2017

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Löse die folgenden Aufgaben!
1. Gib die Gleichung der dargestellten Geraden g an.
  g: y =
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
  Eine Geradengleichung hat die allgemeine Form: y =mx + t
  Der Parameter m ist die Steigung der Geraden. Der Parameter t ist der y-Achsenabschnitt.
  Die gerade g hat die Steigung - $\frac{1{,}5}{3}$ d.h. $m_g$ = - $\frac{1}{2}$ ; sie schneidet die y - Achse bei 1,5 d.h. $t_{g\ =}$ 1,5
  Also lautet die Gleichung: y = - $\frac{1}{2}$ x + 1,5
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2. Die Gerade h hat die Gleichung y = 0,4x−3. Gib an, ob der Punkt P(5|−1) auf der Geraden h liegt und begründe dies rechnerisch.
  
  $-1=0{,}4\cdot 5-3$
  $-1=-1$
  Dies ist eine wahre Aussage. $=> P\in h$
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  Setze die Koordinaten des Punktes $P(5|-1)$ in die Geradengleichung der Geraden $h$ ein.
  $y = 0{,}4x−3$ ein.
3. Die Gerade $f$ verläuft durch die Punkte $R(0|2)$ und $S(4|14)$ . Gib die Gleichung der Geraden $f$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Allgemeine Form der Geradengleichung: $y = mx + t$
  Wobei $m$ die Steigung der Geraden ist und $t$ der y-Wert, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.
  Berechne zuerst die Steigung: $m$ = $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ = $\dfrac{14 - 2}{4 - 0}$ = $\dfrac{12}{4}$ = $3$
  Setze $m$ und die Koordinaten des Punktes $R$ in die Geradengleichung ein , um t zu bestimmen. (Du kannst auch die Koordinaten des Punktes S einsetzen.)
  $y = mx + t$
  $2 = 3 \cdot 0 + t$ $\Rightarrow$ $t = 2$
  Die Gleichung der Geraden $f$ lautet: $y = 3x + 2$
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2
Eine Parallele p zur y-Achse verläuft durch den Punkt A(−7|9). Wähle die Gleichung von p aus $(\mathbb{G = Q}$ x $\mathbb{Q})$
$x=-7$
$y=−7$
$x= 9$
$y= 9$
$y= −7x+9$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallele zur Y-Achse
Gesucht ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den Punkt A(-7|9) verläuft.
Der Punkt A hat die Koordinaten $x=-7$ und $y=9$ .
Die Parallele zur y-Achse durch $x$ ergibt sich für $x=-7$ .

Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen $\mathbb{(G = Q)}.$

\displaystyle \left(2x-7\right)^{2}+3x=

Peter hat für die Gleichung $3\cdot(x+4) = −9x+6 \mathbb{(G = Q)}$ die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \lbrace −0{,}5\rbrace$ ermittelt.

Überprüfe durch Rechnung, ob Peters Lösung richtig ist.

