Eine Funktion mit dem Funktionsterm %%f(x)=b\cdot a^x%% heißt Exponentialfunktion. Dabei ist %%a>0,\;a\neq1%% und %%b\neq0%%.

Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm %%a^x%% die Basis %%a%% eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich %%1%%). Der Exponent enthält die Funktionsvariable %%x%%. Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor %%b%% ist eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zu diesem Thema findest du in dem Videokurs zu Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen:

  • %%f(x)=2^x%%. Hier ist %%b = 1%% und %%a = 2%%.

  • %%f(x)=-1,5\cdot0,8^x%%. Hier ist %%b = -1,5%% und %%a = 0,8%%.

Beispiele, die keine Exponentialfunktionen sind:

  • %%f(x)=x^2%%. Hier ist %%f%% eine Potenzfunktion (sogar eine Parabel).

  • %%f(x)=x^{0,8}%%. Hier ist %%f%% eine Wurzelfunktion. Es gilt %%x^{0,8}=\sqrt[5]{x^4}%%.

  • %%f(x)=(-2)^x%%. Hier ist %%f%% z.B. für %%x = 0,5%% nicht definiert und es handelt sich um keine Exponentialfunktion, weil %%a=-2<0%% ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

zwei sich schneidende Exponentialfunktionen mit postiven Vorfaktor

zwei sich schneidende Exponentialfunktionen mit negativen Vorfaktor

  • Der maximale Definitionsbereich ist ganz %%\mathbb{R}%%.

  • Der maximale Wertebereich ist %%\mathbb{R}^+%%falls b>0 und %%\mathbb{R}^-%% falls b < 0.

  • Exponentialfunktionen haben die %%x%%-Achse als Asymptote, genauer gilt:

    • %%a>1: \qquad\lim\limits_{x\to\;-\infty}a^x=0\quad%% und %%\;\lim\limits_{x\to\;\infty}a^x=\infty%%
    • %%0<a<1: \;\lim\limits_{x\to\;-\infty}a^x=\infty\;%% und %%\;\lim\limits_{x\to\;\infty}a^x=0%%
  • Exponentialfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

    • %%a>1: \qquad f\;%% ist streng monoton steigend.
    • %%0<a<1: \;f\;%% ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht an den Graphen der Funktionen ablesen.

Benutze die Schieberegler a und b des nachfolgenden Geogebra-Applets, um mit dem Verlauf unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut zu werden.

Überzeuge dich insbesondere davon, dass keine Exponentialfunktion der Form %%f(x)=b\cdot a^x%% eine Nullstelle hat und dass jede den %%y%%-Achsenabschnitt (0|b) besitzt.

Exponentialfunktionen beschreiben zeitliche exponentielle Wachstumsvorgänge und sind deshalb von erheblicher Bedeutung.

Die übliche Schreibweise der dabei betrachteten Funktionen ist %%N(t)=N_0\cdot a^t%%. %%N_0%% entspricht dem Faktor b und misst den Anfangswert der Veränderung. Der Wachstumsfaktor heißt a.

Ist a < 1, dann handelt es sich bei positivem %%N_0%% um ein abnehmendes Wachstum.

Vertiefung

Für eine Exponentialfunktion %%f(x)=a^x%%, d.h falls b = 1, gilt die Funktionalgleichung %%f(x+y)=f(x)\cdot f(y)%% Dies bestätigt man leicht über die bekannte Rechenregel für Potenzterme: %%f(x+y)=a^{x+y}=a^x\cdot a^y=f(x)\cdot f(y)%% Diese Funktionalgleichung erklärt die starke Zunahme der Funktionswerte bei Exponentialfunktionen mit a > 1.

Die weit schwächere Zunahme der Funktionswerte einer noch so steilen linearen Funktion liegt daran, dass diese durch eine Funktionalgleichung der Form f(x + y) = f(x) + f(y) gekennzeichnet ist.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für %%f(x)=a^x%% ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

$$f^{-1}(x)=\log_ax.$$

Natürliche Exponentialfunktion

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis %%e%%, der Eulerschen Zahl, zurückführen:

$$f(x)=a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\ln(a)}.$$

Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von %%f(x)=a^x%% ist gegeben durch:

$$f'(x)=\ln(a)\cdot a^x$$

Herleitung der ersten Ableitung

Man kann die erste Ableitung einer Exponentialfunktion mit Hilfe der Kettenregel berechnen. Dazu benötigt man einige Umformungen.

Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt %%e^{\ln(x)}=x%% und damit: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{\ln(a^x)}$$

Mit der Potenzregel für Logarithmen folgt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{\ln(a^x)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{x\cdot\ln(a)}$$

Mit der Kettenregel und %%\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}e^x=e^x%% folgt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} e^{x\cdot\ln(a)}=\ln(a)\cdot e^{x\cdot\ln(a)}$$

Mit nochmaliger Anwendung der Potenzregel für Logarithmen und Umformen folgt: $$\ln(a)\cdot e^{x\cdot\ln(a)}=\ln(a)\cdot e^{\ln(a^x)}=\ln(a)\cdot a^x$$

Und somit insgesamt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} a^x=\ln(a)\cdot a^x$$

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion %%F(x)%% einer Exponentialfunktion %%f(x)=a^x%% ist: $$F(x)=\frac1{\ln(a)}\cdot a^x$$

Herleitung der Stammfunktion

Das sieht man durch eine einfache Gleichung: $$f^\prime(x)=\ln(a)\cdot f(x)$$ $$\Rightarrow \int f^\prime(x)\;\mathrm dx=\int \ln(a)\cdot f(x)\;\mathrm dx$$ $$\Rightarrow f(x)+C=\ln(a)\cdot\int f(x)\;\mathrm dx$$ $$\Rightarrow f(x)=\ln(a)\cdot F(x)$$ $$\Rightarrow F(x)=\frac 1{\ln(a)}f(x)=\frac 1{\ln(a)}a^x$$

Kommentieren Kommentare

Zu article Exponentialfunktion:
Hauke 2017-11-30 20:40:34
Den Abschnitt "Natürliche Exponentialfunktion" würde ich etwas ausführlicher schreiben, das ist nicht so einfach. Hier steht: "Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis e, der Eulerschen Zahl, zurückführen"

Ich würde zusätzlich ergänzen: "Dies ist möglich, da eine Funktion, wenn sie mit ihrer Umkehrfunktion verknüpft wird, wieder die Zahl selbst ergibt. Ein Beispiel hierzu ist f(x) = 2x und f^(-1)(x)= 0,5x. Wenn ich beide nacheinander anwende, bekomme ich wieder den Wert x. Wenn ich erst die natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x und dann den natürlichen Logarithmus f^(-1)(x)=lnx anwende, bekomme ich den Wert x. Das heißt x=e^(lnx), also auch a^x = e^(lna^x)."

Schönen Gruß, Hauke
Rebi 2017-12-01 15:21:06
Hallo Hauke,
auch diese Ergänzung halte ich für sinnvoll. Würdest du es in den Fließtext schreiben oder als Spoiler (= zum Ausklappen)? Und magst du es selbst machen? Falls nicht, werde mich demnächst darum kümmern.
Liebe Grüße,
Rebi
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Zu article Exponentialfunktion:
Julia_S 2017-07-20 12:15:55
Ich bin mir nicht sicher, ob jeder wissen wird was der limes ist. Wir haben den erst am Ende des Schuljahres gemacht, gar nicht direkt im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen. Ich denke es reicht, wenn man es mit Asymptoten erklärt.
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Zu article Exponentialfunktion: Feedback von Serlo LabSchool
Stromi93 2016-04-13 15:18:50
Definitionsbereich sollte man verlinken.
Außerdem ist es in der Schule üblich es Definitionsmenge und Wertemenge zu nennen und nicht Bereich.
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Zu article Exponentialfunktion: Feedback von Serlo LabSchool
Stromi93 2016-04-13 15:16:37
kann man wirklich sagen das Exponentialfunktionen keine Nullstellen hat? Man sollte vielleicht anmerken, dass die Funktion sehr wohl eine Nullstelle hat wenn man sie in y-Richtung verschiebt.
Könnte sonst für Verwirrung in der Schule oder bei erweiterten Aufgaben sorgen.
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Zu article Exponentialfunktion: Definierende Eigenschaft?
Renate 2015-11-28 22:21:04
Ich denke, dass der Begriff bzw. das "Konzept" einer "definierenden Eigenschaft" für einen Schüler eher fremd ist. Eine Exponentialfunktion ist für einen Schüler definiert als Funktion mit Funktionsterm der Form a^x. (Selbst mir war die Sache mit der Definition über f(x+y)=f(x)*f(y) nicht oder nicht mehr (?) geläufig!)

Daher ist es auch gut, dass diese klare und einfache Begriffserklärung mit a^x gleich im ersten Satz des Artikels steht.

Aber der gleich darunter stehende und zudem mit der Überschrift "Definition" versehene Punkt mit der definierenden Eigenschaft irritiert meiner Meinung nach an dieser Stelle eher als dass er hilft.

Vorschlag:
- Erste zwei Sätze lassen wie sie sind.
- Danach gleich den Abschnitt "Bezeichnungen", dazu vielleicht noch eine Grafik mit einer oder zwei Beispiel-Exponentialfunktionen
- Dann den Abschnitt Eigenschaften, und in diesen die "definierende Eigenschaft" einfügen (wenn ihr wollt auch als ersten Punkt, und möglichst mit einer kurzen Erklärung, was definierende Eigenschaft bedeutet).

Was haltet ihr davon?

Gruß
Renate
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