4. Lösen durch Substitution (1|2)

Eine weitere Methode, Nullstellen von Polynomfunktionen vom Grad %%n> 2%% zu bestimmen, ist die sogenannte Substitutionsmethode.

Bei einer Substitution ersetzt man einen Term (bzw. Teile eines Terms) durch einen anderen, mit dem Ziel diesen in eine einfachere lösbare Form zu bringen.

Oft wird wird diese einfachere Form ein quadratischer Term sein, da wir für diesen mithilfe der quadratischen Lösungsformel die Nullstellen einfach berechnen können.


Betrachte zum Beispiel die Funktion %%f%% mit %%f(x)=x^4-7x^2+12%%. Wenn wir den Funktionsterm gleich Null setzen, erhalten wir folgende Gleichung:

%%x^4-7x^2+12 = 0%%

1. Geeignete Substitution finden und durchführen

Der Funktionsterm von %%f%% besteht aus den Polynomgliedern %%x^4, -7x^2%% und dem konstanten Glied %%12%%. Beim ersten Glied fällt dir vielleicht ein, dass %%x^4%% gerade %%(x^2)^\color{red}{2}%% ist. Das zweite Glied ist %%-7x^2%%

Ersetze nun alle %%x^2%% im Funktionsterm durch eine neue Variable zum Beispiel %%u%% (oder auch %%w, z,…%%). Warum dies besonders praktisch ist, wirst du gleich erkennen.

Schreibe also: "Substitution mit %%x^2 = u%%".

Die Substitution %%x^2 = u%% bewirkt damit:

%%\color{green}{\begin{array}{rcl} x^4 & \rightarrow & u^2 \\ -7x^2 & \rightarrow & -7 u \\ 12 & \rightarrow & 12 & \text{(bleibt unverändert!)}\\ \end{array}}%%

Damit haben wir jetzt das Polynomglied vierten Grades %%(x^4)%% zu einem quadratischen Glied %%(u^2)%%, und das quadratische Glied %%(-7x^2)%% zu einem linearen Glied %%(-7u)%% umgewandelt. Die Konstante %%12%% bleibt dabei gleich - in ihr kommt ja kein %%x%% vor.

Wir erhalten jetzt die quadratische Gleichung:

%%u^2-7u+12=0%%

Durch das Ersetzen von %%x^2%% durch die Variable %%u%% ist es uns also gelungen, die erste Nullstellengleichung vierten Grades in eine quadratische Form zu bringen, die deutlich einfacher zu lösen ist.

2. Lösen der neuen Nullstellengleichung

Die Lösungen der neuen Gleichung %%u^2-7u+12=0%% kannst du zum Beispiel mit der quadratischen Lösungsformel finden.

Die Lösungen lauten (Bitte selber nachrechnen!):

%%u_1=4%% und %%u_2= 3%%.

Wir dürfen nicht vergessen, dass wir substituiert hatten. Die Variable %%u%% steht für %%x^2%%. Noch haben wir also die Nullstellen von %%f%% nicht.

3. Rücksubstituieren

Setzt man %%u_1%% und %%u_2%% wieder in die Substitutionsgleichung %%x^2=u%% ein, so erhält man die zwei Gleichungen:

%%\begin{array}{rcccl} u_1= x^2 & \text{und} & u_2=x^2 \\ \end{array}%%

Damit %%x%% eine Nullstelle von %%f%% ist, muss es eine dieser Gleichungen erfüllen.


Mit den konkreten Zahlen…

%%\begin{array}{rcccl} 4= x^2 & \text{und} & 3=x^2 & | & \text{jeweils die Wurzel ziehen} \\ \end{array}%%

%%\begin{array}{rcl} \Rightarrow x_{1,2}= \pm\sqrt{4}= \pm 2 & \text{und} & x_{3,4}=\pm\sqrt{3}\end{array}%%

%%\Rightarrow%% Die Nullstellen von %%f%% lauten also %%+2%%, %%-2%%, %%+\sqrt{3}%%, %%-\sqrt{3}%%.

Diesen Vorgang nennt man Rücksubstitution, da man die Substitution wieder "rückgängig macht".

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