive aa gilt: 1a=aa\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}a

  10. 10

    Für welche Werte von xx ist die „Aussage“ jeweils wahr?

    1. x2=x\sqrt{x^2}=-x

    2. (x1)2=x1\sqrt{\left(x-1\right)^2}=x-1

  11. 11

    Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.

    1. 52x18x5\cdot\sqrt{2x}\cdot\sqrt{18x}

    2. 2a212a8a\displaystyle\frac{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{12a}}{\sqrt{8a}}

    3. (d2)2\left(\sqrt{d-2}\right)^2

    4. (d2)2\sqrt{\left(d-2\right)^2}