Eine Exponentialfunktion ist eine Abbildung der Form %%f(x)=a^x%%, wobei %%a>0%% gilt. Mit Exponentialfunktionen werden Wachstum und Zerfall der Form %%N(t) = N_O \cdot a^t%% modelliert.

Definition

Die definierende Eigenschaft einer Exponentialfunktion ist: $$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$$

Aufgrund dessen wird der Funktionsterm als Potenz notiert: %%f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f(x)=a^x.%% Dabei ist %%a%% eine reelle Zahl mit %%a>0%%.

Die definierende Eigenschaft wird dann durch die Potenzgesetze erfüllt:

$$f(x+y)=a^{x+y}=a^x\cdot a^y=f(x)\cdot f(y)$$

Bezeichnungen

  • %%a\in\mathbb{R}^+%% ist die Basis.
  • %%x\in\mathbb{R}%% ist der Exponent.
  • %%f%% heißt Wachstumsfunktion, falls %%a%% größer ist als 1. Liegt %%a%% zwischen 0 und 1, wird %%f%% Zerfallsfunktion genannt.

Eigenschaften

  • Der Definitionsbereich ist ganz %%\mathbb{R}%%.
  • Der Wertebereich ist %%\mathbb{R}^+%%, d.h. %%a^x>0%% für alle %%x\in\mathbb{R}%%.
  • Folglich haben Exponentialfunktionen keine Nullstellen.
  • Exponentialfunktionen haben die x-Achse als Asymptote, genauer gilt:
    • %%a>1: \qquad\lim\limits_{x\to\;-\infty}a^x=0\quad%% und %%\;\lim\limits_{x\to\;\infty}a^x=\infty%%
    • %%0<a<1: \;\lim\limits_{x\to\;-\infty}a^x=\infty\;%% und %%\;\lim\limits_{x\to\;\infty}a^x=0%%
  • Exponentialfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:
    • %%a>1: \qquad f\;%% ist streng monoton steigend.
    • %%0<a<1: \;f\;%% ist streng monoton fallend.
    • %%a=1:\qquad f\;%% ist konstant.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis %%a%% zu beobachten.

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für %%f(x)=a^x%% ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

$$f^{-1}(x)=\log_ax.$$

Natürliche Exponentialfunktion

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis %%e%%, der Eulerschen Zahl, zurückführen:

$$f(x)=a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\ln(a)}.$$

Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von %%f(x)=a^x%% ist gegeben durch:

$$f'(x)=\ln(a)\cdot a^x$$

Herleitung der ersten Ableitung 

Man kann die erste Ableitung einer Exponentialfunktion mit Hilfe der Kettenregel berechnen. Dazu benötigt man einige Umformungen.

Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt %%e^{\ln(x)}=x%% und damit: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{\ln(a^x)}$$

Mit der Potenzregel für Logarithmen folgt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{\ln(a^x)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{x\cdot\ln(a)}$$

Mit der Kettenregel und %%\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}e^x=e^x%% folgt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{x\cdot\ln(a)}=\ln(a)\cdot e^{x\cdot\ln(a)}$$

Mit nochmaliger Anwendung der Potenzregel für Logarithmen und Umformen folgt: $$\ln(a)\cdot e^{x\cdot\ln(a)}=\ln(a)\cdot e^{\ln(a^x)}=\ln(a)\cdot a^x$$

Und somit insgesamt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x=\ln(a)\cdot a^x$$

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion %%F(x)%% einer Exponentialfunktion %%f(x)=a^x%% ist: $$F(x)=\frac1{\ln(a)}\cdot a^x$$

Herleitung der Stammfunktion 

Das sieht man durch eine einfache Gleichung: $$f^\prime(x)=\ln(a)\cdot f(x)$$ $$\Rightarrow \int f^\prime(x)\;\mathrm dx=\int \ln(a)\cdot f(x)\;\mathrm dx$$ $$\Rightarrow f(x)+C=\ln(a)\cdot\int f(x)\;\mathrm dx$$ $$\Rightarrow f(x)=\ln(a)\cdot F(x)$$ $$\Rightarrow F(x)=\frac 1{\ln(a)}f(x)=\frac 1{\ln(a)}a^x$$


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Zu article Exponentialfunktion: Wachstum
Stromi93 2016-04-15 13:48:08
Man sollte noch anfügen das es auch die Form a*b^x gibt und das dann auch verlinken mit Exponentiellen Wachstum
Antworten
Zu article Exponentialfunktion: Feedback von Serlo LabSchool
Stromi93 2016-04-13 15:18:50
Definitionsbereich sollte man verlinken.
Außerdem ist es in der Schule üblich es Definitionsmenge und Wertemenge zu nennen und nicht Bereich.
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Zu article Exponentialfunktion: Feedback von Serlo LabSchool
Stromi93 2016-04-13 15:16:37
kann man wirklich sagen das Exponentialfunktionen keine Nullstellen hat? Man sollte vielleicht anmerken, dass die Funktion sehr wohl eine Nullstelle hat wenn man sie in y-Richtung verschiebt.
Könnte sonst für Verwirrung in der Schule oder bei erweiterten Aufgaben sorgen.
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Zu article Exponentialfunktion: Definierende Eigenschaft?
Renate 2015-11-28 22:21:04
Ich denke, dass der Begriff bzw. das "Konzept" einer "definierenden Eigenschaft" für einen Schüler eher fremd ist. Eine Exponentialfunktion ist für einen Schüler definiert als Funktion mit Funktionsterm der Form a^x. (Selbst mir war die Sache mit der Definition über f(x+y)=f(x)*f(y) nicht oder nicht mehr (?) geläufig!)

Daher ist es auch gut, dass diese klare und einfache Begriffserklärung mit a^x gleich im ersten Satz des Artikels steht.

Aber der gleich darunter stehende und zudem mit der Überschrift "Definition" versehene Punkt mit der definierenden Eigenschaft irritiert meiner Meinung nach an dieser Stelle eher als dass er hilft.

Vorschlag:
- Erste zwei Sätze lassen wie sie sind.
- Danach gleich den Abschnitt "Bezeichnungen", dazu vielleicht noch eine Grafik mit einer oder zwei Beispiel-Exponentialfunktionen
- Dann den Abschnitt Eigenschaften, und in diesen die "definierende Eigenschaft" einfügen (wenn ihr wollt auch als ersten Punkt, und möglichst mit einer kurzen Erklärung, was definierende Eigenschaft bedeutet).

Was haltet ihr davon?

Gruß
Renate
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