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Exponentialfunktion

Eine Funktion mit dem Funktionsterm f(x)=bax\sf f(x)=b\cdot a^x heißt Exponentialfunktion. Dabei ist a>0,  a1\sf a>0,\;a\neq1 und b0\sf b\neq0.

Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm ax\sf a^x die Basis a\sf a eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich 1\sf 1). Der Exponent enthält die Funktionsvariable x\sf x. Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor b\sf b ist eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zu diesem Thema findest du in dem Videokurs zu Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen:

  • f(x)=2x\sf f(x)=2^x. Hier ist b=1\sf b = 1 und a=2\sf a = 2.

  • f(x)=1,50,8x\sf f(x)=-1,5\cdot0,8^x. Hier ist b=1,5\sf b = -1,5 und a=0,8\sf a = 0,8.

Beispiele, die keine Exponentialfunktionen sind:

  • f(x)=x2\sf f(x)=x^2. Hier ist f\sf f eine Potenzfunktion (sogar eine Parabel).

  • f(x)=x0,8\sf f(x)=x^{0,8}. Hier ist f\sf f eine Wurzelfunktion. Es gilt x0,8=x45\sf x^{0,8}=\sqrt[5]{x^4}.

  • f(x)=(2)x\sf f(x)=(-2)^x. Hier ist f\sf f z.B. für x=0,5\sf x = 0,5 nicht definiert und es handelt sich um keine Exponentialfunktion, weil a=2<0\sf a=-2<0 ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

  • Der maximale Definitionsbereich ist ganz R\sf \mathbb{R}.

  • Der maximale Wertebereich ist R+\sf \mathbb{R}^+falls b>0 und R\sf \mathbb{R}^- falls b < 0.

  • Exponentialfunktionen haben die x\sf x-Achse als Asymptote, genauer gilt:

    • a>1:limx  ax=0\sf a>1: \qquad\lim\limits_{x\to\;-\infty}a^x=0\quad und   limx  ax=\sf \;\lim\limits_{x\to\;\infty}a^x=\infty

    • 0<a<1:  limx  ax=  \sf 0<a<1: \;\lim\limits_{x\to\;-\infty}a^x=\infty\; und   limx  ax=0\sf \;\lim\limits_{x\to\;\infty}a^x=0

  • Exponentialfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

    • a>1:f  \sf a>1: \qquad f\; ist streng monoton steigend.

    • 0<a<1:  f  \sf 0<a<1: \;f\; ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht an den Graphen der Funktionen ablesen.

Benutze die Schieberegler a und b des nachfolgenden Geogebra-Applets, um mit dem Verlauf unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut zu werden.

Überzeuge dich insbesondere davon, dass keine Exponentialfunktion der Form f(x)=bax\sf f(x)=b\cdot a^x eine Nullstelle hat und dass jede den y\sf y-Achsenabschnitt (0|b) besitzt.

Exponentialfunktionen beschreiben zeitliche exponentielle Wachstumsvorgänge und sind deshalb von erheblicher Bedeutung.

Die übliche Schreibweise der dabei betrachteten Funktionen ist N(t)=N0at\sf N(t)=N_0\cdot a^t. N0\sf N_0 entspricht dem Faktor b und misst den Anfangswert der Veränderung. Der Wachstumsfaktor heißt a.

Ist a < 1, dann handelt es sich bei positivem N0\sf N_0 um ein abnehmendes Wachstum.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für f(x)=ax\sf f(x)=a^x ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

Natürliche Exponentialfunktion

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis e\sf e, der Eulerschen Zahl, zurückführen:

Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von f(x)=ax\sf f(x)=a^x ist gegeben durch:

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion F(x)\sf F(x) einer Exponentialfunktion f(x)=ax\sf f(x)=a^x ist:

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