Aufgaben zu den binomischen Formeln

1

Löse auf (Binome)

$\left(ac+bd\right)^2$

$(a+b)^2$

$\left(a+bc\right)^2$

$\left(ad+cb\right)^2$

$5(6x+4y)^2$

$(3-8n)^2$

$(u+5v)^2$

$(z-1)^2$

$(2s+r)^2$

$(4a-5b)^2$

$(a+b)(u+v)^2$

$(3b-5c)(2x+5y)^2$

2

Schreibe ohne Klammern

$(a+7)(a-7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(a+7)(a-7)$
3. Binomische Formel anwenden, um die Klammern aufzulösen. Falls du die Formel nicht parat hast, kannst du die Klammern ausmultiplizieren:
$[a*(a-7)]+ [7*(a-7)]$
Dafür multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer ( $a$ und $7)$ mit der gesamten zweiten Klammer $(a-7)$ . Weil das Additionsverhältnis der ersten Klammer weiter abgebildet werden muss, addierst du die beiden Multiplikationen $a*(a-7)$ und $7*(a-7)$ wieder. Wegen Punkt vor Strich musst du hierfür jeweils eine große Klammer setzen: $[a*(a-7)]+[7*(a-7)]$
$a²-7a+7a-49$
Löse die Klammern von innen () nach außen [ ] auf. Beachte dabei die Vorzeichenregeln: aus $a*(-7$ ) wird $-7a$ und aus $7*(-7)$ wird $-49$ ! Darum ist der letzte Term im Setting $(a+b)(a-b)$ immer negativ.
$a²(+0)-49$
Die Terme $-7a$ und $+7a$ heben sich auf. Die mittleren Terme heben sich im Setting $(a+b)(a-b)$ immer auf. Darum kannst du dir den ganzen Prozess sparen, wenn du die 3. binomische Formel kennst! :D
$=a^2-49$
Denn übrig bleibt das Ergebnis der 3. binomischen Formel $(a-b)(a+b)=a²-b²$
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$\left(a+4b\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Anwendung der ersten binomischen Formel
$\left(a+4b\right)^2$
1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$=a^2+8ab+16b^2$
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$\left(2r-12\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(2r-12\right)^2$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$=4r^2-48r+144$
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$\left(r^2+5\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Klammer auflösen mit binomischer Formel
$\left(r^2+5\right)^2$
1. Binomische Formel anwenden, um die Klammer aufzulösen.
$=r^4+10r^2+25$
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$\left(r-\frac13\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(r-\frac13\right)^2$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer auflösen.
$=r^2-\frac23r+\frac19$
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$\left(r+8\right)\left(r-8\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(r+8\right)\left(r-8\right)$
3. Binomische Formel anwenden um die Klammern aufzulösen.
$=r^2-64$
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$\left(2r+9\right)\left(2r-9\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(2r+9\right)\left(2r-9\right)$
Die 3. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$=4r^2-81$
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$\left(-z+9\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(-z+9\right)^2$
Kommutativgesetz anwenden.
$=\left(9-z\right)^2$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$=81-18z+z^2$
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$\left(-a-2{,}5\right)^2$

$\left(r+4\right)^3$

$\left(2r-\frac12\right)^3$

3

Vereinfache

$\left(2+r\right)^2-\left(2-r\right)^2$

$16r^2-\left(3a-4r\right)^2$

$\left(5r-19\right)^2-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+\left(2r+3\right)^2+179r+1$

4

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

$(4x+5y)\;(5y+4x)$

$(8x^2-3x)(8x^2-3x)$

$(4p+5q)(4q+5p)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(4p+5q)(4q+5p)$ kann man die binomischen Formeln nicht anwenden, weil es in den beiden Klammern nicht dieselben Terme sind und auch die 3. binomische Formel nicht angwendet werden kann.
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$(8x^2-3x)(3x+8x^2)$

$(-x-3y)(-3y-x)$

$(\frac34m-2n)(\frac43m-2n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(\frac34m-2n)(\frac43m-2n)$ kann man keine binomische Formel anwenden, da die Terme in den Klammern gleich sein müssen. Aber $\frac34m$ und $\frac43m$ sind nicht gleich.
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$16a^2-16ab+4b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$\displaystyle 16a^2-16ab+4b^2$ $=$ $\displaystyle \left(4a-2b\right)^2$
↓
Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.
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$\frac14a^2-4ab+4b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $\frac14a^2-4ab+4b^2$ kann man keine binomische Formel anwenden, da bei diesen Quadrattermen der Mischterm $2\cdot\frac12a\cdot2b=2ab$ sein müsste.
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$25a^2+50ab-4b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$25a^2+50ab-4b^2$
Man kann keine binomische Formel anwenden. Die Quadratterme $25a^2$ und $-4b^2$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Für die erste und zweite binomische Formel müssen nämlich die Koeffizienten von $a^2$ und $b^2$ dieselben Vorzeichen haben. Außerdem müsste dann der Mischterm $2\cdot5a\cdot2b=20ab$ sein und nicht wie hier $50ab$ . Bei der dritten binomischen Formel haben zwar $a^2$ und $b^2$ unterschiedliche Vorzeichen, jedoch kann es dabei keinen Mischterm geben.
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5

Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

$\left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2$

$\frac23\left(6a-1{,}5b\right)^2$

$\left(0{,}5x-y\right)^2-\left(0{,}5x-y\right)\cdot\left(0{,}5x+y\right)$

$\left(\frac13x-2\right)^2+\frac13\cdot\left(x+2\right)^2$

$\left(2x-3\right)^2-2\cdot\left(x+3\right)^2-\frac12\cdot\left(6-2x\right)^2$

$\frac13\cdot\left(1{,}5a-b\right)^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2$

$\left(a-0{,}4b\right)^2-2\cdot\left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$

6

Ergänze

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
$…\;+\;14r+49=\left(…….\right)^2$
Am $+$ vor dem Mischterm $14r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden muss.
Aus dem Quadratterm kann man $b$ bestimmen.
$49=b^2$ $\Rightarrow$ $b=7$
$…\;+14r+49=\left(…\;+7\right)^2$
Aus dem Mischterm kann man $a$ bestimmen.
$2\cdot7\cdot a\;=14r\;\Rightarrow\;a=r$
$\Rightarrow\;\left(r+7\right)^2$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
$r^2-\frac13r\;….=\left(……\right)^2$
Am $-$ vor dem Mischterm $\frac13r$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden muss.
Aus Quadratterm kann man $a$ bestimmen.
$a^2=r^2\;\Rightarrow\;a=r$
$r^2-\frac13r……\;=\;\;\left(r-\;…\right)^2$
Aus dem Mischterm kann man $b$ bestimmen.
$2\cdot a\cdot b=\frac13r$
$2\cdot r\cdot b=\frac13r\;\Rightarrow\;b=\frac16$
$\Rightarrow\;\;\left(r-\frac16\right)^2$
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7

Verwandle in ein Produkt.

$225+30a+a^2$

$4m^2+28m+49$

$9a^2-16b^2$

$81u^2-36u+4$

$36u^2-289w^2$

$324+36x+x^2$

$49k^2-70ku+25u^2$

$64y^2-160yz+100z^2$

$361m^2-256n^2$

$121x^2+44xy+4y^2$

8

Faktorisiere

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$100r^2-225$

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$100r^2-225$
Da es nur zwei Quadratterme ohne Mischterm gibt, muss man die 3. Binomische Formel anwenden.
$100r^2=\left(10r\right)^2$ und $225=15^2$
$100r^2-225=\left(10r-15\right)\left(10r+15\right)$
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$4r^2+4r+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$4r^2+4r+1$
Am $+$ vor dem Mischterm $4r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel anwenden muss.
$4r^2=\left(2r\right)^2$ und $1=1^2$
$4r^2+4r+1=\left(2r+1\right)^2$
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$r^2-7r+12\frac14$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$r^2-7r+12\frac14$
Am $-$ vor dem Mischterm $7r$ erkennt man, dass man die 2.Binomische Formel anwenden muss.
$12\frac14=3{,}5^2$
$r^2-7r+12\frac{1}{4}=\left(r-3{,}5\right)^2$
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$48r^3-147ry^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$48r^3-147ry^2$
Man kann aus beiden Termen $3r$ ausklammern .
$=3r\left(16r^2\;-49y^2\right)$
Nun kann man die 3.Binomische Formel anwenden.
$=3r\left(4r-7y\right)\left(4r+7y\right)$
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$49p^2-112pq+64q^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$49p^2-112pq+64q^2$
An den beiden Quadrattermen und dem $-$ vor dem Mischterm $112pq$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel anwenden kann.
$49p^2=\left(7p\right)^2$ , $64q^2=\left(8q\right)^2$
$49p^2-112pq+64q^2=\;\left(7p-8q\right)^2$
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$24a^2r^2+120ar+150$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$24a^2r^2+120ar+150$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ ac }+\textcolor{009999}{ bd }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ ac })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ ac }\cdot \textcolor{009999}{ bd }+(\textcolor{009999}{ bd })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle a^2c^2+2abcd+b^2d^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ a }+\textcolor{009999}{ b }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ a }^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ a }\cdot\textcolor{009999}{ b } +\textcolor{009999}{ b }^2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle a^2+2ab+b^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ a }+\textcolor{009999}{ bc }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ a }^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ a }\cdot\textcolor{009999}{ bc } +\left(\textcolor{009999}{ bc }\right)^2$
	↓	Berechne das Quadrat und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle a^2+2abc+b^2c^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ ad }+\textcolor{009999}{ cb }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ ad })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ ad }\cdot \textcolor{009999}{ cb }+(\textcolor{009999}{ cb })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle a^2d^2+2abcd+b^2c^2$

