Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt (Extrempunkt) einer Parabel.
Scheitelpunkt als tiefster Punkt
Scheitelpunkt als höchster Punkt

Eigenschaften des Scheitelpunkts

  • Der Scheitelpunkt ist das Maximum der Funktion, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist und Minimum der Funktion, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.
  • Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Parallelen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.

Beispiel


f(x)=(x2)2+1f(x)=(x-2)^2+1
Graph eines Scheitelpunkts zu einer gegebenen Funktion
  • Der Scheitelpunkt lautet S(21)S(2\vert1) und ist hier ein Minimum, da die Parabel nach oben geöffnet ist.
  • Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Gerade x=2x=2.

Bestimmung des Scheitelpunkts

Es gibt vier unterschiedliche Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunktes:


1. Bestimmung anhand der Scheitelform

Wenn sich die Funktion schon in Scheitelform (Scheitelpunktform) befindet, kann der Punkt einfach abgelesen werden:
  • Scheitelpunktsform: f(x)=a(xd)2+ef(x)=a(x-d)^2+e
  • Scheitelpunkt: S(de)S(d\vert e)
    

Beispiele

Achte auf die unterschiedlichen Vorzeichen der Funktionen!
  • Aus der Funktion 2(x1)232\left(x-1\right)^2-3 lässt sich d=1d=1 und e=3e=-3 ablesen. Der Scheitelpunkt befindet sich folglich am Punkt S(13)S(1|-3).
  • Ist die Funktion (x2)2+4\left(x-2\right)^2+4, folgt d=2d=2 und e=4e=4. Somit ist der Scheitelpunkt bei S(24)S(2|4).
  • Ist die Funktion (x+1)2+4\left(x+1\right)^2+4, folgt d=1d=-1 und e=4e=4. Somit ist der Scheitelpunkt bei S(14)S(-1|4).

Umwandlung in Scheitelform

Falls die Gleichung noch nicht in Scheitelform ist, kann man sie mit der quadratischen Ergänzung oder anderen Umfomungen (Ausmultiplizieren, Ausklammern, Binomische Formel) in Scheitelform bringen und dann wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt ablesen.

2. Bestimmung anhand der allgemeinen Form

Mit Hilfe der folgenden Formel kann man den Scheitelpunkt auch direkt aus der allgemeinen Form berechnen.
  • Allgemeine Form: f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
Formel für den Scheitelpunkt:
S(b2  acb24  a)S\left(-\frac b{2~\cdot~ a}\left|c-\frac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)
Man erhält die Formel für den Scheitelpunkt, indem man die Funktionsgleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auf Scheitelform bringt:
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
Klammere aa aus:
f(x)=a(x2+bax)+cf(x)=a\left(x^2+\frac bax\right)+c
Ergänze quadratisch:
f(x)=a[(x2+bax+(b2a)2)(b2a)2]+cf(x)=a\left[\left(x^2+\frac bax+\left(\frac b{2a}\right)^2\right)-\left(\frac b{2a}\right)^2\right]+c
Bilde die binomische Formel und fasse zusammen:
f(x)=a[(x+b2a)2(b2a)2]+cf(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2\right]+c
Multipliziere die eckige Klammer aus:
f(x)=a(x+b2a)2ab24a2+cf(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-a\frac{b^2}{4a^2}+c
Fasse die letzten zwei Terme zusammen und kürze:
f(x)=a(x+b2a)2+(cb24a)f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)
Lies die Koordinaten des Scheitelpunkts ab:
S (b2a  cb24a)S~\left(-\frac b{2a}~\left|~c-\frac{b^2}{4a}\right.\right)

Beispiel

Es soll nun der Scheitelpunkt der Funktion f(x)=2x2+x3f(x)=2x^2+x-3 anhand der Formel bestimmt werden.
f(x)=2x2+x3f(x)=2x^2+x-3
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=2, b=1, c=3a=2, ~b=1, ~c=-3
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S(12231242)S\left(-\frac{1}{2\cdot2}\big|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
S(14258)S\left(-\frac14\big\vert -\frac{25}{8}\right)
Berechne den Scheitelpunkt zu den gegebenen Funktionen anhand der Formel für den Scheitelpunkt.

Umwandeln in die allgemeine Form

Falls die Gleichung noch nicht in der allgemeinen Form ist, kann man sie durch Umfomungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, Binomische Formel in die allgemeinen Form bringen und dann wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt durch die Formel berechnen.
Forme zunächst die gegebenen Funktionen in ihre allgemeine Form um und bestimme dann ihre zugehörigen Scheitelpunkte.

