Aufgaben zum Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient und Fakultät

Zur Bearbeiung der Aufgabe kann es hilfreich sein, die Themen Binomialkoeffizient und Fakultät nachzulesen.

Binomialkoeffizient und Fakultät

Binomialkoeffizient und Fakultät

Permutation bedeutet ziehen ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.

$\Rightarrow3!=3\cdot2\cdot1=6$ Möglichkeiten

Permutation bedeutet ziehen ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.

$\Rightarrow4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ Permutationen

Wähle für die zwei gleichen Buchstaben 2 aus 4 Plätzen aus, ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Für die zwei anderen Buchstaben gibt es jeweils noch 2 Möglichkeiten zur Anordnung.

$\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{2}\cdot2!=12$

Wähle aus den vier Plätzen zwei aus, an denen die Buchstaben T stehen. Für die anderen beiden Buchstaben gibt es nurnoch eine Möglichkeit, weil sie sich nicht unterscheiden.

$\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{2}=6$

Für die drei A's wählt man aus den sechs Plätzen drei aus, ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Für die zwei N's wählt man aus den restlichen drei Plätzen zwei aus.

Übrig bleibt ein Platz für den Buchstaben S.

$\displaystyle\Rightarrow\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot1=20\cdot3=60$ Permutationen.

Möglichkeiten Abgeordnete auf den jeweiligen Sitzen zu verteilen, ohne dabei die Reihenfolge zu berücksichtigen:

Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 16 Abgeordneten, bei Sitz 2 15 usw…

Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 10 Abgeordneten, bei Sitz 2 hat man 9 usw….

Es gibt also 25200 Möglichkeiten.

Alternative Berechnung

$1\cdot{15\choose13}\cdot{10\choose6}=1\cdot 105 \cdot 210=22050$

Es gibt 22050 Möglichkeiten die Delegation aufzustellen.

Das ist nicht möglich!

Wenn nämlich drei Parlamentarier der Grünen grundsätzlich abgelehnt werden, dann hätten die Roten nur noch $16-3=13$ Möglichkeiten die 14 Sitze zu besetzen. Die Roten müssten also einlenken oder die Grünen noch einen weiteren Kandidaten aufstellen.

Insgesamt gibt es $\binom{52}{15}$ Möglichkeiten aus den 52 Karten 15 zu ziehen. Dabei zieht man die Karten ohne zurückzulegen und ohne die Reihenfolge zu beachten.

Im ganzen Kartenstapel sind vier Asse, die man nicht ziehen darf. Man zieht also aus den restlichen 48 Karten 15, ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

$\displaystyle\Rightarrow \binom{48}{15}=1\,093\,260\,079\,344$

Wähle zuerst eine Karte aus den vier Assen (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{1}$

Wähle anschließend aus den restlichen 48 Karten 14 aus (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). $\displaystyle\Rightarrow\binom{48}{14}$

Insgesamt ergeben sich also $\displaystyle\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}=1\,929\,282\,492\,960$ Möglichkeiten.

„Mindestens ein Ass“ bedeutet „genau ein Ass“ oder „genau zwei Asse“ oder „genau drei Asse“ oder „genau vier Asse“. Das bedeutet man kann die Möglichkeiten für die jeweiligen Ereignisse addieren.

genau ein Ass: Wähle aus den vier Assen ein Ass aus und aus den restlichen 48 Karten 14 aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}$ Möglichkeiten

genau zwei Asse: Wähle aus den vier Assen zwei aus und aus den restlichen 48 Karten 13 aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{2}\cdot\binom{48}{13}$ Möglichkeiten

genau drei Asse: Wähle aus den vier Assen drei aus und aus den restlchen 48 Karten zwölf aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{3}\cdot\binom{48}{12}$ Möglichkeiten

genau vier Asse: Wähle aus den vier Assen vier aus (eine Möglichkeit) und aus den restlichen 48 Karten elf aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{4}\cdot\binom{48}{11}$ Möglichkeiten

$\Rightarrow$ mindestens ein Ass: Addiere die einzelnen Teilergebnisse:

$\displaystyle\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}+\binom{4}{2}\cdot\binom{48}{13}+\binom{4}{3}\cdot\binom{48}{12}+\binom{4}{4}\cdot\binom{48}{11}=$

$=3\,388\,121\,326\,976$

„Höchstens ein Ass“ bedeutet entweder „kein Ass“ oder „genau ein Ass“. Die Möglichkeiten für die beiden Ereignisse kann man also einfach addieren, da sie keine Schnittmenge haben.

