Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion liefert. Die Integralrechnung steht in engem Zusammenhang mit der Differentialrechnung.

Die Integralrechnung ist motiviert durch die Berechnung von Flächeninhalten, die eine krummlinige Grenze haben.

Das bestimmte Integral berechnet nämlich die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der %%x%%-Achse.

Bestimmtes Integral Graph Fläche

%%\int_{-2}^{2}-x^2+4\ dx%%

Notation und Bezeichnungen

%%\int_a^b f\left( x\right)\,\mathrm{d} x%%

"das Integral über %%f(x)%% im Intervall %%\left[a,b\right]%% "

  • Das mathematische Zeichen für das Integral ist %%\int%%.

  • %%\mathrm dx%% gibt die Variable an, über die integriert wird.

    • Man kann sich %%\int%% und %%\mathrm dx%% als eine Klammer vorstellen. Ein Integral beginnt immer mit %%\int%% und wird mit %%\mathrm dx%% abgeschlossen.

    • Die Variable %%x%% ist hier austauschbar. Steht am Ende des Integrals %%\mathrm d t%%, so wird über die Variable %%t%% integriert.

    • Beispiel: Bei %%\int_a^b f(t) \mathrm{d} t%% wird über %%t%% integriert.

  • %%a%% und %%b%% heißen Integrationsgrenzen.

Anschauliche Erklärung

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist %%f(x)\;=\;x\;%% mit Definitionsbereich %%\mathbb{D}=\mathbb{R}^+%%.

Es soll die Fläche im Intervall %%0%% bis %%3,5%% bestimmt werden, die der Funktionsgraph mit der %%x%%-Achse einschließt, diese Fläche wird mit %%a%% bezeichnet und ist in der Grafik rot eingefärbt.

Mit Hilfe der Formel für die Flächenberechnung eines Dreiecks erhält man %%a=\frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 3,5=6,125%%.

Es wäre also wünschenswert, dass der Integralbegriff %%\int_0^{3.5}x\;\mathrm{d} x = 6,125%% erfüllt. Man wird später sehen, dass dies gilt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6690_e63W8YxRIE.xml

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist %%f(x)\;=\;-\frac12 x\;%% mit Definitionsbereich %%D=\mathbb{R}%% .

Es soll die Fläche im Intervall von 2 bis 6 bestimmt werden, die der Funktionsgraph mit der %%x%%-Achse einschließt; diese Fläche wird mit %%a%% bezeichnet und ist in der Grafik rot eingefärbt.

Mit Hilfe der Formel für die Flächenberechnung eines Trapezes erhält man %%a=\frac{1}{2} \cdot (1+3) \cdot (6-2)=8%%.

Da die Fläche %%A%% aber unterhalb der
%%x%%-Achse
verläuft, soll das Integral einen negativen Wert liefern.

Es wäre also wünschenswert, dass der Integralbegriff %%|\int_2^6 - \frac{1}{2} x\;\mathrm{d} x| = |-8|=8=a%% erfüllt. Man wird später sehen, dass dies gilt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6692_X0P90ydVEX.xml

Falls %%f%% nicht nur positive Werte hat, soll das Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von %%f%% und der %%x%%-Achse sein. Flächen oberhalb der %%x%%-Achse werden dabei positiv gewertet, Flächen unterhalb der %%x%%-Achse negativ.

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist %%f(x)=\sin\left(x\right)%%.

Es soll über die Funktion von %%0%% bis %%3\pi%% integriert werden.

Das Integral von %%f%% ist dann die Summe der gefärbten Flächeninhalte, wobei die Blauen ein positives und die Roten ein negatives Vorzeichen haben.

Das Integral von %%0%% bis %%3\pi%% wäre also z.b.