Wende auf die Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle 5\cdot\left(\textcolor{cc0000}{ 6x }+\textcolor{009999}{ 4y }\right)^2$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\left((\textcolor{cc0000}{ 6x })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ 6x }\cdot\textcolor{009999}{ 4y }+(\textcolor{009999}{ 4y })^2\right)$
	↓	Berechne in der Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\left(\textcolor{cc0000}{ 36x }^2+48xy+\textcolor{009999}{ 16y }^2\right)$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 180x^2+240xy+80y^2$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ 3 }-\textcolor{009999}{ 8n }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ 3 }^2-2\cdot \textcolor{cc0000}{ 3 }\cdot\textcolor{009999}{ 8n }+(\textcolor{009999}{ 8n })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 9-48n+64n^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ u}+\textcolor{009999}{ 5v }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ u }^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ u}\cdot\textcolor{009999}{ 5v }+(\textcolor{009999}{ 5v })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle u^2+10uv+25v^2$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{z}-\textcolor{009999}{ 1 }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ z }^2-2\cdot \textcolor{cc0000}{ z}\cdot\textcolor{009999}{ 1 }+\textcolor{009999}{ 1 }^2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle z^2-2z+1$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ 2s}+\textcolor{009999}{ r }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ 2s })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ 2s}\cdot\textcolor{009999}{ r }+(\textcolor{009999}{ r })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 4s^2+4rs+r^2$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{4a}-\textcolor{009999}{ 5b }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ 4a})^2-2\cdot \textcolor{cc0000}{ 4a}\cdot\textcolor{009999}{ 5b }+(\textcolor{009999}{ 5b })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 16a^2-40ab+25b^2$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(a+b\right)\cdot\left(\textcolor{cc0000}{u}+\textcolor{009999}{ v }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(a+b\right)\cdot\left(\textcolor{cc0000}{u}^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{u}\cdot\textcolor{009999}{ v }+\textcolor{009999}{ v }^2\right)$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$\displaystyle au^2+2auv+av^2+bu^2+2buv+bv^2$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(3b-5c\right)\cdot \left(\textcolor{cc0000}{2x}+\textcolor{009999}{ 5y }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(3b-5c\right)\cdot\left((\textcolor{cc0000}{2x})^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{2x}\cdot\textcolor{009999}{ 5y }+(\textcolor{009999}{ 5y })^2\right)$
	↓	Berechne in der 2. Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle \left(3b-5c\right)\cdot\left(\textcolor{cc0000}{4x}^2+20xy+\textcolor{009999}{ 25y }^2\right)$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$\displaystyle 12bx^2+60bxy+75by^2-20cx^2-100cxy-125cy^2$

$\displaystyle \left(-a-2{,}5\right)^2$	$=$
	↓	Faktor $-1$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left[-1\cdot\left(a+2{,}5\right)\right]^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle (-1)^2\cdot\left(a+2{,}5\right)^2$
	↓	1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot(a^2+5a+6{,}25)$
	$=$	$\displaystyle a^2+5a+6{,}25$

$\displaystyle \left(r+4\right)^3$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, so dass man dann eine der binomischen Formeln anwenden kann.
	$=$	$\displaystyle \left(r+4\right)^2\left(r+4\right)$
	↓	1. Binomische Formel anwenden, um die erste Klammer aufzulösen.
	$=$	$\displaystyle \left(r^2+8r+16\right)\left(r+4\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle r^3+8r^2+16r+4r^2+32r+64$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle r^3+12r^2+48r+64$

$\displaystyle \left(2r-\frac{1}{2}\right)^3$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, sodass man dann eine der binomischen Formeln verwenden kann.
	$=$	$\displaystyle \left(2r-\frac{1}{2}\right)\left(2r-\frac{1}{2}\right)^2$
	↓	Die 2. Binomische Formel auf die zweite Klammer anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(2r-\frac{1}{2}\right)\left(4r^2-2r+\frac{1}{4}\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren .
	$=$	$\displaystyle 8r^3-4r^2+\frac{1}{2}r-2r^2+r-\frac{1}{8}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 8r^3-6r^2+\frac32r-\frac18$

$\displaystyle \left(2+r\right)^2-\left(2-r\right)^2$	$=$	$\displaystyle 4+4r+r^2-\left(4-4r+r^2\right)$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 4+4r+r^2-4+4r-r^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 8r$

$\displaystyle 16r^2-\left(3a-4r\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16r^2-\left(9a^2-24ar+16r^2\right)$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 16r^2-9a^2+24ar-16r^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -9a^2+24ar$