Richtig
Falsch

5
Gib den Wert der Summe $\alpha^{*}\;+\;\beta^{*}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Summe von Nebenwinkeln
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\alpha+\beta+100^\circ=180^\circ\\\alpha+\beta=80^\circ\end{array}$
Die Summe von Nebenwinkeln beträgt $180^\circ$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\alpha+\alpha\ast=180^\circ\\\alpha=180^\circ-\alpha\ast\\\\\beta+\beta\ast=180^\circ\\\beta=180^\circ-\beta\ast\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(180^\circ-\alpha\ast)+(180^\circ-\beta\ast)=80^\circ\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}360^\circ-\alpha\ast-\beta\ast=80^\circ\\\\\end{array}$
$280^\circ=\alpha\ast+\beta\ast$
Die Lösung lautet $\alpha\ast+\beta\ast=280^\circ$
6
In der Raute ABCD beträgt der Abstand der beiden Seiten [AB] und [CD] 3 cm. Dabei liegt der Punkt C näher an A als an B.
Ergänze die Zeichnung zur Raute ABCD.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rauten
7
Für ein Drachenviereck ABCD mit der Symmetrieachse AC gilt (vgl. Skizze):
A(1| −2); B(8|1); C(7|4); D(4|5).
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts M der Diagonalen.
Trenne die Zahlen mit einem kleinen L ( l )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes M der Diagonalen des Drachenvieecks.
Die Koordinaten des Schnittpunktes M der Diagonalen sind (6|3).
8
Der Wert einer Aktie nahm von Anfang Januar bis Ende Mai zunächst von 70 € auf 63 € ab. Bis Ende Dezember reduzierte er sich weiter, diesmal um 5%, bezogen auf den Wert Ende Mai. Welche Aussage trifft für den Wert der Aktie zu? Kreuze an.
Der Wert nahm im gesamten Jahr von Anfang Januar bis Ende Dezember insgesamt …
… um weniger als 15% ab.
… um mehr als 15% ab.
… um 12 € ab.
… um 15 € ab.
… ab, dabei trifft aber keine der obigen Aussagen zu.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Die Aktie verliert von Januar bis Mai $70€-63€=7€$ .
Von Mai bis Dezember verliert die Aktie weitere 5% im Bezug auf den Wert von Mai.
5% von 63€ errechnen sich wie folgt:
$63€\cdot0{,}05=3{,}15€$
Dieser Verlust von Mai bis Dezember entspricht also einem Wert von $3{,}15€$ .
Der Gesamtverlust seit Januar beträgt somit $7€+3{,}15€=10{,}15€$ .
Der Prozentsatz des Verlustes in Höhe von 10,15€ im Bezug auf den Ausgangswert von Januar in Höhe von $70€$ errechnet sich aus
$10{,}15€:0{,}7=14{,}5$
Von Januar bis Dezember nimmt die Aktie also mit 14,5 % weniger als 15 % ab.
9
Bestimme die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ und die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ der folgenden Bruchgleichung.
Die Definitionsmenge wird im Original in der Form $\mathbb D=\mathbb Q\setminus \{\hspace{.5cm}\}$ erwartet!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthält alle Zahlen, für die die Gleichung definiert ist. Der Blick auf den Nenner der linken Seite liefert:
$5x = 0 \quad |:5 \\ \phantom{5}x=0$
Entsprechend auf der rechten Seite:
$x+3=0 \quad |-3 \\ \phantom{x+}x=-3$
Insgesamt erhält man $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-3; 0\}$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ enthält alle Zahlen, für die die Gleichung erfüllt wird, also $\frac5{5x}$ gleich $\frac3{x+3}$ ist.
Wenn linke und rechte Seite der Gleichung Bruchterme sind, dann multipliziert man die Gleichung mit beiden Nennern: $\frac{5}{5x}=\frac{3}{x+3} \quad|\;\cdot5x\cdot (x+3)$ :
Bei diesem Verfahren, erhält man eine Gleichung ohne Nenner, die man wie üblich nach $x$ auflöst. Für die Lösungsmenge erhält man somit:
$\mathbb{L} = \{1{,}5\}$ .
Um die Definitionsmenge zu bestimmen, ermittelt man umgekehrt immer die Zahlen, die nicht in den gegebenen Ausgangsterm eingesetzt werden können. Hier sind es Nullstellen der Nenner!
Die Lösungsmenge einer Bruchgleichung ermittelt man in diesem Fall durch Überkreuz-Multiplizieren.
10
Welchen der vorgegebenen Werte hat der Term $\displaystyle\frac{0{,}3\cdot15\cdot19{,}9}{999}$ ungefähr?
Schätze ab und wähle aus.
0,1
100
10
1
0,01
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchrechnung
$\dfrac{0{,}3\cdot15\cdot19{,}9}{999}\approx\dfrac{5\cdot20}{1000}=\dfrac{100}{1000}=0{,}1$
Der Term hat ungefähr den Wert 0,1.

Gib einen quadratischen Term $T(x)$ an, für den gilt: $T_{min} = −5$ für $x = −3 (\mathbb{G} = \mathbb{Q}) .$

$T(x) =\ldots$

12
Elfi stapelt fünf Schulbücher - das Mathematikbuch, das Chemiebuch, das Erdkundebuch und zwei Deutschbücher - in zufälliger Reihenfolge übereinander auf ihren Schreibtisch.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Mathematikbuch ganz oben liegt?
Ergebnis ohne Prozentzeichen!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
5 Bücher werden in zufälliger Reihenfolge übereinander gestapelt.
W: Prozentwert G: Grundwert p: Prozentsatz
$P=\frac WG$
$P=\frac15=0{,}20$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Mathebuch oben liegt, beträgt 20%.
13
Sechs Pumpen mit gleicher Leistungsfähigkeit benötigen zum Leerpumpen eines Schwimmbeckens 10 Stunden. Nach acht Stunden fallen drei Pumpen aus.
Wie lange benötigen die drei verbleibenden Pumpen jetzt noch, um das Becken leer zu pumpen?
Ergebnis ohne Stunden (h)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
6 Pumpen schaffen es bei gleicher Leistungsfähigkeit in 10 Stunden ein Becken leer zu pumpen.
Nach 8 Stunden würden 6 Pumpen also noch 2 Stunden brauchen, das Becken zu leeren.
Halb so viele Pumpen (3 Stück) benötigen die doppelte Zeit, um die gleiche Menge an Wasser aus dem Becken zu pumpen.
Nach 8 Stunden benötigen die verbleibenden 3 Pumpen noch 4 Stunden, um das noch leicht gefüllte Becken leer zu pumpen.
14
Die Abbildung zeigt eine maßstabsgetreue Skizze eines Schiffskanals mit den Brücken A und B. Die Schleusen 1 und 2 dieses Kanals sind 16 km voneinander entfernt. Ein Vergnügungsdampfer benötigt 45 Minuten für die Fahrt von der Brücke A bis zur Brücke B. Mit welcher durchschnittlichen
Geschwindigkeit (in $\frac{km}h$ ) ist der Dampfer dabei unterwegs? Gib deinen Lösungsweg an.