%%\int_0^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_0^\pi\sin\left(x\right) \mathrm dx+\int_\pi^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx+\int_{2\pi}^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx=2-2+2=2%%

Sinus Integral drei pi

Herleitung 

Gegeben sei eine stetige Abbildung %%f%%, die auf dem Intervall %%[a,b]%% definiert ist. Man möchte die Fläche zwischen %%f%% und der %%x%%-Koordinate auf dem Intervall %%[a,b]%% bestimmen. Man erhält eine grobe Näherung der Fläche, wenn man das betrachtete Intervall in mehrere Teilintervalle zerlegt. In jedem dieser Teilintervalle lässt sich die Funktion durch ein Rechteck annähern.

Bei der Obersumme bzw. Untersumme wählt man den größten bzw. den kleinsten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des Rechtecks.

Das Integral lässt sich als Grenzwert von Ober- bzw. Untersummen auffassen.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung   

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) oder auch Fundamentalsatz der Analysis stellt einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integration dar.

Sei %%f%% eine stetige Funktion und %%F%% ihre Stammfunktion. Dann gilt:

%%\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).%%

Integral berechnen     

Um den Wert eines Integrals zu berechnen, bildet man eine Stammfunktion und wertet diese an den Stellen %%a%% und %%b%%, des betrachteten Intervalls %%\left[\mathrm a,\mathrm b\right]%% aus. Der gesuchte Wert ist dann %%F(b)-F(a)%%.

Beispiele

  • %%\int_0^{3,5}x \mathrm{d}x=[\frac{1}{2}x^2]_0^{3,5}=\frac{1}{2} \cdot 3,5^2 - 0 = 6,125.%%

  • %%\int_2^6 - \frac{1}{2}x \mathrm{d}x=[-\frac{1}{4}x^2]_2^6=-\frac{1}{4} \cdot 6^2 - (- \frac{1}{4} \cdot 2^2)=-9+1=-8.%%

  • %%\int_0^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_0^\pi\sin\left(x\right) \mathrm dx+\int_\pi^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx+\int_{2\pi}^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx=[-\cos(x)]_0^{\pi}+[-\cos(x)]_{\pi}^{2\pi}+[-\cos(x)]_{2\pi}^{3\pi}=2-2+2=2.%%

Diese Rechnungen sind also mit den Beispielen aus dem Abschnitt "Anschauliche Erklärung" konsistent (wobei beim dritten Beispiel die Additivitätseigenschaft benutzt wurde, siehe unten).

Rechenregeln

Von Flächen und Funktionen weißt du vielleicht schon, dass du sie addieren und subtrahieren kannst. Hier sind ein paar wichtige Rechenregeln von Integralen aufgelistet.

Obere Grenze = Untere Grenze

%%\int_a^a f(x)\;\mathrm{d}x=0%%.

Du integrierst über einem Punkt, also ist die Fläche nur eine Linie. Linien haben Breite %%0%% und eine Länge %%l%%. Der Flächeninhalt ergibt sich aus %%0\cdot l=0%%, also ist auch das Integral gleich %%0%%.

Integral Obergrenze gleich Untergrenze

Beispiel

%%\int_ 2^2 x\;\mathrm{d}x\;=\left[\frac12x^2\right]_2^2=\frac12\cdot2^2-\frac12\cdot2^2=0%%

Umkehren der Grenzen

%%\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\;=\;-\int_b^af(x)\;\mathrm{d}x%%

Beispiel

%%\int_ 2^31\;\mathrm{d}x=\left[x\right]^3_ 2=3-2=1%%

und %%-\int_ 3^21\;\mathrm{d}x=-\left[x\right]^2_3=-\left(2-3\right)=1%%

Additivitätseigenschaft

%%\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\;\mathrm{d}x\;=\int_a^cf(x)\;\mathrm{d}x%%

Herleitung

%%A_1=\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x%%

%%A_2=\int_b^cf(x)\;\mathrm{d}x\;%%

%%A_{ges}=\int_a^cf(x)\;\mathrm{d}x%%

%%A_{ges}=A_1+A_2%%

Also: %%\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\;\mathrm{d}x\;=\int_a^cf(x)\;\mathrm{d}x%%