3. Bestimmung mit der Ableitung (fortgeschritten)

Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt gleich 0. Deshalb kannder Scheitel einer Parabel auch mit der Ableitung berechnet werden, da der Scheitel stets das Extremum der quadratischen Funktion ist.

Beispiel

Es soll der Scheitelpunkt von f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4 mittels der Methode Bestimmung mit der Ableitung berechnet werden.
f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4
Leite die Funktion ff ab.
f(x)=2x+2f'(x)=2x+2
Bestimme für die Extremstelle die Nullstelle der ersten Ableitung, das bedeutet f(x)=0f'(x)=0.
2x+2=02x+2=0
Löse nach xx auf.
x=1x=-1

Dies ist die Extremstelle. Wir haben hier eine nach oben geöffnete Parabel, daher ist x=1x=-1 die Minimalstelle. Berechne den zugehörigen yy-Wert, indem du x=1x=-1 in die Funktion einsetzt.
f(1)=(1)2+2(1)+4=12+4=3f(-1)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+4=3
Schreibe den Scheitelpunkt hin.
S (1  3)S~(-1 ~|~3)


4. Bestimmung anhand der Nullstellen

Vorsicht! Diese Methode funktioniert nur, falls die Parabel Nullstellen hat.
Ist dies der Fall, so liegt der Scheitel genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen, da alle Parabeln achsensymmetrisch sind.
Wenn die quadratische Funktion nur eine Nullstelle hat, dann ist diese der x-Wert xsx_s des Scheitels.

Beispiel

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=0,5x24,5f(x)= 0,5\cdot x^2-4,5 anhand seiner Nullstellen.
f(x)=0,5x24,5f(x)= 0,5\cdot x^2-4,5
Berechne die Nullstellen von ff.
0=0,5x24,50=0,5 \cdot x^2 - 4,5
Addiere 4,54,5.
4,5=0,5x24,5=0,5 \cdot x^2
Multipliziere mit 22.
9=x29=x^2
Ziehe die Wurzel.
x=±9x= \pm \sqrt {9}
Berechne die Wurzel.
x1=3x_1=3 und x2=3x_2=-3

Die Nullstellen von ff sind 3-3 und 33.

Der xx-Wert des Scheitels xsx_s liegt in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen.Die Zahl 00 liegt zwischen 3-3 und 33.
Die Nullstellen der gegebenen Funktion auf einem Zahlenstrahl
Also ist xs=0x_s=0.

Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels ysy_s, indem du den xx-Wert in die Funktionsgleichung von ff einsetzt.
ys=f(xs)=f(0)=0,5024,5=4,5y_s=f(x_s)= f(0)=0,5 \cdot 0^2-4,5=-4,5

Der Scheitelpunkt von ff ist S(04,5)S(0|-4,5).


Graph der Funktion

Graph zur Bestimmung des Scheitelpunktes anhand der Nullstellen

Video zur Bestimmung des Scheitelpunkts anhand der Nullstellen

Kommentieren Kommentare

Digamma 2019-12-17 17:45:22+0100
Formel für den Scheitelpunkt:
Wird diese Formel (sowohl für x-Wert als auch für den y-Wert) in Bayern so unterrichtet? Ich würde immer nur die leicht zu merkende Formel für den x-Wert benutzen, aber dann den y-Wert durch Einsetzen des so ermittelten x-Werts in den Funktionsterm bestimmen.
Renate 2019-12-20 12:21:19+0100
Aus der Erfahrung meiner Nachhilfetätigkeit stellt sich mir die Situation folgendermaßen dar:

- Im bayerischen GYMNASIUM wird normalerweise der Scheitelpunkt einer Parabel überhaupt nicht mit einer Formel bestimmt, sondern es wird eine Berechnung mittels quadratischer Ergänzung oder (in der Oberstufe) mit Hilfe der Ableitung verlangt.

- In der bayerischen REALSCHULE wird in der Tat in vielen Fällen ab einem bestimmten Zeitpunkt die im Artikel genannte Formel verwendet,
die dann jedoch von den Schülerinnen und Schülern aus der Formelsammlung entnommen werden darf.

Viele Grüße
Renate

PS: Ich persönlich verwende aber zum Nachrechnen der Ergebnisse meiner Nachhilfeschüler gerne die von dir vorgeschlagene Methode ;)
- da kann ich deinen Kommentar gut verstehen, @Digamma!