Kein Ass: Wähle aus 48 Karten 15 aus $\displaystyle\Rightarrow\binom{48}{15}$

Genau ein Ass: Wähle aus den vier Assen ein Ass aus und aus den restlichen 48 Karten 14 aus. $\displaystyle\Rightarrow \binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}$

$\Rightarrow$ Höchstens ein Ass: Addiere die Möglichkeiten der einzelnen Ereignisse zusammen.

$\displaystyle\binom{48}{15}+\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}=3\,022\,542\,572\,304$

Man zieht die Karten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Wähle aus den vier Assen zwei aus, dafür gibt es $\binom{4}{2}$ Möglichkeiten. Für jede dieser Möglichkeiten kann man aus den restlichen 48 Karten noch 13 ziehen. Dafür gibt es $\binom{48}{13}$ Möglichkeiten.

Insgesamt gibt es also $\displaystyle\binom{4}{2}\cdot\binom{48}{13}=1\,157\,569\,495\,776$

Man zieht die Karten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Für die vier Asse gibt es nur eine Möglichkeit. Die restlichen 11 Karten zieht man aus dem Stapel mit 48 Karten.

$\displaystyle\binom{4}{4}\cdot\binom{48}{11}=1\cdot\binom{48}{11}=22\,595\,200\,368$

Gesucht ist eine dreistellige Zahl mit genau zwei $5$ern.

Wähle aus $3$ Plätzen $2$ aus, an denen die beiden 5er stehen. Die dritte Stelle hat noch $9$ Ziffern zur Verfügung. Die Zahl $055$ wird dabei mitgezählt, ist aber keine dreistellige Zahl und muss deshalb abgezogen werden.

$\displaystyle\binom{3}{2}\cdot\binom{9}{1}-1=26$

Es gibt also 26 Möglichkeiten.

Gesucht ist eine dreistellige Zahl mit genau einer $5$.

Wähle aus den drei Stellen eine aus, an die du die $5$ setzt. Für die beiden anderen Stellen stehen dann noch $9$ Ziffern zur Verfügung. Allerdings werden $18$ Zahlen zu viel gezählt, die eine $0$ oder zwei 0en am Anfang stehen haben.

$\displaystyle\binom{3}{1}\cdot\binom{9}{1}\cdot\binom{9}{1}-18=225$

Es gibt also 225 Möglichkeiten.

Produkte mit zwei Faktoren:

Hier gilt $n=3$ (drei Faktoren zur Auswahl) und $k=2$ (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also

$\displaystyle \binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{6}{2}=3$

Möglichkeiten:

1. $5\cdot7=35$

2. $5\cdot11=55$

3. $7\cdot11=77$

Es gibt nur ein Produkt mit drei Faktoren: $5\cdot7\cdot11=385$.

Insgesamt gibt es also vier Produkte.

Hinweis:

In dieser Lösung wird nicht zwischen Produkten unterschieden, die nur in der Reihenfolge der Faktoren anders sind. Wenn man doch z.B. $5\cdot7$ und $7\cdot5$ unterscheiden möchte, gibt es $12$ verschiedene Produkte:

Sechs Produkte mit zwei Faktoren:

$5\cdot7$, $7\cdot5$, $5\cdot11$, $11\cdot5$, $7\cdot11$ und $11\cdot7$.

Sechs Produkte mit drei Faktoren:

$5\cdot7\cdot11$, $5\cdot11\cdot7$, $7\cdot5\cdot11$, $7\cdot11\cdot5$, $11\cdot5\cdot7$ und $11\cdot7\cdot5$

Das entspricht dem Modell "ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge".

Es gibt $3$ Faktoren, bei einem Produkt mit zwei Faktoren ist also $n=3$ und $k=2$ und es gibt $\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{1!}=\frac{6}{1}=6$ Möglichkeiten.

Bei einem Produkt mit $3$ Faktoren ist $n=k=3$ sind es $\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{6}{1}=6$ Möglichkeiten (oder du nimmst einfach die Anzahl der Permutationen von drei Elementen).