Integrale addieren Additionseigenschaft

Beispiel

$$\int_ 1^2x^2\;\mathrm{d}x+\int_ 2^4x^2\;\mathrm{d}x= \left[\frac13x^3\right]_ 1^2+\left[\frac13x^3\right]_2^4=\left[\frac83-\frac13\right]+\left[\frac{64}3-\frac83\right]=\frac{63}3=21$$

$$\int_ 1^4x^2\;\mathrm{d}x=\left[\frac13x^3\right]_1^4=\frac{64}3-\frac13=\frac{63}3=21$$

1. Linearitätseigenschaft

%%\int_a^bc\cdot f(x)\;\mathrm{d}x\;\;=\;\;c\cdot\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x%%

Beispiel

%%\int_ 1^23x\;\mathrm{d}x=\left[\frac32x^2\right]_ 1^2=\frac32\cdot4-\frac32\cdot1=\frac92%%

%%3\int_ 1^2x\;\mathrm{d}x=3\cdot\left[\frac12x^2\right]_1^2=3\cdot\left[\frac42-\frac12\right]=3\cdot\frac32=\frac92%%

2. Linearitätseigenschaft

%%\int_a^b\left[f(x)\pm g(x)\right]\;\mathrm{d}x\;=\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\pm\;\int_a^bg(x)\;\mathrm{d}x%%

Beispiel

%%\int_ 1^3\left(x-1\right)\;\mathrm{d}x=\left[\frac12\left(x-1\right)^2\right]_ 1^3=\frac12\cdot4-\frac12\cdot0=2%%

%%\int_ 1^3x\;\mathrm{d}x-\int_ 1^31\;\mathrm{d}x=\left[\frac12x^2\right]_ 1^3-\left[x\right]_1^3=\left[\frac92-\frac12\right]-\left[3-1\right]=4-2=2%%

Monotonieeigenschaft

Für alle %%x\in\left[a;b\right]%% gilt: %%f\left(x\right)\;\leq\;g\left(x\right)\;\;\Rightarrow\;%% %%\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;\leq\;\int_a^bg\left(x\right)\;\mathrm{d}x%%

Beispiel

Für alle  %%x\in\left[0;1\right]%% gilt:%%\;x^2\leq x%% %%\Rightarrow%%

$$\int_ 0^1x^2\;\mathrm{d}x\;=\left[\frac13x^3\right]_0^1=\frac13-0=\frac13$$

$$\int_ 0^1x\;\mathrm{d}x=\left[\frac12x^2\right]_0^1=\frac12-0=\frac12$$

Also:  $$\int_ 0^1x^2\;\mathrm{d}x\;\leq\int_0^1x\;\mathrm{d}x$$

Punktsymmetrische Funktionen

Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion %%f%%, also %%f(-x)=-f(x)%%, gilt:

$$\int_{-a}^af\left(x\right)\;\mathrm dx=0$$

Beispiel

%%f\left(x\right)=x%% ist eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion. Da %%f(-x)=-x=-f(x)%%

$$\int_ {-3}^3f\left(x\right)\;\mathrm dx=\left[\frac12x^2\right]_{-3}^3=\frac92-\frac92=0$$

Achsensymmetrische Funktionen

Für eine zur %%y%%-Achse achsensymmetrische Funktion %%f%% gilt:

%%\int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm dx=2\int_0^af\left(x\right)\mathrm dx%%

Beispiel

%%f\left(x\right)=x^2%% ist eine zur %%y%%-Achse achsensymmetrische Funktion.

%%\int_{-1}^1x^2\mathrm dx=\left[\frac13x^3\right]_ {-1}^1=\left[\frac131^3-\frac13({-1})^3\right]=\left[\frac131^3+\frac131^3\right]=2\left[\frac13x^3\right]_ 0^1=2\cdot\int_0^1 x^2\mathrm dx%%

Betrag eines Integrals

%%\left|\int_a^bf(x)\;\mathrm dx\right|\;\leq\;\int_a^b\left| f(x)\;\right|\;\mathrm dx%%

Beispiel

Sei %%f(x) = \sin(x)%%

dann ist wegen der Punktsymmetrie von %%\sin(x)%%, %%\left|\int_ {-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\right|=\left|\int_{-\pi}^\pi\sin(x)\mathrm dx\right|\;=\left|0\right|\;=0%%

und wegen der Additivität folgt:

%%\int_ {-\pi}^\pi\left|\sin(x)\right|\mathrm dx=\int_ {-\pi}^0\left|\sin(x)\right|\mathrm dx+\int_0^\pi\left|\sin(x)\right|\mathrm dx%%

mit Auflösen des Betrags folgt:

%%\int_ {-\pi}^0-\sin(x)\mathrm dx+\int_ 0^\pi\sin(x)\mathrm dx=\int_ {-\pi}^0\left|\sin(x)\right|\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\left|\sin(x)\right|\;\mathrm dx%% %%=\int_ 0^\pi\sin(x)\;\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\sin(x)\;\mathrm dx=2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx%%.

Nach Stammfunktion gilt:

%%2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx\;=\;2[-\cos(\pi)+\cos(0)]\;=\;2(1+1)=\;4%%

also ist %%\left|\int_ {-\pi}^\pi \sin(x)\mathrm dx\right|=0\leq\;4=\int_{-\pi}^{\pi}\left| \sin(x)\right|\;\mathrm dx%% erfüllt.

Wichtige Begriffe

Bestimmtes und unbestimmtes Integral  

Das unbestimmte Integral besitzt im Vergleich zum bestimmten Integral keine Grenzen.   

Bei einem bestimmten Integral berechnet man das Flächeninhalt zwischen Graph einer Funktion und der %%x%%-Achse. Als Lösung bekommt man eine Zahl.

Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion, eine sogenannte Stammfunktion.

Integralfunktion

Integralfunktionen sind Funktionen der Form %%F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt%%.

Uneigentliche Integrale   

Das uneigentliche Integral ist definiert durch:

%%\int_a^\infty f(x)\mathrm dx:=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\mathrm dx%% und

%%\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx:=\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx%%

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Zu article Integral: Feedback zum related content / Anpassung Richtlinien
Simon 2014-05-29 14:29:58
Das finde ich ziemlich cool, dass dieser Artikel zu einer Art "Schaltzentrale" geworden ist mit dem ausführlichen related content. Eigentlich ist der related content nicht für so eine breite Verlinkung vorgesehen, für so einen zentralen Begriff macht das aber Sinn. Will das jemand als Beispiel in die Richtlinien aufnehmen? Liebe Grüße, Simon
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Zu article Integral: Integral - Abschnitt Anschauliche Erklärung
Renate 2014-03-21 11:49:05
Ich finde es besser, wenn im Abschnitt "Anschauliche Erklärung" lediglich schematisch anhand von Graphiken gezeigt wird, wann eine Fläche beim Integral positiv und wann negativ gezählt wird, und wie man auf diese Weise zu eine "Flächenbilanz" kommt. Auf konkrete Zahlenbeispiele würde ich dabei nicht eingehen, sondern nur das Grundsätzliche zeigen.
Renate 2014-03-21 11:51:27
Bitte beachten: Wenn man die (konkreten) Beispiele unter "Anschauliche Erklärung" wie vorgeschlagen herauslöscht, muss man auch daran denken, den Satz bei "integral berechnen", der darauf Bezug nimmt, zu löschen.
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Zu article Integral: Inhaltliche Abgrenzung - Artikel Integral
Renate 2014-03-18 11:09:36
Der Artikel heißt "Integral", handelt aber dann größtenteils und insbesondere in der Zusammenfassung vom bestimmten Integral.

Vorschlag: Aus diesem Artikel einen zusammenfassenden Artikel "Integral" machen, in dem die Begriffe "bestimmtes Integral" und "unbestimmtes Integral" (und ggf. noch weitere Begriffe) erklärt und zu den entsprechenden (ggf. noch anzulegenden) Artikeln verlinkt wird.
Renate 2014-03-21 12:51:27
Übrigens gibt es auch einen Artikel "Bestimmtes Integral berechnen". Manches, was momentan in diesem Artikel hier steht, gehört vielleicht eher dorthin.
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