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Astor 2019-12-10 17:19:56+0100
Ich halte die Formulierung: "Die Parabel ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitelpunkt" nicht für gut. Erstens: Wozu ist die senkrechte Gerade senkrecht? Zweitens: Besser wäre: "Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Paralellen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt"
kathongi 2019-12-11 16:46:49+0100
Hallo Astor,

Finde deine Formulierung auch viel besser und mathematisch korrekt. Hab deine Verbesserung umgesetzt. Wenn du wieder eine bessere Formulierung hast, kannst du es gern wieder kommentieren oder sogar über den grünen Stift selbst bearbeiten :)

Gruß, Kathongi
Digamma 2019-12-11 20:23:24+0100
Ich finde die neue Formulierung schwerfällig. Ich würde eher einen Relativsatz daraus machen: "Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden, die durch den Scheitelpunkt verläuft und parallel zur y-Achse ist."
Ich fand aber auch die ursprüngliche Formulierung gut und korrekt. "Senkrecht" ist hier nicht im Sinn von "orthogonal" gemeint, sondern als Gegenstück zu "waagerecht". Man spricht ja auch von waagerechten und senkrechten Asymptoten.
kathongi 2019-12-12 08:52:30+0100
Gerade weil der Begriff "senkrecht" auf zwei Arten zu verstehen ist, finde ich den Einwand von Astor berechtigt.
Den Relativsatz, wie du ihn vorgeschlagen hast @Digamma, finde ich aber auch leichter zu verstehen :)

@Astor was meinst du dazu?
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Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Kleine Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-05-03 15:00:30+0200
-Bei der Berechnungsmethode mit der Ableitung, sowie bei der Methode anhand der Nullstellen fehlen Aufgaben.
-Die Leiste zu den verwandten Inhalten sollte ausgebaut werden.
An sonsten top Artikel!

Liebe Grüße
Sebastian
Nish 2016-07-29 10:26:43+0200
Hallo Sebastian,

bei der Berechnungsmethode mit der Ableitung wollten wir bewusst keine Übungsaufgaben hinzufügen, da es sich hier um einen Zusatz/Bemerkung handelt (siehe didaktische Überlegung im Bearbeitungsmodus (Editor)). Bei der letzten Methode haben 2 Aufgaben hinzugefügt, dass sollte meiner Meinung nach reichen. Den Related-Content hast du ausgebaut?

LG,
Nish
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Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Bestimmung anhand allgemeiner Form
ruedi 2016-02-24 17:44:15+0100
Bei der Formel für den Scheitelpunkt fehlt ein Minus vor der x-Koordinate.
Nish 2016-02-25 15:30:12+0100
Hallo ruedi,

vielen Dank für deinen Hinweis! Ich habe den Fehler korrigiert. Es wird aber erst in paar Tagen online sichtbar sein. Wir würden uns über weitere Hinweise auf Fehler und über Feedback/ Verbesserungsvorschläge zu Serlo freuen ;)

Wenn du selbst aktiv werden möchtest, z.B. kleinere Änderungen vornehmen möchtest, findest du unter https://de.serlo.org/hilfe-startseite Hilfe.
Falls dabei Fragen auftauchen bzw. Hilfe brauchst, kannst uns natürlich jederzeit über die Diskussionen oder per Mail (info-de@serlo.org) kontaktieren.

LG,
Nish
Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Übungsaufgaben ergänzen
Simon 2015-12-23 15:12:25+0100
Bei dem Punkt "Bestimmung durch Berechnung" fehlen noch Übungsaufgaben
Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Danke
Philipp_Albrecht 2015-06-10 20:02:03+0200
Hallo,
ich habe mir zwar nur die Begriffserklärung angeschaut, möchte mich aber trotzdem für die Erklärung bedanken.

Ich weiß jetzt was man unter dem Scheitelpunkt versteht.
Die grafische Darstellung ist sehr gut.

Freundliche Grüße,

P.Albrecht
Renate 2015-06-11 18:54:58+0200
Hallo Philipp_Albrecht

"stellvertretend" für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Summer Acacemy 2013, die damals den Themenblock Quadratische Funktionen - Parabeln - Quadratische Gleichungen aufgegriffen und überarbeitet haben, möchte ich dir herzlichen Dank für dein Feedback sagen!

Es freut uns alle, wenn wir rückgemeldet bekommen, dass das, was wir tun, einen Sinn macht und gut ankommt.

Dir weiterhin viel Freude und Erfolg auf Serlo, und ebenfalls freundliche Grüße

Renate (Serlo-Teammitglied Mathematik-Redaktion)