Hier gilt wieder $n=3$ und diesmal $k=3$, da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.

Mit $\displaystyle\binom{3}{3}=1$ folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit $5\cdot7\cdot11=385$ gibt.

$\Rightarrow$Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist $385-35=350$.

Insgesamt gibt es vier Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede andere Mannschaft spielen, d.h. jede Mannschaft macht $3$ Spiele. Da es vier Mannschaften gibt, ergeben sich $4\cdot 3=12$ Spiele. Da jedoch in jedem Spiel $2$ Mannschaften aufeinander treffen, wurden bei dieser Rechnung die Spiele doppelt gezählt, d.h. insgesamt gibt es $\frac{12}{2}=6$ Spiele.

Um die Gesamtpunktevergabe angeben zu können, muss betrachtet werden, wie viele der Spiele unentschieden ausgehen. Beachte, dass bei einem Sieg $3$ Punkte (für die Siegermannschaft) und bei einem Unentschieden $2$ Punkte (je einen für jede Mannschaft) vergeben werden.

Schreibe die Angabe in eine Tabelle:

Mache folgende Überlegung: Vilsbiburg hat $7$ Punkte, d.h. 2-mal gewonnen und 1-mal unentschieden gespielt. Seyboldsdorf hat $5$ Punkte, d.h. 1-mal gewonnen und 2-mal unentschieden gespielt.

Da also weder Vilsbiburg, noch Seyboldsdorf verloren haben, müssen sie gegeneinander unentschieden gespielt haben!

Damit folgt, dass Vilsbiburg die anderen Spiele gegen Frontenhausen und Geisenhausen gewonnen hat.

Da Frontenhausen nun bereits gegen Vilsbiburg verloren hat, muss es seine $3$ Punkte durch einen Sieg erreicht haben (und nicht durch $3$ Unentschieden).

Da Seyboldsdorf und Vilsbiburg kein Spiel verloren haben, muss Frontenhausen gegen Geisenhausen gewonnen haben.

Damit hat Seyboldsdof gegen Frontenhausen gewonnen.

Es verbleibt noch ein Unentscheiden zwischen Geisenhausen und Seyboldsdorf (da Geisenhausen $1$ Punkt hat).

Das Ergebnis ist noch einmal in der folgenden Tabelle verdeutlicht:

Es werden $3$ Eissorten aus $5$ ausgewählt, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und keine Eissorte doppelt vorkommen darf. Benutze also das Modell "ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik, also den Binomialkoeffizienten.

$\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\frac{5!}{3!\cdot\left(5-3\right)!}=10$

Alternative Interpretation der Aufgabenstellung

Wenn du die Aufgabe so liest, dass jedes Kind gar nicht genau $3$, sondern auch weniger Kugeln Eis essen darf, dann gibt es sogar noch mehr Möglichkeiten!

Es gibt die oben berechneten $10$ Möglichkeiten für den Fall, dass drei Kugeln genommen werden. Zudem gibt es nun aber noch die Möglichkeiten, dass

• zwei Kugeln,

• eine Kugel oder

• keine Kugel

genommen wird. Die Berechnung erfolgt wie oben.

Es gibt $\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\frac{5!}{2!\cdot\left(5-2\right)!}=10$ Möglichkeiten $2$ Kugeln aus $5$ verschiedenen Sorten zu wählen.

Es gibt $\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}=\frac{5!}{1!\cdot\left(5-1\right)!}=5$ Möglichkeiten eine Sorte auszuwählen.

Eine Möglichkeit gibt es, keine Kugel zu wählen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcccccccc}\Rightarrow &&\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}&+&\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}&+&\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}&+&\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\\\\&=&10&+&10&+&5&+&1\\&=&26\end{array}$

Insgesamt sind es dann also $26$ Möglichkeiten.

Es werden $3$ Eissorten aus $5$ ausgewählt, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und jede Eissorten mehrmals vorkommen darf. Benutze also das Modell "ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen" aus der Kombinatorik.

Berechne den Binomialkoeffizienten.

$\begin{pmatrix}5+3-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$

$\phantom{\begin{pmatrix}5+3-1\\3\end{pmatrix}}=\frac{7!}{3!\cdot\left(7-3\right)!}=35$

Es gibt also $35$ Möglichkeiten, wenn die drei Kugeln auch von derselben Sorte sein dürfen.