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Aufgaben zum Binomialkoeffizient

  1. 1

    Beweise das Symmetriegesetz (nn‚ąík)=(nk)\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}

  2. 2

    Beweise: ‚ąĎk=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n

  3. 3

    Beweise die Additionsformel (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}

  4. 4

    Berechne:

    1. (143)\begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}

    2. (2319)\begin{pmatrix}23\\19\end{pmatrix}

    3. (1916)\begin{pmatrix}19\\16\end{pmatrix}

  5. 5

    Nimm an, du hast zwei rote und drei blaue Bausteine, die untereinander nur durch die Farbe unterschieden werden können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, damit einen vier Steine hohen Turm zu bauen?

  6. 6

    5 √Ąpfel sollen an 3 Kinder verteilt werden. Da die Kinder kein Messer bei sich haben, k√∂nnen nur ganze √Ąpfel verteilt werden.

    Auf wie viele Arten ist das möglich?

  7. 7

    Gib die Anzahl der möglichen Permutationen an.

    1. ABC

    2. DEMO

    3. SAAL

    4. OTTO

    5. ANANAS

  8. 8

    Ein Delegation von 20 Parlamentariern soll aus 2 Parteien zusammengesetzt werden. Die Gr√ľne hat 16 Fachleute, die Rote 10 Fachleute anzubieten. Aufgrund der Mehrheitsverh√§ltnisse kann die Gr√ľne 14 und die Rote 6 Sitze im Ausschuss beanspruchen. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen sind m√∂glich, wenn

    1. keine weiteren Bedingungen gemacht werden

    2. ein bestimmtes Mitglied der Gr√ľnen auf alle F√§lle im Ausschuss sitzen soll

    3. 3 bestimmte Kandidaten der Gr√ľnen von den Roten grunds√§tzlich abgelehnt werden?

  9. 9

    Das Produkt von allen Ziffern von Stefans vierstelliger Handy-PIN ist 2121. Wie viele verschiedene M√∂glichkeiten gibt es f√ľr Stefans PIN? Gib sie alle an.

  10. 10

    Ein Bridgespiel enthält 52 Karten, davon sind vier Asse. Jemand zieht 15 Karten. In wieviel Fällen enthalten diese 15 Karten

    1. kein Ass

    2. genau ein Ass

    3. mindestens ein Ass

    4. höchstens ein Ass

    5. genau 2 Asse

    6. alle 4 Asse?

  11. 11

    Wenn die Bundesliga auf 20 Mannschaften vergr√∂√üert werden soll, wie viele Spiele finden dann in jeder Saison statt, wenn jede Mannschaft gegen jede andere spielt? Beachte, dass es Hin- und R√ľckspiel gibt, also je zwei Mannschaften zwei mal gegeneinander spielen.

  12. 12

    Wie viele Zahlen lassen sich als Summe oder Differenz aus jeweils zwei der Primfaktoren der Zahl 114 bilden?

  13. 13

    Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen gibt es

    1. mit genau zwei Ziffern 55?

    2. mit genau einer Ziffer 5.5.

  14. 14

    5‚čÖ7‚čÖ11=3855\cdot7\cdot11=385. Aus den Primfaktoren 5,75, 7 und 1111 lassen sich viele verschiedene Produkte bilden.

    1. Wie viele verschiedene Produkte (mit mindestens zwei Faktoren) lassen sich aus den Primfaktoren 5,75, 7 und 1111 bilden, wenn jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf?

    2. Berechne die Differenz des kleinsten und des größten dieser Produkte.

  15. 15

    Die Fu√üballvereine aus Vilsbiburg, Seyboldsdorf, Frontenhausen und Geisenhausen tragen ein Turnier aus, bei dem jeder Verein gegen jeden anderen Verein genau einmal spielt. Jeder Verein erh√§lt f√ľr einen Sieg drei Punkte, f√ľr ein Unentschieden einen Punkt und f√ľr eine Niederlage keinen Punkt.

    1. Wie viele Punkte können bei den sechs Spielen des Turniers insgesamt vergeben werden?

    2. Bei dem Turnier erhielt Vilsbiburg sieben Punkte, Seyboldsdorf f√ľnf Punkte, Frontenhausen drei Punkte und Geisenhausen einen Punkt. Wie endeten die einzelnen Spiele (nur Sieg bzw. Unentschieden)?

  16. 16

    Zum Ausklang von Judits Geburtstagsfeier wird Eis angeboten. Es gibt f√ľnf Sorten: Erdbeere, Himbeere, Schokolade, Vanille und Zitrone.

    1. Jedes Kind darf sich drei Kugeln unterschiedlicher Sorten aussuchen. Wie viele Kombinationen sind möglich?

    2. Wie viele Zusammenstellungen gibt es, wenn die drei Kugeln auch von derselben Sorte sein d√ľrfen?


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