Entfernung zwischen den Brücken: 6 km => Der Dampfer ist mit einer Geschwindigkeit von $8\frac{km}h$ unterwegs.
15
Welcher der Pfeile markiert den richtigen Wasserstand, wenn der abgebildete Wasserbehälter 224 cm³ Wasser enthält?
Gib den passenden Buchstaben an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
$V=l\cdot b\cdot h$
Der untere Quader, der durch den Buchstaben D begrenzt wird, hat ein Volumen von
$V=10cm\cdot4cm\cdot5cm=200cm^3$
Gesucht ist die Höhe des oberen Quaders mit einem Volumen von
$224cm^3-200cm^3=24cm^3$
Bekannt ist die Länge, Breite und das Volumen die Quaders.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}24cm^3=2cm\cdot4cm\cdot h\end{array}$
$h=24cm^3:8cm^2=3cm$
Der Buchstabe $B$ ist 3 cm von dem Buchstaben D entfernt.
16
Konstruiere das Dreieck ABC mit , AC = 4 cm $\beta$ = 60° und $\gamma$ = 100°.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke konstruieren
Das Bild zeigt eine grobe Darstellung einer Konstruktion dieses Dreiecks.
Einzeichnen der Strecke AC mit AC = $4$ cm
Berechnung von $\alpha$ :
$180°-100°-60°=20°$ $\rightarrow$ $\alpha=20°$
Nun kannst du $\alpha=20°$ einzeichnen und somit den Punkt B finden, welcher durch das Schneiden der beiden Geraden entsteht.
Zeichne die Strecke AC ein
Zeichne eine Gerade ausgehend von C mit dem Winkel $\gamma$ ein
Berechne $\alpha$ mittels der Innenwinkelsumme eines Dreiecks: $\alpha+\beta +\gamma = 180°$
Zeichne eine Gerade ausgehend von A mit dem Winkel $\alpha$ ein
Finde B durch den Schnittpunkt beider Geraden
17
Ermittle das Winkelmaß $\beta$ , wenn g || h gilt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel in Figuren
Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\alpha+2\cdot\alpha=180^\circ\\\alpha=60^\circ\\\end{array}$
Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt $180^\circ$ .
$\alpha$ ist ein Stufenwinkel und es gilt
$\beta+\alpha+90^\circ=180^\circ$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\beta+60^\circ+90^\circ=180^\circ\\\beta=30^\circ\end{array}$
Das Winkelmaß $\beta$ ist $30^\circ$ .
18
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC gilt (s. Skizze) AC = BC. Ist es möglich, dass für dieses Dreieck zusätzlich gilt: $\alpha$ = 50° und $\gamma$ = 70°?
Begründe deine Antwort ausführlich.
Ja das ist möglich.
Nein das ist nicht möglich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Es müsste $\beta$ = 50° gelten, damit wäre aber $\alpha+\beta+\gamma$ ≠ 180°. => Es kann dieses Dreieck nicht geben.
19
Ein Rechteck, das doppelt so lang wie breit ist, hat einen Umfang von 24 cm.Welchen Flächeninhalt A hat das Rechteck? Wähle aus.
A = 32 cm²
A = 128 cm²
A = 24 cm²
A = 36 cm²
A = 48 cm²
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks
Gegeben: Ein Rechteck, das doppelt so lang wie breit ist, hat einen Umfang von 24cm.
Gesucht: Der Flächeninhalt des Rechtecks.
Der Umfang eines Rechtecks ergibt sich aus der Summe von 2 x Länge und 2 x Breite.
Bezeichnung:
x bezeichnet die Breite des Rechtecks
2x bezeichnet die Länge des Rechtecks
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2\cdot x+2\cdot2x=24\\6x=24\\x=4\end{array}$
Die Breite des Rechtecks beträgt also 4cm, die Länge 8cm.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt von Länge und Breite.
$4cm\cdot8cm=32cm²$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $32cm²$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle \left(2x-7\right)^2+3x$
	↓ Klammer auflösen unter Verwendung der 2. binomischen Formel
$=$	$\displaystyle 2x\cdot 2x - 2\cdot2x\cdot 7 + 7\cdot 7 +3x$
	↓ ausmultiplizieren
$=$	$\displaystyle 4x^2-28x+49+3x$
	↓ zusammenfassen
$=$	$\displaystyle 4x^2-25x+49$

$\displaystyle 3(x+4)=$	$=$	$\displaystyle -9x+6$
	↓	Multipliziere zunächst die Klammer aus.
$\displaystyle 3x+12$	$=$	$\displaystyle -9x+6$	$\displaystyle +9x$
$\displaystyle 12x+12$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}5$

$\displaystyle T\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle (x-(-3))^2+(-5)$
	↓	Auflösen der Klammern
	$=$	$\displaystyle (x+3)^2-5$
	↓	binomische Formel
	$=$	$\displaystyle (x^2+6x+9)-5$
	↓	fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle x^2+6x+4$

2017

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