	$\displaystyle \left(5r-19\right)^2-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+\left(2r+3\right)^2+179r+1$
	↓ Die 1. und 2. binomische Formel auf $\left(5r-19\right)^2$ und $\left(2r+3\right)^2$ anwenden und 3. binomische Formel auf $(r-3)(r+3)$ anwenden.
$=$	$\displaystyle 25r^2-190r+361-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+4r^2+12r+9+179r+1$
	↓ Klammern auflösen.
$=$	$\displaystyle 25r^2-190r+361-r^2+9-12r^2+15r-16r+20+4r^2+12r+9+179r+1$
	↓ Terme zusammenfassen.
$=$	$\displaystyle 16r^2+400$

$\displaystyle \left(4x+5y\right)\left(5y+4x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(4x+5y\right)\left(4x+5y\right)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
	$=$	$\displaystyle \left(4x+5y\right)^2$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle 16x^2+40xy+25y^2$

$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)\left(8x^2-3x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)^2$
	↓	Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(8x^2\right)^2-2\cdot8x^2\cdot3x+\left(3x\right)^2$
	↓	Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle 64x^4-48x^3+9x^2$

$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)\left(3x+8x^2\right)$	$=$	$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)\left(8x^2+3x\right)$
	↓	Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle 64x^4-9x^2$

$\displaystyle \left(-x-3y\right)\left(-3y-x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x-3y\right)\left(-x-3y\right)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen. Forme bzw. schreibe den Term dafür um.
	$=$	$\displaystyle \left[\left(-1\right)\cdot\left(x+3y\right)\right]\cdot\left[\left(-1\right)\cdot\left(x+3y\right)\right]$
	↓	Den Faktor $-1$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)^2\cdot\left(x+3y\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+3y\right)^2$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle x^2+6xy+9y^2$

$\displaystyle 16a^2-16ab+4b^2$	$=$	$\displaystyle \left(4a-2b\right)^2$
	↓	Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.

$\displaystyle \left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(9x^2-30xy+25y^2\right)-\left(9x^2+30xy+25y^2\right)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle -60xy$

$\displaystyle \frac{2}{3}\left(6a-1{,}5b\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(36a^2-18ab+2{,}25b^2\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 24a^2-12ab+1{,}5b^2$

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Anwendung der ersten binomischen Formel

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Klammer auflösen mit binomischer Formel

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$\displaystyle \frac{2}{3}(6a-1{,}5b)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot 1{,}5\cdot1{,}5\cdot (4a-b)^2$
	↓	Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(16a^2-8ab+b^2)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle 24a^2-12ab+1{,}5b^2$

	$=$	$\displaystyle \left(0{,}25x^2-xy+y^2\right)-\left(0{,}25x^2-y^2\right)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle 0{,}25x^2-xy+y^2-0{,}25x^2+y^2$
	↓	$0{,}25x^2$ und $-0{,}25x^2$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle -xy+2y^2$

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}x-2\right)^2+\frac{1}{3}\cdot\left(x+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}x+4\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(x^2+4x+4\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}x+4+\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}x^2+\frac{16}{3}$

	$=$	$\displaystyle \left(4x^2-12x+9\right)-2\cdot\left(x^2+6x+9\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(36-24x+4x^2\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 4x^2-12x+9-2x^2-12x-18-18+12x-2x^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -12x-27$

	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{3}{2}a-b\right)^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	↓	Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{9}{4}a^2-3ab+b^2\right)-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{9}b^2+\frac{2}{3}ab+a^2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{1}{12}b^2-\frac{1}{2}ab-\frac{3}{4}a^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}ab+\frac{1}{4}b^2$

	$=$	$\displaystyle \left(a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2\right)-2\cdot\left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2-2\cdot\left(0{,}09b^2-0{,}3ab+0{,}25a^2\right)+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2-0{,}18b^2+0{,}6ab-0{,}5a^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2\cdot\left(a^2+0{,}2ab+0{,}01b^2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2a^2+0{,}04ab+0{,}002b^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}7a^2-0{,}16ab-0{,}018b^2$

$\displaystyle 225+30a+a^2$	$=$	$\displaystyle 15^2+2\cdot15\cdot a+a^2$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(15+a\right)^2$

$\displaystyle 4m^2+28m+49$	$=$	$\displaystyle \left(2m\right)^2+2\cdot2m\cdot7+7^2$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(2m+7\right)^2$

$\displaystyle 9a^2-16b^2$	$=$	$\displaystyle \left(3a\right)^2-\left(4b\right)^2$
	↓	Wende 3. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(3a+4b\right)\cdot\left(3a-4b\right)$

$\displaystyle 81u^2-36u+4$	$=$	$\displaystyle \left(9u\right)^2-2\cdot9u\cdot2+2^2$
	↓	Wende 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(9u-2\right)^2$